布丰投针实验模拟

系统建模与仿真
基于MATLAB的布丰实验模拟
*名：***
学号： ********
指导教师：**
2022年4月26日
目录
基于MATLAB的布丰实验模拟 .................................................................... - 1 -
一、实验原理......................................................................................... - 1 -
二、编程模拟......................................................................................... - 1 -
1、程序流程图............................................................................... - 1 -
2、程序代码................................................................................... - 2 -
三、实验结果......................................................................................... - 2 -
基于MATLAB 的布丰实验模拟
一、实验原理
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离a 。

可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。

因此，如果圆圈扔下的次数为n 次，那么相交的交点总数必为n 2。

现在设想把圆圈拉直，变成一条长为a π的铁丝。

显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为a π，根据机会均等的原理（即等概率事件），当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。

这就是说，当长为a π的铁丝扔下n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为n 2。

现在转而讨论铁丝长为l 的情形。

当投掷次数n 增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数k 应当与长度l 成正比，因而有：l k λ=，式中λ是比例系数。

为了求出λ来，只需注意到，对于a l π=的特殊情形，有n k 2=。

于是求得a n πλ2=。

代入前式就有：a m πln 2≈从而ak
nl 2≈π。

二、编程模拟
1、程序流程图
否
其中，判断是否相交是看条件θsin 2
l y <是否成立，如果成立则说明相交。

判断是否结束，是看计算精度（本次结果与上次结果差的绝对值）有没有达到要求。

2、程序代码
%%布丰实验模拟
clear all ;clc
format long
%初始化参数
tic
a=50; %平行线间隔
l=30; %针长
k=0; %相交次数
n=0; %投针次数
e=1e-8;%计算精度
pai=0;
r=abs(pi-pai);
while r>e
y=25*rand(1); %位置坐标
theta=pi*rand(1); %角度
if y < abs(0.5*l*sin(theta)) %判断是否相交
k=k+1;
n=n+1;
pai=(2*n*l)/(a*k);
r=abs(pi-pai);
else %不相交
n=n+1;
end
end
disp('实验情况:')
disp('投针次数:')
disp(n)
disp('相交次数:')
disp(k)
disp('实验结果π=:')
disp(pai)
toc
三、实验结果
用上述程序进行模拟，可以得到如下图所示的结果：
可以看出，计算精度达到8
10 时，计算速度还是比较快的。

但存在的问题是，个别情况下会出现计算迟迟达不到精度要求，耗时过长。

另外，用MATLAB GUI对本次模拟实验做了可视化窗口，如下图所示：
使用过程中发现，其计算速度有进一步提高。

但是有较大的偶然性，根据随机数产生的不同，计算速度会有明显的差异。