布丰投针
蒲丰投针问题
蒲丰投针问题1.蒲丰简介蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名的博物学家。
他喜欢研究数学和生物学。
主要的贡献有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的说法就叫微积分。
（2）写了一本巨著，这部巨著的名字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。
这个自然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学生又完成了。
这本书对后来的世界有很大的影响，尤其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很厉害的。
2.蒲丰投针1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一个家庭宴会。
邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。
做什么实验呢，就“投针”。
那朋友来了之后发现，就是桌子上有很多根间距相等的平行线。
然后蒲丰就说了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。
然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都有可能。
有的针就没有跟平行线相交，比如这个，这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。
其中与这个平行线相交的针有多少个，数了一下有m =704个。
然后他说，我现在可以计算圆周率了，别人都不信，他说你看我圆周率怎么算，我只要把这两个数相除就行了。
我用n 除以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。
别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。
3. 蒲丰投针原理(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。
然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。
比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。
x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。
数学中的三大常数
数学中的三大常数π,e,φ姓名:高伟学号:12111204002班级:数教1201摘要文章考查了三个特殊的数π,e,φ, 找到了美在数学中的具体表现, 并以此出发阐述了数学美对学生学习数学兴趣的培养的重要性。
关键词:数学美π,e,φ无理数Three constants in mathematics:π,e,φName:GaoweiNumber:12111204002AbstractThe article examines the three special numbers in mathematics.Found the concrete embodiment of mathematical beauty and expounded the importance of the cultivation of students’ interest in learning mathematics.Keywords: mathematical beaut π,e,φ irrational如果有人告诉你, 数学是很奇妙的, 你可能会感到惊奇。
但你应该知道, 有些人毕生研究数学、创造数学, 就像作曲家创作音乐一样。
这是为什么呢? 也史上的许多学者、数学家的描述可以说明这一切。
彭家勒说: “数学家把义的方法和他们结果的美联系起来。
这不是纯粹的浅薄猎奇。
事实上, 在解题、证明中, 给我们以美感的是什么呢?是各部分的和谐, 是他们的对称、他们的巧妙平衡。
总而言之, 就是引人次序, 给出统一, 容许我们同时清楚地观察和理解整体和细节的东西。
”维纳认为: “ 数学实质上是艺术的一种。
”徐利为:“容结构上和方法上也具有其自身的美。
”可见, 正是数学的美引导一代一代的学家攀登一座一座数学高峰。
为此, 为吸引年青的数学工作者从事数学研究, 从小就应让他们感到数学美。
解决费尔马猜想的安德鲁·怀尔斯就是在10 岁到图书馆发现了别刃多年悬而未决的费尔马猜想在表面上的简单易懂, 这种简美让他对数学着了迷, 从而让他终生从事数学研究【1】。
布丰投针实验详解
布丰投针实验详解1777年，法国数学家布丰（D，Buffon，1707年-1788年）提出了随机投针法并通过投针实验计算出了圆周率π的值，与刘徽的“割圆术”不同的是，随机投针法是利用概率统计的方法来计算圆周率π的值，开辟了计算圆周率的新途径，因此，“布丰投针实验”成为概率论中很有影响力的一个实验。
程序运行时，计算机上将显示出每次“投针实验”的具体情况，即显示当前总投掷的次数、钢针与平行线相交的次数以及由此计算出来的圆周率的值，当满足所设置的精度要求后，程序就停止运行，当钢针投掷276427次后，所计算出来的圆周率值满足精度要求，此时钢针与平行线相交131984次，圆周率计算结果为3.14159670869196.当然，由于“投掷动作”具有随机性，因此每次“投针实验”的仿真结果不一定相同，为了使计算结果更趋近于π，可以减小误差，取更小的s的值来提高计算的精度，当然仿真实验的时间也会随之变长，值得说明的是，若将一根钢丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a，投掷的结果不外乎有两种：一种是与一条平行线相交，一种是与相邻两条平行线相切，这两种情况都将导致圆圈和平行线有两个交点，因此，如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点数必为2n。
若将圆圈拉直变成一根长为πa的钢针，显然，这样的钢针被扔下时与平行线相交的情形要比弯成圆圈的情况复杂得多，可能没有交点，还可能有1个交点、2个交点、3个交点、4个交点，由于圆圈和拉直后的钢针的长度相同，根据机会均等的原理可知，当投掷的次数足够多时，两者与平行线组的交点的总数将是一样的，换句话说，当长度为πa的钢针被扔下无穷多次后，它与平行线相交的交点总数也为2n。
從本质上看，上述投针实验运用了离散事件系统仿真，如果按照布丰的做法，进行成千上万次的投针实验和手工计算，势必要消耗大量的人力、物力和财力，而通过运用类比的方法，对实验进行系统建模，在此基础上使用计算机进行系统仿真来解决问题，事情就会变得非常简单，我们只需要根据已掌握的经验与认识，通过对比分析1，运用数学语言、数学符号、数学公式、数学概念等来表达这些量，从多种复杂的因素中抽取主要因素，忽略次要因素，抓住事物的本质特征，运用一系列等式或不等式来表达各个量之间的关系，从而建立起研究对象的数学模型，这有助于掌握复杂事物的内在规律。
说π：这么复杂的一个数,谁算的？咋算的？
吹个肥皂泡，泡泡是圆的。
一滴雨珠滴落在地面上，水痕是圆的。
眼珠是圆的，月亮是圆的，天穹仿佛也是圆的。
为了把这个简单的圆搞定，从古至今不知有多少人穷尽了智慧。
但他们的努力并没有白费，今天的小学生都能对它的终极奥秘了如指掌：它就是圆的周长和直径之比——π。
很少有一个数字，它的伟大和精妙，它的神秘和捉摸不清，能够从史前开始，就贯穿了人类数学史，为了算π，古往今来的数学家和工程师们可谓穷尽所学。
那么，我们究竟为什么要费劲儿搞出这么长一串看起来毫无规律的数字呢？没有“边”可算？用“割圆术”试试看3.1415926，数学只要不是体育老师教的，这个π近似值应该都能脱口而出。
这什么水平？放在古代，你已经完爆了绝大部分的数学家了。
远古时期，交通基本靠走，通信基本靠吼，测量靠啥？靠的是实物，精度也就可想而知了。
造个圆的车轱辘都难于上青天。
把π的比率搞到小数点后两位这一点点进步，更是花费了人类不少时间。
公元前1500年，巴比伦人的泥板上，π是25/8，也就是3.125；在古埃及，π是（16/9）2，也就是3.16，大约是用面积反推；古印度的一些典籍里面，π和根号10一样，等于3.162；《九章算术》干脆就直接“周三径一”，π=3.33。
后来，“数学家”这种生物出现了。
世界在他们的眼里，不再是一个个的车轱辘，而是简洁的线条和抽象的规则。
圆溜溜的边没法下手，那我们就拿长得像圆的开刀：六边形比方的“更圆”，八边形比六边形更圆，二百五十六边形从远处看基本就是圆了……这就是所谓“割圆术”的基本思想。
六边形，十二边形......边数再多一点呢？生活在三国时代、为汉代数学典籍《九章算术》做注的刘徽，似乎是参透了“圆出于方”这种玄学之辞。
他研究出来的割圆术，给后世算圆周率的指了一个明路。
“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于无可割，则与圆合体而无所失也”。
而且，他采用了双向迫近的方法，相当于给了上限和下限，让结果更加精确。
刘徽自己割出了3072边型，算出了π=3.1416。
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
蒲丰氏投针问题的模拟过程
蒲丰氏投针问题的模拟过程，随机数发生器也是自编的，以供大家参考和提出建议。
谢谢。
（seed1和seed2最好选择3和5，为了使投针次数达到1000000，CVF进行如下设置Project->settings->link->output，将stack allocations reserve:设为1000000000）program getpiimplicit nonereal,parameter::a=5,L=4,pi=3.14159integer::n1,i,counter=0real,allocatable::R1(:),R2(:)real::theta,x,pi1write(*,*) 'input the size of the array:'read(*,*) n1allocate(R1(n1))allocate(R2(n1))call random(n1,R1,R2)do i=1,n1x=a*(2*R1(i)-1)theta=pi*R2(i)if(abs(x)<L*sin(theta)) counter=counter+1end dopi1=(1.0*n1)/(counter*1.0)*(2.0*L/a)write(*,*) 'this is PI:'write(*,*) piwrite(*,"('this is ratio of counter to total number',F10.6)")1.0&*counter/n1stopend programsubroutine random(n,R1,R2)implicit noneinteger n,seed1,seed2,i,little,mreal::R1(n),R2(n)integer::temp1(n),temp2(n)write(*,*) 'input seed1'read(*,*) seed1write(*,*) 'input seed2'read(*,*) seed2m=2**30m=m*2-1temp1(1)=397204094temp2(1)=temp1(1)R1(1)=(1.0*temp1(1))/(1.0*m)R2(1)=(1.0*temp2(1))/(1.0*m)little=0if(R1(1)<0.5) little=little+1do i=1,n-1temp1(i+1)=mod(seed1*temp1(i),m)R1(i+1)=(1.0*temp1(i+1))/(1.0*m)temp2(i+1)=mod(seed2*temp2(i),m)R2(i+1)=(1.0*temp2(i+1))/(1.0*m)if(R1(i+1)<0.5) little=little+1 .end do ;write(*,*) 'ratio of number which is little than 0.5'write(*,*) 1.0*little/nreturnend subroutine拟蒙特卡洛方法(Quasi-Monte Carlo)积分实例%使用Matlab提供的函数求积分,exp(-1/2*x^2)在(0,1)间积分 format long; syms xa = sym(1/2);f = exp(-a*x^2);ezplot(f)disp(int(f,-1,1));fprintf('integral result:%1.18f.\n',double(int(f,0,1)));%disp(double(int(f,0,1)));复制代码%使用拟蒙特卡洛方法积分%得到拟蒙特卡洛序列,即低偏差序列,halton法%如果有相关的工具箱的话,可以用Matlab里面的haltonset,faureset,sobolset 函数实现,x=halton(10000,2,5577);n=length(x);mju=0;for i=1:nmju=mju + exp(-0.5*x(i)^2);endmju=mju/n;fprintf('Quasi-Monte Carlo result:%1.18f.\n',mju);%disp(mju);%使用蒙特卡洛方法积分%得到Uniform序列,x=random('unif',0,1,10000,1);n=length(x);mju=0;for i=1:nmju=mju + exp(-0.5*x(i)^2);endmju=mju/n;fprintf('Monte Carlo result:%1.18f.\n',mju);%=============生成HALTON序列======================== function result = halton( m,base,seeder )%生成HALTON序列% Check inputsif nargin < 3seeder = 0;if nargin < 2error('MATLAB:Halton:NotEnoughInputs',...'Not enough input arguments. See Halton.'); endendres=0;n=length(base);for i=1:mfor j=1:nelement=0;temp=seeder+i;k=1;while temp>0element(k)=rem(temp,base(j));temp=fix(temp/base(j));k=k+1;endres(i,j)= 0;for k=1:length(element)res(i,j)=res(i,j)+element(k)/(base(j)^k); endendendresult=res;。
数学趣话：数学原来这么有趣-高中数学公式背后的故事
数学趣话：数学原来这么有趣-高中数学公式背后的故事也许，此时的你正被数学老师的作业压抑得喘不过气来，被函数、立体几何、线性回归折磨得只想放弃。
但你可能不知道，数学有他本身的美，数学的背后，有许多有趣的故事。
音乐家说数学是世界上最和谐的音符。
植物学家说世界上没有比数学更美的花朵。
美学家说哪里有数学，哪里才有真正的美。
哲学家说你可以不相信上帝，但是你必需相信数学，世界什么都在变，唯有数学是永恒的。
其实你一点都不讨厌数学可能你对以上的各种回答还不能产生共鸣，因为，正处于学生生涯的你（尤其是文科生），只想说：数学是我的噩梦！英国学生 Rory Kirkman 在数学考试两次失败后，把可恨的二次方程求根公式纹在了身上我们真的那么讨厌数学吗？今天，就让我们来一次伟大的数学公式巡礼。
如果在课堂上，老师告诉了你数学公式背后有这么多有趣的故事，你会爱上数学吗？伟大的数学公式巡礼NO.1 世上最简单的公式稍有数学阅历的人都有这样的直觉，凡是“简洁”的公式都会给人以美感。
而 1+1=2，这是所有公式中最简单明了的一个了，我们只有把它的发明归功于上帝。
公式背后的故事：尽管从远古起人们都心照不宣地知道 1＋1＝2，但直到1557年的某一天，这一等式才写成类似于我们今天的形式。
也就是说等号这个每个等式中都有的成分直到16世纪才第一次出场亮相。
NO.2 毕达哥拉斯定理即勾股定理。
“勾三股四弦五”，这一定理是如此地深入每一个地球人的心灵。
它是人类早期发现并证明的重要数学定理之一（公元前约三千年的古巴比伦书版中就有记载），也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
公式背后的故事：毕达哥拉斯是古希腊传统数学和哲学的创始人。
以他的名字命名的学派是一个个人崇拜的秘密组织，鼓吹节欲、尊长和一夫一妻制。
他认为，世界万物都是由数字统治的，他用数字推断人的命运，如奇数被认为与男性有关，而偶数与女性有关。
布丰投针数学分析与实验设计(原创)
l 由(1)和(2)我们可以得出一些结论： n 根长度为 的小 n 针仍出去后压线的概率之和与一根长为 l 的针扔出去后压线 l 的概率相等；将 n 根长为 的小针连接成任意形状后扔出去 n 压线的概率与长为 l 的针扔出去压线的概率相等；当 n ，线就是曲线，所以结论可以进一步推广：随机投
k
称作这个连分式的第 k 个渐进分数。同时，
k
它也是所有分母不超过
q 的分数中最接近实数 x 的分数，
k
k
是实数 x 的第 k 个最佳渐进分数。
k
求渐进连分式，当然可以用上面分式求出，下面给出第
p k 个渐进连分式 的递推求法： q p a q 1 p a a 1 q a a p p ( k 2) p q a q q ( k 2 )
如上图所示，AB 针的长度为 2l ，CD 针长度为 l 。在 AB 针 或 AB 针的延长线与直线的夹角为 ，AB 针的中点 M 的取
角 相等，所以 M ' , M ' ' 是 m' , m' ' 的两倍，于是 CD 与直线相交的概率是 AB 与直线相交的概率的一半。对于其 余任意夹角都有这个结论。所以：长度为 l 的针与直线相交 的概率是长度为 2l 的针与直线相交概率的一半。
产生误差原因 1：m/n 的精度问题，这个是数学造 成的误差。解决办法：选取合适的 m 值，使 m/n 的有 效数字达到要求的精度。 产生误差原因 2：如果针的端点与直线非常接近， 例如相距万分之一毫米，用肉眼无法判断针是否与直线 相交，造成误差。解决办法：该次事件无效，不予统计， 继续进行下一次实验。 产生误差原因 3：l/d 的精度问题，这是测量问题。 产生误差的原因 1 和 2，我们都可以解决，使之达
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时间 1777年的一天 地点 布丰家里 人物 布丰邀请的众多宾客 起因 布丰请大家前来观看一次据 说非常非常奇特的实验。 经过 …… 旁白 此时布丰已经70岁！
1、纸上是一条条等距离的平行线 2、小针的长度是平行线间距离的一半 记录：①投针次数 ②针与直线相交的次数
反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说： “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以 作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”
• 为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。
实验时期
• 基于对一个圆的周长和直径的实际测量得出的
• 在古代世界，实际上长期使用p =3这个数值
• 最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章 节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发 生在公元前950年前后
密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致 于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”
分析法时期
1593年，韦达给出
2 2 2 2 2 2 2
p2 2
2
这一公式是 p 的最早分析表达式。它表明仅仅借
助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可
算出 p 值。
沃利斯1650年给出 p 2 2 2 4 4 6 6 8 8
当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交 的交点总数m应当与铁丝的长度l成正比，因而有
m=kl 式子中k是比例系数 下面求出k的值
我们知道当l =p d 时，m≈2n，即2n =k p d ，所以
k 2n
pd
于是
m 2ln
pd
从而 p 2ln （布丰公式）
dm
当
l是
d 的一半的时候，
p n
数据统计 投针次数：2212次 针与直线相交次数：704次 数据分析：2212÷704≈3.142
3.142是p近似值
历史上一些学者的计算结果(直线距离l=1)
试验者 时间 针长 投掷次数 相交次数 π的近似值
Wolf
1850 0.8
5000
2532 3.1596
Smith
De Morgan
Fox
96边形才算出p的值域.
在中国
• 刘徽 公元263年前后，刘徽提出著名的 “割圆术”求出了比较精确的圆周率。刘 徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系， 从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十 二边形、正二十四边形，正四十八边 形……，一直到正三○七二边形，算出圆 周率等于三点一四一六，将圆周率的精度 提高到小数点后第四位。
一个圆圈，使其
d d=2r
圆的半径为 r
直径恰好等于平 行线间的距离d， 对于这样的圆圈 来说，不管怎么
扔，圆圈都将和平行线有两个交点，因此如果圆圈
扔下的次数为n，那么相交的交点总数m=2n.现在将 圆圈拉直变成一条长为p d 的铁丝直线，根据机会均
等的原理，当它们投掷次数较多并且相等时，两者
与平行线组交点的总数也是一样的. 那么m≈2n
• 祖冲之 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论：
•
3.1415926 ＜ p ＜ 3.1415927
同时得到p 的两个近似分数：
约率为22／7≈3.143 密率为355／113 ≈3.1415929
• 他算出的 p 的8 位可靠数字，不但在当时是最精
几何法时期• 真正使圆源自率计算建立在科学的基础上，首先应归
功于阿基米德。他是科学
地研究这一常数的第一个
人，是他首先提出了一种
能够借助数学过程而不是
通过测量的、能够把 p 的 圆周长大于内接正多边
值精确到任意精度的方法。形周长而小于外切正多边
由此，开创了圆周率计算 形周长．
的第二阶段。
据说阿基米德用到了正
1855 0.6 1860 1.0 1884 0.75
3204 600 1030
1218 382 489
3.1554 3.137 3.1595
Lazzerini 1901 0.83 3408
1808 3.1415929
Reina
1925 0.5419 2520
859 3.1795
释疑
r
找一根铁丝弯成
布丰投针求圆周率p
上海市张江集团学校 李磊
圆周率p的计算历程
• “圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中 外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出 圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个 神秘的数贡献了无数的时间与心血。
• 回顾历史，人类对 p 的认识过程，反映了数学和计算 技术发展情形的一个侧面。 p 的研究，在一定程度上
m
结语
布丰实验的重要性并非是为了求得比其它 方法更精确的p值. 布丰投针问题的重要性在于 它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计 算p的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫 绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学 问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计 算的前导.