云南师范大学 概率论实验报告 随机模拟计算的值--蒲丰投针问题
概率论实验
实验一随机模拟计算π的值--蒲丰投针问题1、问题的背景在历史上人们对π的计算非常感兴趣性，发明了许多求π的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求π的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法。
2、实验目的本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来的随机模拟法，从中体学会到新思想产生的过程。
(1) 学习和掌握有关数学软件的命令；(2) 掌握蒲丰投针问题；(3) 理解随机模拟法；(4) 理解概率的统计定义；3、实验主要内容蒲丰投针问题：平面上画有间隔为(0)d d>的等距平行线，向平面任意投一枚长为()<的针，求针与任一平行线相交的概率，进而求π的近似值。
l l d对于n=50、100、1000、10000、50000各作5次试验，分别求出π的近似值，写出书面报告、总结出随机模拟的思路。
实验二正态分布的综合实验1、问题的背景正态分布是实际生活中最常用的概率分布，在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要的价值，应熟练掌握和运用。
2、实验目的学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会相关绘图工具的使用。
3、实验主要内容(1) 利用随机数发生器分别产生n=100、1000、10000个服从正态分布N的随机数，每种情形下各取组距为2、1、0.5作直方图及累积百分比曲线(6,1)图；μ=，分别取标准差为σ=0.01、0.02、0.03，绘制(2) 固定数学期望0.05密度函数和分布函数的图形；(3) 固定标准差为0.02σ=，分别取数学期望为μ=0.03、0.05、0.07，绘制密度函数和分布函数的图形。
实验三 产生服从任意分布的随机数1、问题的背景实际中经常需要用到服从指定分布为()F x 的随机数据。
学会产生服从任意分布的随机数，对今后的学习和实际应用而言，是非常有帮助的。
2、实验目的要求学会产生分布函数为预先指定的分布函数()F x 的随机数；利用所产生的随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。
随机模拟Buffon投针试验统计计算实验报告
（4）分析模拟结果
实验硬件及软件平台：
计算机 MATLAB VC 网络
实验步骤：
复习第四章有关知识，熟悉Buffon投针试验的原理
运用MATLAB，编写相关程序，输入代码
观察实验结果，进行讨论
撰写实验报告
实验内容（包括实验具体内容、算法分析、源代码等等）：
x=0;y=0;%赋变量初值
m=length(N);%求变量N的长度
pm=zeros(1,m);%赋变量初值
pival=pm;%赋变量初值
ri=1:m%通过循环求基于蒙特卡洛方法的模拟概率pm和圆周率pival
x=pi*rand(N(i),1);%产生[0,pi]上均匀分布随机数
y=d*rand(N(i),1)/2;%产生[0,d/2]上均匀分布随机数
（法一）Buffon投针试验求圆周率：
functiony=Buffon(a,l,N)//a为平行线间的距离；l为针长；N为投针次数
M=0;
i=0;
whilei<=N
xi=rand()*a/2;
yi=rand()*pi;
ifxi<=l/2*sin(yi)
M=M+1;
end
i=i+1;
end
phi=2*l*N/(a*M);
yb=h*sin(x)/2;
pm(i)=sum(y<=yb)/N(i);%求模拟概率
pival(i)=2*h*N(i)/(d*sum(y<=yb));%求圆周率的模拟值
end
实验结果与讨论：
Buffon投针试验求圆周率：
云南师范大学 概率论实验报告 随机事件的模拟--模拟掷均匀硬币的随机试验
实验总结：概率论与数理统计的研究对象都是随机事件，所以产生的数必须是随
机数数，而且需要通过大量的实验数据才能统计出实验结果，所以随机数应尽量大一 些，实实验数组也该多一些才能得到相对正确的答案。
进一步讨论或展望: 通过本次实验，我们以后也可以用 Excel 模拟随机事件，从而确定出现的现象的概 率。
数学实验报告
实验序号：2 班级 实验 名称 问题的背景： 抛硬币实是一个古老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论.但要做这个简单 而重复的试验，很多人没有多余的时间或耐心来完成它，现在有了计算机的帮助，人 人都可很短的时间内完成它. 抛硬币试验：抛掷次数为 n . 对于 n=20,50,100,1000,2000 各作 5 次试验.观察有没 有什么规律，有的话，是什么规律. 实验目的： （1）学习和掌握 Excel 的有关命令 （2）了解均匀分布随机数的产生 （3）理解掌握随机模拟的方法. （4）体会频率的稳定性. 实验原理与数学模型： 12 级 B 班 姓名 日期： 2014 年 3 月 30 日 学号
实验过程：(含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等) 一、产生随机数 (1)用 Excel 表格完成模拟实验，打开 Excel，在“工具栏”中选择“数据分析” ，在 弹出的对话框中选择“随机发生器” ，单击“确定”后弹出“随机发生器” ； (2)在“变量”处填上“1” ，在“随机数个数”处填上“n” ，在“分布”处填上“伯 努利” ，在“p(A)”处填上“0.5” ，在“输出区域”处填上要输出的第一个数据的位置， 单击“确定”后就产生了 n 个随机数。 二、统计随机数的个数 (1)打开“插入函数” ，在弹出的对话框中，在“或选择类别”处选择“统计” ，在“选 择函数”处选择“COUNTIF”后单击“确定” ； (2)在弹出的另一个对话框中，在“range”处填上要统计的这 n 个数在表格中的位 置， ，单击“确定”后就会在表格中的指定位置处出现“0”或“1”的个数。 三、分析数据 (1)抛硬币的试验数据如下：
蒲丰(Buffon)投针试验
一、利用Matlab计算机语言验证蒲丰(Buffon)投针试验问题给定a=10，b=5时，模拟100万次投针实验的Matlab程序如下：a=10;b=5;n=1000000;p=10; % a为平行线间距，b为针的长度，n为投掷次数，p为有效数字位数x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);phi=unifrnd(0,pi,[n,1]); % 产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针的倾斜角y=x<0.5*b*sin(phi); m=sum(y); % 计数针与平行线相交的次数PI=vpa(2*b*n/(a*m),p)运行结果PI =3.138919145二、利用C++计算机语言编程通过大量重复实验验证以下结论：三个阄，其中一个阄内写着“有”字，两个阄内不写字，三人依次抓取，各人抓到“有”字阄的概率均为1/3。
程序如下：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>void main(){int n=500000;int i,a[3]={0};srand(time(NULL));for(i=0;i<n;i++)a[rand()%3]++;printf("共测试%d次，其中有字事件有%d次, 占%.2f%%\n""抓到无字事件1有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件2有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件共%d次，占%.2f%%",n,a[0],a[0]*100.0/n,a[1],a[1]*100.0/n,a[2],a[2]*100.0/n,a[1]+a[2],(a[1]+a[2])*100.0/n);return 0;}。
蒲丰投针与几何概率的性质
（蒲丰投针问题）平面上有距离都为D 的平行线一族，向平面上任意投一根长度为L ()L D ≤的针，求针与直线相交的概率？解：设针的中点到最近直线的距离为x ，与此直线的夹角为 α则 )|0,02D S x x ααπ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（， 令 A=“针与直线相交”则 A ,)|0x sin ,0,022D D x x αααπ⎧⎫=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（L A P A =L Ω（）所以（）（）0sin d 2L 2L 2D D πααππ==⋅⎰ 另一方面，用统计概率的方法也可以求针与直线相交的概率，向平面投针n 次， 查得针与直线相交 m 次，当投针次数相当大时，就有2m L n D π≈ 2nL mDπ⇒≈ 由此式我们可以想象，在地面上画一族距离为D 的平行线，站在较远处，向平面上投长度为L ()L D ≤的小木棍，统计投掷次数n 和相交次数m , 当投掷 次数相当大时，就可以求出无理数 π的近似值，数学的奥妙真是不可思议！2、几何概率的性质（1）0()1P A ≤≤（2）()1P S =（3）设12,,..............k A A A 是k 个两两互不相容的事件，则 1212(..............)()()......()......k k P A A A P A P A P A ++++=++++与古典概率相比，第三条性质由有限可加性变成了可列可加性，这是由几何概型中基本事件的个数无穷多决定的，请看以下事实。
在区间 (0,1]内任意选一点，显然 {}|01(0,1]S x x =<≤=若令 122111"1]"]222A A ==点选入区间（，内，点选入区间（，内， (1)11"]22n n n A -=点选入区间（，内，…… 则有 121..............n n n S A A A A ∞==++++=而 ()1P S =1212(..............)()()......()......k k P A A A P A P A P A ++++=++++ 23111......1222=+++= 即满足可列可加性。
浦丰投针问题
怎么办呢？
如果我们将针的每一个位置看作是一个基 本事件，此时，假定每一个位置都“同等可能” 是合理的。这样就可以用几何概率去解决。
模型建立与求解
x 以M 表示针落下后的中点， 表示中点 M 到最近一条平行线的距离， 表示针于平行线
x
a 2
的交角
则基本事件区域为 a 0 x : 2 0
这种方法由于来源于浦丰投针问题，常常被 称为随机投针法。更进一步的，这种方法成为了 现代计算机模拟的基础——蒙特卡洛方法。
结束
L ( A)
a
x
x
a 2
投针简图
0
1 l sin d l 2
o
从而所求概率为 L( A) l 2l p L ( ) 1 a a 2
模型分析
2l 2）由于 p a
l 1）当比值 不变时， 值始终不变 p a
2l a 所以可以利用它来计算 的近似值
o
基本事件简图
它为 ox 平面上的一个矩形，其面积为：
a L() 2M 为使针与平线（这线必定是它与 最近的一条平行线）相交，其充要条件是 l 0 x sin , A 2 （为什么？） 0 显然A 是Ω 中的一个区域（如图） ， 而 A 的面积为
对于一些不确定的自然现象和科学实验 结果，我们通常用概率统计学去研究，建立 概率统计模型（随机现象）
问题：平面上画有等距离为a ( a 0) l 的一些平行线,向此平面投一长为 (l a ) 的针,试求此针与任一平行线 相交的概率？
分析： 针投到平面上与平行线的关系有两种可能：
针与这些平行线中的某一根相交，或不相交。 这两种可能性一般来说不一样大，即不具有等 可能性。因此无法用古典概率来求解。
蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)
（2006－3－7修改, 9-18再修改）例 （ 蒲丰（Buffon ）投针随机试验的讨论 ） 在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0>>l a , 设M 为针的中点，y 为M 与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）a y ≤≤0， πϕ≤≤0. 于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是ϕsin l y ≤（如图2），故相交的概率为ald l a dy d a p l πϕϕπϕπϕππ2 sin 1 1sin 000===⎰⎰⎰ (1) 我们用n 表示投针次数， n S 表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n 充分大时，频率接近于概率，即aln S n π2≈ 于是有naS nl2≈π （2）这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。
根据公式（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个 ：其中π的估计值就是利用π的近似公式（8）得到的，即1596.363320002532455000362≈=⨯⨯⨯≈π （Wolf ）1415929.31133551808334085.22≈=⨯⨯⨯≈π （Lazzarini ）一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf 的试验结果是π≈3.1596，只准确两位有效数字 .精度是由方差n p p n S D n )1(-=⎪⎭⎫⎝⎛决定的，为了确定概率p ，不妨取l =a 这一极限情况，这时π2≈p =0.6366，n n S D n 2313.0≈⎪⎭⎫⎝⎛，由积分极限定理， dx n p p p n S P x n n ⎰-∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--λλπλ221-e21)1(lim即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率（96.1=λ），保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字，001.0≤-=p nS nε 即≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-001,0p n S P n 95.021/)1(001.0)1(001.0212≥⎰----np p np p x dx eπ则必须有96.1/)1(001.0=≥-λnp p根据上式，要求试验次数7.88001.0/231.096.122≈⨯≥n 万次 .至于Lazzarini 的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数π的连分式，属于π的最佳有理逼近 . 很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .注：以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。
蒲丰投针试验
P(
A)
m( A) m()
A对应区域D的度量 对应区域S的度量
即等可能性
例（蒲丰投针问题）平面上有等距离的平行线，平行线间
的距离为a。向此平面任意投掷一枚长为l (l≤a) 的针，求针
与任一平行线相交的概率。
解：设M为针的中点，M点到最近平行线的距离为x，针与 平行线的夹角为θ。针的位置可由(x, θ)决定，
概率论与数理统计
蒲丰投针试验
几何概型
定义： 若随机试验的样本空间对应一个度
量有限的几何区域S，每一基本事件与S内的 点一一对应，则任一随机事件A对应S中的某 一子区域D。若事件A的概率只与A对应的区 域D的度量成正比，而与D的形状及D在S中的 位置无关。则称为几何概型。
事件A发生的概率为：
De Morgan(1860 1.0 600 年） Fox(1884年） 0.75 1030
相交次数 近似值 m
2532
3.1596
1219
3.1541
383
3.1332
489
3.1596
2
2l
m() a / 2 a
蒲丰投针实验的应用
利用随机模拟方法计算
P(A) 2l 2l
a
aP( A)
利用P(A)m/n。其中n为投掷次数，m为相交次数。 就可以近似计算。
验者
l/a 投掷次数n
Wolf(1850年） 0.8 5000
Smith(1855年） 0.6 3204
样本空间：
{(x, ) | 0 x a / 2, 0 }
设A：针与任一条平行线相交。其充要条件为:
x l sin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验原理与数学模型： 实验原理：由于投针投到纸上的时候，有各种不同方向和位置，但是， 每次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，那就是针的中点和 偏离水平的角度。 以 X 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，针与平行线相交（记为 事件 A） ，其充要条件是 x≤l*sinφ/2,因此 P（A）-2*l/(dπ).若做了 n 次试 验，有 k 次相交，则 k/n≈2*l/(dπ)即π≈2*n*l/（k*d） 。 实验所用软件及版本：Microsoftoffice Excel 2010 主要内容(要点): 蒲丰投针问题：下面上画有间隔为 d(d>0)的等距平行线，喜爱那个平 面内任意投一枚长为 l(l<d)的针，求针与任一平行线相交的概率，进而求 π的近似值。设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关， 通过重复实验，以频率估计概率，求得未知数的近似值。试验次数越多， 近似值就越精确。
从结果来看蒲丰投针试验计算出的π值与真实值相差不是太大，但是需要 做多次试验才可以得到比较准确的答案。
实验结果与实验总结(体会)： 实验结果：第一次 n=50 k=16 π=3.125 第二次 n=100 k=32 π=3.125 π=3.389831
第三次 n=1000 k=295
第四次 n=10000 k=3237 π=3.1588 实验总结：做了多组试验后发现，当 n 取值很小时，误差的结果有点大， 而当 n 的取值越来越大时，得到的值会越来越接近π的值，所以以后做实 验的时候我们要多做几组数据，并且样本空间取得越大越准确。
实验过程： （含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等） 设 d=1,l=1/2,我们可以认为 x 服从[0,1/2]上的均匀分布，φ服从[0,π] 上的均匀分布。 (1)分别产生 x 和φ两列随机数(n=10000); (2)计算 l/2sinφ,在公式中输入 c4“($c$2*SIN(B4))/2”,确定，然后， 复制即可。 (3)比较大小，若 x≤(sinφ)/2,则赋值“TRUE” ，否则赋值“FALSE” ； (4)统计频数，用函数命令“COUNTIF” ，在参数选项内选“TRUE” ； (5)在公式行输入π≈2*n*l/(k*d),输入=(2*$c$2*$A$2)/($B$2*$E$4) 就可得到结果。
数学实验报告
实验序号：3 班级 实验 名称 日期： 姓名 2014 年 4 月 9 日 学号
2012 级 B 班 随机模拟计算
的值----蒲丰投针问题
问题的背景： 在历史上人们对 的计算非常感兴趣性，发明了许多求 的近似值的 方法，其中用蒲丰投针问题来解决求 的近似值的思想方法在科学占有重 要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法. 蒲丰投针问题： 平面上画有间隔为 d (d 0) 的等距平行线，向平面任意 投一枚长为 l (l d ) 的针，求针与任一平行线相交的概率 . 进而求 的近似 值. 对于 n =50,100,500,1000,3000 各做 5 次试验,分别求出 的近似值.写 出书面报告、总结出随机模拟的思路. 实验目的： 本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题,并由此发展起来的随机模拟法, 从中体学会到新思想产生的过程. （1）学习和掌握 Excel 的有关命令 （2）掌握蒲丰投针问题 （3）理解随机模拟法 （4）理解概率的统计定义
进一步讨论或展望: 通过这次试验，我们发现，当做同一 n 值的多次试验时，只要我们改动 其中的随机变量的值，也就是用随机发生器产生一组数据的时候我们就可 以得到一组新的数据，这样就会很方便的得到我们想要的结果，因此我们 要多多钻研 Excel 的各种强大的功能，方便我们以后的学习与生活。
教师评语与成绩：