微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章
xn a xn a
由数列极限的定义得 考察数列
即
xn a
lim xn a
n
n n
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
即 xn 0
lim xn 0
n
1
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微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
即xn 1 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
xk 1 2 xk 22 2
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
2
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lim
2n 0 n n !
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第7章
3 . 2
4． 在 xＯy 坐标面上求向量 a，使其垂直于向量 b=4i-3j+5k,且｜a｜=2｜b｜． 解：设向量 a ( x, y, 0) ,由 a b 得 a b 0 即 4x 3y 0 , 由 | a | 2 | b | 得 解方程组
(6,10, 2) (6, 6, 6) (16, 4, 12) (16, 0, 20)
5．已知两点 M1(0，1，2)和 M2(1，-1，0)，求向量 M 1M 2 ，并求 M 1M 2 及与 M 1M 2 平 行的单位向量． 解： M 1M 2 (1 0)i (1 1) j (0 2)k i 2 j 2k (1, 2, 2)
2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证： （如上题图） ，依题意有 AM MC , DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
即与 M 1M 2 平行的单位向量为 ,
1 3
2 2 1 2 2 , 或 , , . 3 3 3 3 3
习题 7-3
) 1． 已知 a =2, b =1, (a,b
解： （1） a a | a | 4
2
，求(1) a·a,(2) a·b,(3) (2a+3b)·(3a-b)． 3 ) 2 1 cos π 1 （2） a a | a | | b | cos(a,b 3
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
微积分课后题答案第二章习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注3证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时此时1n k N +>有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =-1n ,说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立;3. 利用夹逼定理证明：1 lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； 2 lim n →∞2!n n =0.证：1因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=,所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 2因为22222240!1231n n n n n<=<-,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. 1 x n =11n e +,n =1,2,…；2 x 1,x n +1n =1,2,…. 证：1略;2因为12x =<,不妨设2k x <,则故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,又 1n n x x +-=,而0n x >,2n x <,所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列;综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在;习题2-21※. 证明：0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<;取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<, 于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=,则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述,0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. 1 利用极限的几何意义确定0lim x → x 2+a ,和0lim x -→1e x； 2 设fx = 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩,问常数a 为何值时,0lim x →fx 存在.解：1因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时,1e x 的值无限接近于0,故10lim e 0xx -→=. 2若0lim ()x f x →存在,则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=, 由1知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=, 所以,当0a =时,0lim ()x f x →存在;3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞不存在;习题2-31. 举例说明：在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由sin cos tan xx x=当0x →时,cos 1x →不是无穷大量,也不是无穷小量;例2：当x →∞时,2x 与x 都是无穷大量,但22xx=不是无穷大量,也不是无穷小量; 例3：当0x +→时,tan x 是无穷小量,而cot x 是无穷大量,但tan cot 1x x =不是无穷大量,也不是无穷小量;2. 判断下列命题是否正确：1 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；2 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；3 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；4 有限个无穷小量之和为无穷小量；5 有限个无穷大量之和为无穷大量；6 y =x sin x 在-∞,+∞内无界,但lim x →∞x sin x ≠∞；7 无穷大量的倒数都是无穷小量；8 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：1错误,如第1题例1； 2正确,见教材§定理3；3错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 是有界函数,cot sin cos x x x =不是无穷大量； 4正确,见教材§定理2；5错误,例如当0x →时,1x 与1x -都是无穷大量,但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量； 6正确,因为0M ∀>,∃正整数k ,使π2π+2k M >,从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,又0M ∀>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞≠∞；7正确,见教材§定理5；8错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量;零是无穷小量,但其倒数无意义; 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量. 1 fx =234x -,x →2; 2 fx =ln x ,x →0+,x →1,x →+∞； 3 fx = 1e x,x →0+,x →0-； 4 fx =2π-arctan x ,x →+∞;5 fx =1x sin x ,x →∞; 6 fx = 21xx →∞. 解：122lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,24x -是无穷小量,所以214x -是无穷小量,因而234x -也是无穷大量;2从()ln f x x =的图像可以看出,1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞,所以,当0x +→时,x →+∞时,()ln f x x =是无穷大量；当1x →时,()ln f x x =是无穷小量;3从1()e x f x =的图可以看出,110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=, 所以,当0x +→时,1()e xf x =是无穷大量； 当0x -→时,1()e xf x =是无穷小量; 4πlim (arctan )02x x →+∞-=, ∴当x →+∞时,π()arctan 2f x x =-是无穷小量;5当x →∞时,1x是无穷小量,sin x 是有界函数, ∴1sin x x是无穷小量; 6当x →∞时,21x 是无穷小量,∴是无穷小量; 习题2-41.若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,问0lim x x →fx ±gx , 0lim x x →fx ·gx 是否存在,为什么解：若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,则10lim x x →fx ±gx 不存在;因为若0lim x x →fx ±gx 存在,则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0lim x x →gx ,与题设矛盾;20lim x x →fx ·gx 可能存在,也可能不存在,如：()sin f x x =,1()g x x=,则0limsin 0x x →=,01lim x x →不存在,但0lim x x →fx ·gx =01limsin 0x x x→=存在; 又如：()sin f x x =,1()cos g x x =,则π2limsin 1x x →=,π21limcos x x→不存在,而lim x x →fx ·gx π2lim tan x x →=不存在; 2. 若0lim x x →fx 和0lim x x →gx 均存在,且fx ≥gx ,证明0lim x x →fx ≥0lim x x →gx .证：设0lim x x →fx =A,0lim x x →gx =B ,则0ε∀>,分别存在10δ>,20δ>,使得当010x x δ<-<时,有()A f x ε-<,当020x x δ<-<时,有()g x B ε<+令{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<时,有 从而2A B ε<+,由ε的任意性推出A B ≤即lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2,…,a m 为m 个正常数,则limn →∞nm a ++=A ,其中A =max{a 1,a2,…,a m }.n nn m a m A ≤++≤,即而lim n A A →∞=,1lim nn mA A →∞=,由夹逼定理得nm n a A ++=.4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x 1＝,x 2x n +1=1,2,…,则limn →∞x n 存在,并求该极限.证：因为12x x ==有21x x >今设1k k xx ->,则1k k x x -=>=,由数学归纳法知,对于任意正整数n 有1n n x x +>,即数列{}n x 单调递增;又因为12x =<,今设2k x <,则12k x -=<=,由数学归纳法知,对于任意的正整数 n 有2n x <,即数列{}n x 有上界,由极限收敛准则知lim n n x →∞存在;设limn n x b →∞=,对等式1n x+两边取极限得b =,即22b b =+,解得2b =,1b =-由极限的保号性,舍去,所以lim 2n n x →∞=.5. 求下列极限：1 lim n →∞33232451n n n n n +++-+；2 lim n →∞1cos n ⎡⎤⎛-⎢⎥ ⎝⎣⎦；3 lim n →∞4 limn →∞11(2)3(2)3n nn n ++-+-+； 5 lim n →∞1112211133n n ++++++. 解：1原式=23232433lim 11155n n n nn n→∞++=+-+；2因为lim(10n →∞-=,即当n →∞时,1是无穷小量,而cos n 是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；322lim(n n n →∞=而0n n→∞→∞==,2n n→∞∴==∞；41111121(1)()(2)31333lim lim2(2)33(1)()13n nn nn nn n n n++→∞→∞++-+-+==-+-+；5111111()21111114[1()]42222lim lim lim11113 11()3[1()]3333113nnnn n nn nn++→∞→∞→∞++-+++--===+++---.6. 求下列极限：13limx→239xx--； 21limx→22354xx x--+；3 limx→∞3426423xx x++;42limxπ→sin coscos2x xx-;5limh→33()x h xh+-; 63limx→;71limx→21nx x x nx+++--; 8limx→∞sinsinx xx x+-；9 limx→+∞101limx→313()11x x---；11limx→21(sin)xx.解：23333311(1)lim lim lim9(3)(3)36x x xx xx x x x→→→--===--++2211lim(54)0,lim(23)1x xx x x→→-+=-=-3344226464lim lim03232x xx x xx xx→∞→∞++==++；4π2ππsincos sin cos 22lim1cos 2cos πx x xx →--==-； 5[]223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦；633(23)92)x x x →→+-=3343x x →→===；72211(1)(1)(1)limlim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--1123(1)2n n n =++++=+； 8sin lim0x x x →∞=无穷小量1x与有界函数sin x之积为无穷小量sin 1sin lim lim 1sin sin 1xx x x x x xx x x→∞→∞++∴==--； 922limlimx x→+∞=limlim1x x ===；101lim x →313()11x x---231(1)3lim 1x x x x →++-=- 11当0x →时,2x 是无穷小量,1sinx是有界函数, ∴它们之积21sinx x 是无穷小量,即201lim sin 0x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭;习题2-5求下列极限其中a ＞0,a ≠1为常数： 1. 0limx →sin 53x x; 2. 0lim x →tan 2sin 5xx ; 3. 0lim x →x cot x ;4. 0lim x→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1xx x ⎛⎫⎪+⎝⎭; 7. 0lim x →()cot 13sin xx +; 8. 0lim x →1x a x-; 9. 0lim x →x x a a x --;10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222xx x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭; 12.lim x →∞211xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 13. 0limx →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan xx; .解：1. 000sin 55sin 55sin 55lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55x x x x x x x x →→→==； 3. 0000lim cot limcos lim limcos 1cos01sin sin x x x xx xx x x x x x →→→→=⋅==⨯=；4. 000sin2lim lim 22xx x x x x x →→→→=== 0sin22122x xx →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-⎢⎥-==-⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦0073sin sin 212122limlim 732222x x x x x x →→=-⋅=-； 6. 111lim lim lim 111e (1)xxx x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⎝⎭； 7. 3cos cos 1cot sin 3sin 0lim(13sin )lim(13sin )lim (13sin )xx xxx x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦8.令1xu a =-,则log (1)a x u =+,当0x →时,0u →,1011ln log elimlog (1)a ua u a u →===+. 9. 000(1)(1)11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x xx ---→→→⎛⎫------==+ ⎪-⎝⎭ 利用了第8题结论01limln x x a a x→-=； 10. ln(1)ln 11limlim lnx x x x xx x x→+∞→+∞+-+=⋅ 1111lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x xxxxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 12. 1221222111ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim ee x x xxx xx x x xx x x x x →∞⎡⎤++⎢⎥⎣⎦→∞→∞→∞⎡⎤+=+==⎢⎥⎣⎦2121lim lim ln(1)0lne 0e e e 1xx x x x→∞→∞+⋅====；13.令arcsin x u =,则sin x u =,当0x →,0u →,000arcsin 1limlim 1sin sin limx u u x u u x u u→→→===；14.令arctan x u =,则tan x u =,当0x →,0u →,00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u uu→→→→→====. 习题2-61. 证明： 若当x →x 0时,αx →0,βx →0,且αx ≠0,则当x →x ０时,αx ～βx 的充要条件是limx x →()()()x x x αβα-＝０.证：先证充分性. 若0limx x →()()()x x x αβα-＝０,则0lim x x →()(1)()x x βα-＝0,即0()1lim 0()x x x x βα→-=,即0()lim 1()x x x x βα→=. 也即0()lim 1()x x x x αβ→=,所以当0x x →时,()()x x αβ. 再证必要性：若当0x x →时,()()x x αβ,则0()lim 1()x x x x αβ→=, 所以0lim x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-＝0()1lim ()x x x x βα→-=011110()lim ()x x x x αβ→-=-=. 综上所述,当x →x 0时,αx ～βx 的充要条件是0lim x x →()()()x x x αβα-＝０. 2. 若βx ≠0,0lim x x →βx =0且0lim x x →()()x x αβ存在,证明0lim x x →αx =0. 证：0000()()lim ()lim ()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0()lim 00()x x x x αβ→== 即 0lim ()0x x x α→=. 3. 证明： 若当x →0时,fx =ox a ,gx =ox b ,则fx ·gx ＝o a b x+,其中a ,b 都大于0,并由此判断当x →0时,tan x－sin x 是x 的几阶无穷小量.证: ∵当x →0时, fx =ox a ,gx =ox b ∴00()()lim(0),lim (0)a bx x f x g x A A B B x x →→=≠=≠ 于是: 0000()()()()()()lim lim lim lim 0a b a b a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→⋅=⋅=⋅=≠ ∴当x →0时, ()()()a b f x g x O x +⋅=,∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-而当x →0时, 2tan (),1cos ()x O x x O x =-=,由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=,所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：1 0lim x →sin tan ax bx b ≠0；2 0lim x →21cos kx x-； 3 0lim x→； 4 0lim x→5 0lim x →arctan arcsin x x ；6 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx-- a ≠b ； 7 0lim x →ln cos 2ln cos3x x ； 8 设0lim x →2()3f x x -＝100,求0lim x →fx . 解 00sin (1)lim lim .tan x x axaxabx bx b →→==8由20()3lim 100x f x x →-=,及20lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=,即 00lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,所以 0lim ()3x f x →=.习题2-7１.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形：1 fx = 31,01,3,12;x x x x ⎧+≤<⎨-≤≤⎩2 fx ＝,111,1 1.x x x x -≤<⎧⎨<-≥⎩，或解: 1300lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++→→=+==∴ fx 在x =0处右连续,又11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=∴ fx 在x =1处连续.又22lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --→→=-==∴ fx 在x =2处连续.又fx 在0,1,1,2显然连续,综上所述, fx 在0,2上连续.图形如下:图2-12 11lim ()lim 1x x f x x --→→==∴ fx 在x =1处连续.又11lim ()lim 11x x f x -+→-→-==故11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠∴ fx 在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点.又fx 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.综上所述函数fx 在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:图2-22. 说明函数fx 在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系 略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在. 例如0(),010x x f x x x x ≤⎧⎪==⎨>⎪⎩是其的一个第二类间断点,但00lim()lim 0x x f x x --→→==即在0x =处左极限存在,而001lim ()lim x x f x x ++→→==+∞,即在0x =处右极限不存在.4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型：1 fx = 22132x x x -++；2 fx ＝sin sin x xx +；3 fx = ()11x x +； 4 fx = 224x x +-；5 fx = 1sin x x .解: 1由2320x x ++=得x =-1, x =-2∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点.2由sin x =0得πx k =,k 为整数.∴ x =0是跳跃间断点.4由x 2-4=0得x =2,x =-2.∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. 5 001lim ()lim sin 0,()x x f x x f x x →→==在x =0无定义故x =0是fx 的可去间断点.5.适当选择a 值,使函数fx = ,0,,0x e x a x x ⎧<⎨+≥⎩在点x =0处连续.解: ∵f 0=a ,要fx 在x =0处连续,必须00lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==.即a =1.6※.设fx = lim x →+∞x xx x a a a a ---+,讨论fx 的连续性.解: 22101()lim lim sgn()10100x x xx x x a a x a aa f x x x a a a x --→+∞→+∞-<⎧--⎪====>⎨++⎪=⎩ 所以, fx 在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限：1 2lim x →222x x x +-； 2 0lim x→； 3 2lim x →ln x -1; 4 12lim x →5 lim x e→ln x x . 解: 222222(1)lim 1;2222x x x x →⨯==+-+- 习题2-81. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令542()31f x x x x x =----,则()f x 在1,2上连续,且 (1)50f =-<, (2)50f =>由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.即 542000031x x x x ---=, 即方程54231x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln １＋e x -2x =0至少有一个小于1的正根.证: 令()ln(1)2e x f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在0,1上连续,且 0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =.即方程ln(1)20e xx +-=至少有一个小于1的正根.3※. 设fx ∈C -∞,+∞,且lim x →-∞fx =A , lim x →+∞fx =B , A ·B ＜0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x 0∈－∞,＋∞,使得fx 0＝０.证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞→+∞=>=<,及函数极限的保号性知,10X ∃>,使当1x X <-,有()0,f x >20X ∃<,使当2x X >时,有()0f x <.现取1x a X =<-,则()0f a >,2x b X =>,则()0f b <,且a b <,由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.4.设多项式P n x ＝x n +a 11n x-+…+a n .,利用第3题证明： 当n 为奇数时,方程P n x =0至少有一实根. 证: 122()1n n n n a a a P x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()lim 10n nx P x x →∞∴=>,由极限的保号性知. 0X ∃>,使当X x >时有()0nn P x x>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以2X n 与-2X n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第五章
于是
∫ f (x)dx = ∫ (− cos x + C )dx = − sin x +C1x +C2 .
其中 C1,C2 为任意常数,取 C1 = C2 = 0 ,得 f (x) 的一个原函数为 − sin x .
注意 此题答案不唯一.如若取 C1 = 1,C2 = 0 得 f (x) 的一个原函数为 −sin x − x .
=
1 22
∫
1 d( 2x −1
2x
−
1)
−
2
1 2
∫
1 d( 2x +1) 2x +1
1 = ln
22
1
2x +1 − 2
ln 2
2x
+1
+
C
=
1 22
ln
2x −1 +C 2x +1
(18)∫
(x
+
dx 1)(x
(4)由 Q′(P) = −1000(1)P ln 3 得 3
∫ ∫ Q(P) =
[−1000(1)P ln 3]dx = −1000 ⋅ ln 3
(
1 )
P dx
=
1000
⋅
(
1)P
+
C.
3
3
3
将 P=0 时,Q=1000 代入上式得 C=0
所以需求量与价格的函数关系是 Q(P) = 1000(1)P . 3
2 1− x2
1− x2
1− x2
(11)∵
d
(arctan
3
x)
=
1
3 +9
x
2
dx
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ， 设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ， 方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：
微积分2参考答案
参考答案及提示第一章 函数习题一1、（1）-1、2、-3. （2）-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解：∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.（3） 解：由题意有：⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .（3）∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.（4）∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解：由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ，∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、（1）uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、（1）47-=x y . （2）1)1(2-+=x x y . （3）2arcsin31x y =. （4）21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、（1）,8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解：由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ，且342lg 1))7((+=-f f .3、解：令t x =ln ，即te x =，则ttee tf )1ln()(+=，∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解：11)()(9333+=+=x x x f ， 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明：∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解：由题知：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x ， ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、（1）3231,1615,87,43,21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2（3）5sin 51,82,63,21,0π（4）,!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ，!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛3、（1）证明：对0>∀ε，]1[ε=∃N ，当Nn >时，ε<+=-+1111n n n ，则11lim =+∞→n n n ；（2）证明：对0>∀ε，]11[2+=∃εN ，当N n >时，ε<=-nn111，则01l i m=∞→nn .4、（1）2 （2）∞+ （3）∞- （4）∞ （5）∞+ （6）0 （7）∞ （8）0（9）不存在 （10）∞- （11）不存在 （12）不存在 （13）0 （14）∞ 5、提示：用左右极限来证. 证明：∵1lim lim==++→→x x x xx x ，1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim，即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ，,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，∴)(lim 1x f x →不存在.7、（1）证明：对0>∀ε，01>=∃εM ，当M x >时，ε<=-xx101，则01lim=∞→xx ；（2）证明：对0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<--)2(x 时，ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、（1）（2）（4）是无穷小. 9、（1）xsinx 是无穷小，x25是无穷大 （2）10,52x x-是无穷小，xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时，f(x)是无穷大量，当21→x 时，f(x)是无穷小量.11、（1）∵1sin ≤n 为有界变量，且011lim =+∞→n n ，∴01sin lim=+∞→n n n .（2）∵2arctan π≤x 为有界变量，且01lim2=∞→xx ，∴0arctan lim2=∞→xx x .（3）∵当0→x 时，11cos ≤x为有界变量，且0lim 0=→x x ，∴01coslim 0=→x x x .（4）∵011lim1=+-→x x x ，∴∞=-+→11lim1x x x .12、（1）原式75342452=+⨯-⨯=； （2）原式213)1(4)1(212=--⨯+---=；（3）∵0123lim23=+-+-→x x x x ，∴原式∞=； （4）原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ；（5）原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ；（6）原式＝0； （7）原式＝21；（8）原式＝)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ；（9）原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ；*（10）原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解：∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ，0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时，f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ，0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知，01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ，)(lim x f x +∞→不存在.14、解：由题知，当3→x 时，→+-k x x 22k= -3.*15、解：∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、（1）原式2211211lim=--=∞→nn ；（2）原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明：（1）∵1)22(lim 21=++-→x x x ，11lim 1=-→x ，∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .（2）∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ，1lim2=∞→nn n ，∴由夹逼定理有，原式＝1，得证.18、（1）原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ；（2）原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ；（3）原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim； （4）原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、（1）原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++； （2）原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→；（3）原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、（1）原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ；（2）原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、（1）∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ，1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数，即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续，及)(x f 在]2,0[上连续.（2）∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ，∴－1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===，且1)1(=f ，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解：∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ，d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(；dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222，84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(，又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、（1）∵)(x f 在1-=x 处无定义，∴1-=x 为)(x f 的间断点.（2）∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ，且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. （3）∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 为)(x f 的间断点.（4）∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ，0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ，∴)(lim 2x f x →不存在，即2=x 为)(x f 的间断点.24、（1）证明：令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论，)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. （2）证明：令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论，)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、（1）原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ；（2）原式211lim 2=++=+∞→xx x x ；（3）原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解：∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知，要使)(x f 在整个数轴上连续，必须满足005=⇒=a a .3、解：∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在，0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 是)(x f 间断点.因此，)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解：∵111sinlim22=-+→axxx ， ∴左边＝aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→，∴2=a .。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第四章
f (0) 0 ,依题意知 f ( x0 ) 0 .即有 f (0) f ( x0 ) .由罗尓定理,至少存在一点 (0, x0 ) ,使
得 f ( ) 0 成立,即
a0 n n 1 a1 (n 1) n 2 … an 1 0
成立,这就说明 是方程 a0 nx n 1 a1 (n 1) x n 2 an 1 0 的一个小于 x0 的正根. 7. 设 f(a) = f(c) = f(b),且 a＜c＜b, f ″(x)在 ［a,b］ 上存在， 证明在(a,b)内至少存在一点ξ， 使 f ″(ξ) = 0. 证: 显 然 f ( x ) 分 别 在 a , c 和 c, b 上 满 足 罗 尓 定 理 的 条 件 , 从 而 至 少 存 在
x x x
由 e 在 , 上连续,可导, f ( x) 在 a, b 上连续,在 a, b 内可导,知 F ( x) 在 a, b 上连
x
续,在 a, b 内可导,而且 F ( a ) e f ( a ) 0, F (b) e f (b) 0, 即F ( a ) F (b) ,
(4) lim
(a x) x a x ,(a＞0)； x 0 x2
(6) lim sin x ln x ;
x 0
1 ln(1 ) x ; (7) lim x arc cot x
(9) lim(1 sin x) x ;
x 0
1
(8) lim(
x 0
ex 1 ); x ex 1
x 0
f ( x) 在 0,π 上不连续,
显 然 f ( x) 在
0, π
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第八章习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z=(2)1ln()zx y=-；(3)z=arcsin yx；(4)zarccos（x２+y２）．解：（1）要使函数有意义，必须222210x ya b--≥即22221x ya b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x yx ya b⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.图8-1 图8-1（2）要使函数有意义，必须ln()0x yx y-≠⎧⎨->⎩即1x yx y-≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y>且1}x y-≠,如图8-2所示为直线y x=的下方且除去1y x=-的点的阴影部分（不包含直线y x=上的点）.（3）要使函数有意义，必须1yxx⎧≤⎪⎨⎪≠⎩,即11yxx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即x y xx-≤≤⎧⎨>⎩或x y xx≤≤-⎧⎨<⎩，所以函数的定义域为{(,)|0x y x>且}{(,)|0,}x y x x y x x y x-≤≤<≤≤-，如图8-3阴影所示.图8-3 图8-4（4）要使函数有意义，必须220||1x y x y ⎧-≥⎪≥⎨⎪+≤⎩ 即 22201x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩,所以函数的定义域为222{(,)|0,0,,1}x y x y xy x y≥≥≥+≤,如图8-4阴影所示.２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,xy ⎛⎫⎪⎝⎭； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）32(2,3)(2)2(2)33331f -=--⨯-⨯+⨯=;（2）23321211221412,23f x y x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（3）32(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3222()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )＋f，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式．解：由(,1)F x x =得1)x f =-即1)1f x =-1t -=则2(1)x t =+代入上式有2()(1)1(2)f t t t t =+-=+所以 ()(2)f x x x =+于是(,)1)1)1F x y f x =+==-４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２＋y ２＞０｝； (4)(0,2]A =． 解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点∅ 边界点A 聚点A （3）内点A边界点（0，0） 聚点A（4）内点∅ 边界点[0,2] 聚点[0,2]习题8-2１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224x yx y+； (2) z =x y x y+-．解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x k y =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim1y y y k xk yk f x y k y yk→→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数224Z =x yx y+在(0,0)处的极限不存在.(2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y k xx k x k f x y k x k xk→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数Z =x y x y+-在(0,0)处的极限不存在.２．求下列极限：(1) 00s in limx y x y x →→； (2)22011limx y x y x y→→-+；(3)00limx y →→ (4)22s in limx y x y x y→∞→∞+．解：（1）000sin sin ()limlim 0x x y y x y x y y x x y→→→→=⋅=（2）2222011101lim101x y x y x y→→--⨯==++（3）0000limlimlim 1)2x x x y y y →→→→→→==+=（4）当,x y →∞→∞时，221x y+是无穷小量，而s in x y 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y x y x y→∞→∞=+.３．求函数z =2222y x yx+-的间断点．解:由于220y x -=时函数无定义，故在抛物线22y x =处函数间断，函数的间断点是2{(,)|2,R }x y yx x =∈.习题8-3１．求下列各函数的偏导数：(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntany x；(3) z =arctany x； (4) u =zx y ．解：（1）1(1)y z y x x-∂=+∂(1)ln (1)yz x x y∂=++∂;（2）22221s e cc o ts e c;ta nz y y y y y y x x x xxxx ∂-=⋅⋅=-∂22111s e cc o ts e c;ta nz y y y y yxxxxxx∂=⋅⋅=∂（3）22221;1z y y xxx yy x ∂--=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭22211;1z x yxx yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）22ln ln ;zzxx u z z y yy y xxx∂-=⋅⋅=-⋅∂1;1ln ln .zxz zxx uz yy xu y y y y zxx-∂=∂∂=⋅⋅=⋅∂２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．解：s in s in s in (,)e(c o s )(2)e e [c o s (2)1]x x xx f x y x x y x x y ---'=⋅-++=-⋅++ s i ns i n(,)e 22e x x y f x y --'=⋅=所以s in 0(0,1)e(c o s 0(021)1)1x f -'=-⋅+⨯+=- s i n 0(0,1)2e 2y f -'==３．设z =x +y +(y -，求112811,x x y y z z xy====∂∂∂∂．解：1122112d (,1)d (1)1d d x x y x z f x x xxx====∂==+=∂又23211a rc s in(1)3z x x y yy y-⎛⎫∂-=++-⋅⎪∂⎝⎭所以1811π1a rc s in1a rc s in126x y z y==∂=+=+=+∂.４．验证z =11+ex y ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足222z z xyz x y∂∂+=∂∂．解：1111()()2211e exyxyz xxx-+-+∂-=⋅-=∂1111()()2211e exyx yz yyy -+-+∂-=⋅-=∂所以1111()()22222211e exyxyz z xyx y xyxy-+-+∂∂+=⋅+⋅∂∂11()2e2xyz --+==５．设函数z =2222422,00,0x y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解：0(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim0y y y f y f z yy∆→∆→+∆--'===∆∆(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0x x x f x f z xx∆→∆→+∆--'===∆∆所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.６．求曲线22(),4z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩14在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 解：因为 242z x xx ∂==∂，故曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)1z x ∂=∂,所以切线与x 轴正向所成的倾角πa rc ta n 14α==.７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ． 解：,z z y x xy∂∂==∂∂∴d d d z z z x y xy∂∂=+∂∂而()()z x x y y xy x y y x x y ∆=+∆+∆-=∆+∆+∆∆ 当0.1,0.2,2,3x y x y ∆=∆=-==时，d 30.12(0.2)0.1z =⨯+⨯-=-2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ∆=⨯-+⨯+⨯-=-. ８．求下列函数的全微分：(1) 设u =()zxy ，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z，求d z ．解：（1）1121(),()z z u x u x x z z xyyyyy--∂∂-=⋅⋅=⋅⋅∂∂;()ln,zu x x zyy∂=∂(1,1,1)(1,1,1)1,1,u u xy∂∂∴==-∂∂ (1,1,1)0u z∂=∂,于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)d d d d d d z z z ux y z x y xyz∂∂∂=++=-∂∂∂（2）22z xx y∂==-∂+2z yx y∂==∂+∴22d d d d d z z x yxz x y xyxy∂∂=+=-+∂∂习题8-4１．求下列各函数的全导数：(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1t ，y．解：（1）d d d d d d z z x z y tx tyt∂∂=+⋅∂∂22323232c o s 3e 2(s in )e 32=2e (3s in )2e(3s in )x yx yx y t tt tt t t t ++++=⋅⋅-+⋅⋅-=-（2）d d d d d d z f f x f y ttxtyt∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂223223222321s e c (32)3s e c (32)4 s e c (32)3t x y t x y xtt x y y -=++⋅+++⋅+++⋅⋅3223242(3s e c (3)t t tt=-+++.２．求下列各函数的偏导数：(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;(2) z =e uv , u =v =arctany x．解：（1）z z x z y uxuyu∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22222222222(2)c o s (2)s in 2s in c o s s in c o s s in c o s 2s in c o s 3s in c o s (c o s s in )x y y v x x y vu v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-z z x z y vxvyv∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22323333323333(2)s in (2)c o s 2s in c o s s in c o s 2s in c o s 2s in c o s (s in c o s )(s in c o s )x y y u v x x y u vu v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++（2）22121ee1()u vu vz z u z v x y v u y xuxvxxx ∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂+rc ta n2222ee()(a rc ta nlny u vxy x v y u x y x yx yx=-=-++211ee1()u vu vz z u z v v u y yuyvyxx ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂+rc ta n2222ee()(a rc ta nlny u vxy y v x u x x x yx yx=+=+++３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (,x y y z)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )．解：（1）121110u f f f x yy∂'''=⋅+⋅=∂12212211u x x f f f f yyzzy∂-''''=⋅+⋅=-∂122220u y y f f f zzz∂-'''=⋅+⋅=∂（2）令22,u x y =+则()z f u =22d ()22()d z f u f u x x f x y x u x ∂∂''=⋅=⋅=+∂∂22d ()22()d z f u f u y y f x y yuy∂∂''=⋅=⋅=+∂∂（3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.123123d 1d u f t f v f w f f y f y z f y f y zf x t x v x w x ∂∂∂∂∂∂''''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂12323d 0d u f t f v f w f f x f x z x f x z f ytyvywy∂∂∂∂∂∂'''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂1233d 00d u f t f v f w f f f x y x y f ztzvzwz∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =y x，Ｆ（u ）可导．证明：2z z x yz xy∂∂+=∂∂．证：222()()2()()z y y x F u x F u y x F u y F u xx∂-''=++⋅=+-∂21()()zx x F u x x F u yx∂''=+⋅=+∂22()()()z z xyx y x F u x y F u x y x y F u xy∂∂''∴==+-++∂∂22[()]x y x F u z =+=∂ ５．利用全微分形式不变性求全微分：(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =222()yf x y z --，f 可微．解：（1）令22,s in (2)u x y v x y =+=+，则vz u =122d d d d ()ln d sin (2)v vz z z u v v ux y u u x y uv-∂∂=+=++⋅+∂∂122s in (2)2222(2d 2d )ln c o s (2)d (2)[2(d d )ln c o s (2)(2d d )]2s in (2)()(d d )c o s (2)ln ()(2d d )v vv x y v ux x y y u u x y x y v u x x y y u x y x y ux y x y x x y y x y x y x y x y -+=++⋅++=⋅++⋅++⎡⎤+=++++++⎢⎥+⎣⎦（2）22222222111d d d d ()d ()y u y y f y f x y z x y z ffff-'=+⋅=-----222222222222221()d (2d 2d 2d )12()d (d d d )()()y f x y z y x x y y z z ffy f x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=-------６．求下列隐函数的导数：(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设x z=lnz y，求,zzx y∂∂∂∂．解：（1）设(,,)e e0x yxF x y z x y z +=+-=，则e e ,e,x yxx yx y z F y z F x z F x y ++'''=+-=+=故e ee,x x yx yy x y zF F x y zx zz z F zx y F x y++'--+''=-==-=-（2）设(,,)ln0x z F x y z z y=-=,则2221111,,x y z y z x y x F F F zzyyzzyzz--'''==-⋅==-⋅=--故211x z F z z z x xF x zzz'∂=-=-='∂+--2211()y z F z zy x yF y x z zz'∂=-=-='∂+--７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z z zyx xy∂∂+=∂∂．证：设22(,,)()F x y z x z y f x z =+--则2212()x F x y f x z ''=--2222()12()y z F f x z F y z f x z '=--''=+-故22222()112()x z F z x y f x z x F y z f x z ''∂--=-=''∂+-2222()12()y z F z f x y yy z f x z F '∂-=-='∂+-'从而22222222()()12()12()z z x y z f x z z y f x y zyxyy z f x z y z f x z '∂∂∂---+=+''∂∂+-+-222222222222222()()12()2()12()[2()1]12()x y z f x z z y f x y y z f x z x y z f x z z x zy z f x z x y z f x z xy z f x z '--+-='+-'--++='+-'-+=='+-８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求z x∂∂及z y∂∂．解法一：由e c o s ,e s in u ux v y v ==得221ln (),a rc ta n ,2y u x y v z u v x=+==故22(c o s s in )euz z u z v x v y u v v u v xu xv xx y-∂∂∂∂∂-=+==-∂∂∂∂∂+22(s in c o s )euz z u z v y v x u v v u v yu yv yx y-∂∂∂∂∂+=+==-∂∂∂∂∂+解法二：设方程组e c o s e s in uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得1e c o s e s in 0e s in e c o s u uu u u v v v x xu v v v x x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得e c o s e s in uu u v xv v x --∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-⎪∂⎩又方程组的两个方程关于y 求偏导得0e c o s e s in 1e s in e c o s u uu u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得：e s in e c o s uu u v yv v y--∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ 从而e (c o s sin )uz z u z v v v u v xu x v x -∂∂∂∂∂=⋅+=-∂∂∂∂∂e (s i n c o s )uz z u z v v v uv yuyvy-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0x ye y -=和e z-xz =0确定，求d d u x．解：方程e0x yy -=两边对x 求导得d d e()0d d x yy y y xxx+-=，解得2d ed 1e1x y x yy y yxx x y==--方程e 0zx z -=两边对x 求导得d d e0d d zz z z xxx--=解得d de zz z z xxx z x==--从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y z f f f f xxxx yx z x''''''=++=++--习题8-5１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctany x；(3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )． 解：（1）23222248,128;z z x x y x y xx∂∂=-=-∂∂232222248,128;1622zz y x y y x yyz x yx y∂∂=-=-∂∂∂=-（2）22221,1()z y y y xxx yx ∂-=⋅=-∂++22222222222222222222222222222211,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y xx yxzy x y x xx y x y z xx yy yx y x y z x y y yy xx yx y x y ∂=⋅=∂++∂-=-⋅=∂++∂--=⋅=∂++∂+-⋅-=-=∂∂++（3）1ln ,,xx z z y y x yxy-∂∂==∂∂222222211ln,(1),1ln (1ln )x x x xx zz y y x x y xyz x yy y yx y x yy---∂∂==-∂∂∂=+⋅=+∂∂（4）1ln ()1ln (),z x y x y x y xx y∂=+⋅⋅=+∂22222211,1,11.z y x x yxzx x x y x y yz x yy z x x yx yy∂=⋅=∂∂=⋅⋅=∂∂=-∂∂=⋅=∂∂２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微：(1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )． 解：（1）2222,22224z z x f f x f x f x f x x∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2222,22224z z y f f y f y f y f yy∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2224z x f y x y f x y∂''''=⋅=∂∂（2）1212,=+2 z z y f f x f f x y∂∂''''=+∂∂22111221221112222(1)12z y f y f f y f y f y f f x∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂22111221221112222(2)2(2)44z x f x f f x f x f x f f y∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 21111221221111222(2)2 (2)2zf y f x f f x f x yf x y f x y f f ∂'''''''''=++⋅+⋅+⋅∂∂'''''''=++++３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数． 解：设(,,)e 0zF x y z x y z =-=，则,,e zx y z F yz F xz F xy '''=-=-=-于是,e x z zF z y z z xF x yx z x∂=-==∂--e zz x z z yx yy z y∂==∂--从而222()(1)()z z x z x z z xz xxxx z x ∂∂--+-∂∂∂=∂-232223(1)221.(1)(1)z z z z z z z z x z x z --+---==--223222223()(1)(1)221.()(1)(1)z z z y z y z z yz z z z z z z yyz yy z y y z y z ∂∂--+---+∂--∂∂-===∂---2222233()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z zx z x z xz z z z z yyyy z x yx z x x z x y z x y z ∂∂---∂---∂∂-====∂∂----习题8-6１．求z =x ２+y ２在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2的方向的方向导数．解：设(1,2),(2,2o p p +，则射线l的方向就是向量(1,o p p =的方向，将o p p单位化得：1(,22||o o p p p p =于是1c o s ,c o s 22αβ==,又2,2,f f x y xy∂∂==∂∂于是(1,2)(1,2)2,4,f f xy∂∂==∂∂所以(1,2)124122f l∂=⨯+⨯=+∂２．设u =xyz +x +y +z ,求u 在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数．解：设0(1,1,1),(2,2,2)p p ,则射线l 的方向就是向量0p p =(1,1,1)的方向，将0p p单位化得00333||p p p p ⎛= ⎝⎭，于是c o s ,c o s c o s 333αβγ===又1,1,1f f f y z x z x y xyz∂∂∂=+=++∂∂∂，于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)2,2,2f f f xyz∂∂∂===∂∂∂,所以(1,1,1)222333f l∂=⨯⨯+⨯=∂.３．求函数z =x ２-xy +y ２在点Ｍ（１，１）处沿与Ox 轴的正方向所成角为α的方向l 上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：2,2f f x y x y xy∂∂=-=-+∂∂,(1,1)(1,1)1,1f f xy∂∂==∂∂∴(1,1)π1c o s 1s i n 2s i n ()4f lααα∂=⋅+⋅+∂当πs in ()4α+=1，时，即π4α=当πs in ()14α+=-时，即5π4α=时，此方向导数有最小值当πs in ()04α+=时，即3π4α=或7π4时，此方向导数为0.习题8-7１．求下列函数的极值：(1) z=x ３-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0． 解：（1）由方程组：23820220xyz x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩ 得驻点（0，0），（2，2） 又68,2,2,x x x y y y z x z z ''''=-==-在点（0，0）处，2120B A C -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B A C -=>该点不是极值点.（2）由方程组222e (2241)0e (22)0x xxyz x y y z y ⎧'=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-.又2222e (4484),e (44),2e xxxxxxy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，在点1(,1)2-处22202e 2e 4e0,BA C -=-⋅=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值11(,1) e.22f -=-（3）由方程组(2)0(2)0xy z y a x y z x a y x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.33a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又2,22,2x x x y y y z y z a x y z x ''''''=-=--=-.在点（0，0）处，220,B A C a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，220B A C a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，220B A C a -=>,该点不是极值点.在点,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭处,2203a B A C -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3,3327a a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于23x x A z a ''==-故当0a >时，(0)A <，函数有极大值327a,当0a <时，(0)A >，函数有极小值327a.２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.解：由方程23820220xyz x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点（0，0），（2，2）（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.D 的边界可分为四部分：12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ϕ-=---=-≤≤因为()2(1)0,y y ϕ'=-+≤所以()y ϕ单调递减，因而(1)4ϕ-=-最大，(1)8ϕ=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤令()0g x '=得1233x x ==.而1224227m in {(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==,1214227m a x {(1),(),(),(4)}()27gg x g x g g x --==分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数(,)f x y 在D 上的最大值，116.1327f ⎛⎫-=≈-⎪ ⎪⎝⎭.３．求函数z =x +y 在条件111xy+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值．解：构造拉格朗日函数11(,)1F x y x y x y λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭解方程组221010111x y F x F y xy λλ⎧'=-=⎪⎪⎪'=-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。