6.2投针实验--满其浩

6.2投针试验授课教师：满其浩单位：台儿庄区枣庄市第十七中学课型：新授课教学目标:1. 让学生学习用实验的方法来估计一些复杂的随机事件发生的概率，进一步认识当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率。

2.组织学生进行分组实验,对试验结果进行统计,在实验、统计的过程中进一步培养学生之间合作交流的意识和能力。

教学重点与难点：重点：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．难点：借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．教学方法：本节课是一节活动课，我运用启发式教学，首先利用故事，激起学生的学习兴趣，然后提出问题引导学生思考能否借助列表或树状图求出该针与平行线相交的概率，从而学生产生实验估计的愿望，然后学生积极参与到投针实验中去，最后通过自己的动手，小组的交流讨论，师生的共同探究，真正体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”。

让学生在实验中思考，在思考中探索，从而突破重点难点. 教师本着趣味性、启发性的教学原则；让学生在实验、探究、合作交流、归纳总结等活动中，成为学习的主体。

在教学过程中，使用多媒体课件辅助教学。

课前准备：教师制作课件,学生预习课本并准备好长短一致的针，图钉，直尺、三角板。

教学过程：1．引入新课师：同学们，今天首先听听法国数学家布丰先生的一个小故事：布丰先生经常搞点有趣的试验给朋友们解闷，一天，布丰先生在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线．然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半．布丰说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。

”客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔．大家想一想：当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？生：针有可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交．师：上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．也就是计算一些事件的概率就可以在某个试验之前，算出某个结果的概率．但这些方法的前提条件是什么? 生：要求实验出现的各种结果是等可能的，并且实验出现的结果必须是有限个．师：这里相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗?生：相交和不相交的可能性不相同，由于结果的可能性不同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率．师：那么怎样得到这个事件的概率？生：可以使用试验的方法来估计该针与平行线相交的概率，因为我们前面学过，当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”。

师：大家说得很好，的确是使用实验的方法得到的。

这就是数学史上有名的“投针试验”也是这节课我们需要做的试验：板书课题：6.2投针试验出示学习目标，学生认真阅读设计意图:用生动、形象的故事和图片激起学生的学习兴趣及其探索的欲望，从而达到引入新课的目的。

2．探索新知师：同学们,下面让我们活动起来,亲自体验一下这个有趣的试验:活动1：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都是a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们不相交，估计针与平行线相交的概率．活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率．活动方式：小组交流，全班研讨的方法．活动工具：每组学生要在平面上画有相同距离的一组平行线，并且有长度都为l的针(l<a)．要求使用的针粗细均匀．活动步骤：（1）．分组：两人一组自由组合．（2）．取一张白纸，在上面画一组平行线．它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针．在纸下面垫一层柔软的东西，使针落在纸面上时不会弹跳起来．（3）．每组至少完成100次实验，分别记下其中相交和不相交的次数．（4）．统计全班的实验数据，估计针与平行线相交的概率．(在具体实验的过程中，要求每组学生都确定相同的l和a。

为了保证随机性，要求学生从一定的高度随意抛针．两个同学适当分工，使学生自主活动，汇总实验数据．此外，在实验过程中，有时针与线是否相交较难判断，建议学生忽略这次实验或者认为相交、不相交各计半次，等等)．学生积极参与活动,互相交流,思考并统计实验结果.8分钟后展示成果。

生1：我们小组100次中33次相交。

生2：我们有32次相交Array生3：100中有35次相交………师:同学们,我们按下列步骤,统计一下全班的试验结果:（1）.两个小组(200次);（2）.10个小组(1000次); （3）.全班(约2500次);其中相交（用1表示）和不相交(用0表示) 师：请同学们在用实验获得的数据估计针与平行线相交的概率的同时，用计算器计算实验的总次数除以直线与平行线相交的次数，你会有什么惊人的发现? (同学们计算、讨论后回答)生：得到的商好像是的一个近似值．而且投掷次数越多，得到的π的近似值越精确．师：很好!其实这件事绝非偶然，这就是布丰的投针实验结果。

（出示课件）：最后布丰把宾客们做的试验结果统计了一下说：大家共投针2212次，其中与直线相交的就有704次．用704去除2212，得数为3.142．他笑了笑说：“这就是圆周率π的近似值．”这时，众宾客哗然：“圆周率π?这根本和圆沾不上边呀?” 布丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的确就是圆周率π的近似值．你们看，连圆规也不要，就可以求出π的值来.只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确．”师：大家相信布丰的试验结论吗？ 生：（相信！）我们的实验告诉我们把总的次数除以相交的次数，得到的商一定是圆周率的近似值，投掷次数越多，得到π的近似值越精确。

师：好，那就请同学们打开书阅读“读一读”——投针实验．这篇短文介绍了关于投针实验的一些历史资料，以及其概率与π之间的关系，据此获得一种估计π的值的方法．因此得到π=相交次数投掷总次数 k n 的结论。

结论：当实验出现的各种结果的可能性不同时，这个事件的概率就不能用列表或画树状图的方式求出，只能用实验的方式。

当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率。

设计意图：一方面在教师的指导下，学生积极的参与活动，认真的完成投针实验，通过自己的亲身试验得到当实验次数足够多时，实验频率稳定于理论概率的结论。

另一方面在教师的引导下，学生通过计算，积极思考，互相讨论交流，明确了投针实验也可以用来估计值。

其次通过布丰投针实验的故事和阅读课本“读一读”学生了解一些历史知识。

主要是给学生一定的拓展空间，让学生体会到有些高深的数学中蕴涵的思想极其朴素，从而激发学生的数学学习兴趣． 3.学有所用从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?组成合作小组，用实验的方法估计针帽着地的概率，并与其它小组进行交流。

师：下面大家动手做一做，齐心合力完成这次活动。

活动2：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计某一事件发生的概率．活动方式：小组合作交流，全班汇总实验数据，交流研讨．活动工具：形状、大小完全相同的图钉．活动步骤：(1)．分组：每组5人．(2)．每组每人做20次实验，根据实验结果，(4)．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人的实验数据，相应得到实验40次、60 次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．(5)．汇总全班各小组实验数据，相应得到实验100次、200次、300次、400次……时钉帽着地的频率。

(6)．由统计图可知，估计钉帽着地的概率．在实验中，图钉必须从一定高度自由落下，保证着地时的随机性；为了体现学生的自主性，实验活动及实验数据的汇总等活动都由学生自行完成；教师巡视并正确评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等学生小组合作交流，教师不得参与。

5分钟后，展示成果。

师：时间到，哪个小组完成了。

通过实验得到：钉帽着地的概率大。

估计钉帽着地的概率50％多．师:大家做得都很好. 让我们一起来研究一下，掷一枚图钉时，出现“钉帽着地”这一结果的概率．师:下面我们将两个小组的数据统计成抛掷200次的实验数据,并计算出相应的频率再制成折线统计图,这样更直观一些,更方便我们求钉帽着地的概率．师:根据折线统计图，大家能得到“钉帽着地”的频率吗？生：我们从图中可发现，“钉帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了，最后大致在56.5％左右摆动．由此我们可以估计“钉帽着地”的概率约为56．5％，即0.565.结论：“钉帽着地”的概率大于针尖着地的概率, “钉帽着地”的概率约为56．5％设计意图：学生通过独立的完成图钉下落实验,从而学会了用实验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率。

学生通过实验、统计等活动过程，再次亲自体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”，最后师生共同探索“钉帽着地”的概率,培养学生之间合作交流的意识和概括总结的能力。

4.学有所思师：通过本节课的学习，你有什么收获？下面请大家根据课件回忆本节课内容.出示课件：(1)、用几句话归纳这节课的主要内容．(2)、完成了这节课的学习，对我影响最深的学习体验是什么？(3)、这节课还存在的疑惑是什么？又将如何去解决。

学生畅所欲言，互相补充,互谈体验,疑惑.教师适时点拨,引导学生解决疑难.设计意图:首先鼓励学生用规范的几何语言进行归纳总结，其次是通过学生的自我构建培养他们的归纳总结能力和逻辑思维能力。

5.过关检测:(1).在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机实验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（）A116B14C16πD4π（2）.随意地抛一粒豆子,恰好落在图1中的方格中(每个方格除颜色外,其他完全一样),那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是(3).一张边长1cm的正方形纸上画了一个面积最大的圆如图2，贴在墙上做投镖游戏，若镖一定能投中正方形纸，且可以投中任意一点，则镖投不进圆内的概率有多大？（4）.方方家靠近马路，每天放学后，她都喜欢站在路边观察来往的车辆，她发现，经过的汽车中，有国产的，也有进口的，于是她记录下从一刻起经过自己眼前的100辆车的产地，其中国产车68辆，其余为进口车，她由此得出结论，现在国产车占我国轿车总量的68%，进口车占32%，你认为她的说法正确吗？设计意图:利用练习题来引导学生掌握用实验对一些复杂的随机事件发生的概率进行估计的方法．6．课后作业:必做题:(1).如图,准备三张纸片,两张纸片上各画一个三角形,另一张纸片画一个正方形,如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀,那么,随机以抽取两张纸片,可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片).也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片),这个游戏的规则是这样的;看拼成一个菱形,甲赢; 看拼成一个房子,乙赢,你认为这个游戏.是公平的吗?请玩一玩这个游戏,用你的数据说明你的观点(2).从一定的高度掷一个瓶盖,落地后可能盖面朝上,也可能盖面朝下.你估计哪种事件发生的概率大?组成合作小组,用实验的方法估计盖面朝上的概率,并交流各组的瓶盖以及所求结果,看看结果是否相同,讨论其原因.选做题:(3)活动与探究: 随便说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗?一定能围成一个钝角三角形(其中最大边长的平方大于另两边的平方和)吗?估计能围成一个钝角三角形的概率．（老师提示:以3个正数为边长围成一个钝角三角形的概率P也与π有关.）设计意图:作业设计了两种类型,分为必做题和选做题，这样分类，一方面使每个学生都能更好的巩固本课知识，另一方面可以使有能力的学生得到进一步的提升.同时也培养了学生的挑战能力.）板书设计：教学反思:这节课我首先利用布丰先生的投针实验故事，激起学生的学习兴趣及其探索的欲望，从而引入新课，然后提出问题引导学生思考能否借助列表或树状图求出该针与平行线相交的概率，力图引起学生的认知冲突，产生实验估计的愿望．最后学生通过实验、统计等活动过程，亲自体验到“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”。