高考数学复习点拨充要条件的判断策略

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高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ．例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案必要不充分解析因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案充分不必要条件解析当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案充要条件解析若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、选择题1．答案 D2．答案 A解析解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．二、填空题9．答案必要不充分解析设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y，所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

高考数学复习点拨解析充要条件的三种常用判断方式

1 / 1解析充要条件的三种常用判断方式1.利用集合间的相互关系进行判断．若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合． (1).若q p Q P 是则称,⊆的充分条件． (2).若P Q ⊆，则称p 是q 的必要条件． (3).若P Q ⊂，则称p 是q 的必要非充分条件． (4) .若Q P ⊂,则称p 是q 的充分非必要条件． (5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件．(6).若φ=⋂Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． (7).若A B ,⊆⊆且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件．例１．条件A ：()()014B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件．解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞⋃-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞⋃-∞-,14,，显然N ⊂M ，于是A 是B 的必要非充分条件．2.利用互为逆否命题的等价性进行判断．由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断．例3．,:,:B A x q B x A x p ⋂∉∉∉或的是说明q p 什么条件．解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈⌝⋂∈⌝且是::的什么条件．易见：B A x B x A x B x A x B A x ⋂∈⇒∈∈∈∈⇒⋂∈且及　且,，故p q p q ⌝⌝⌝⇔⌝是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件．例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件．解：原命题等价于判断23:5:==⌝=+⌝y x p y x q 或是的什么条件．显然.,q p p q ⌝⇒⌝⌝⇒⌝所以p 是q 的既不充分也不必要条件．３．利用真值表进行判断．我们首先给出关于命题p 和q 的真值表．pqq p 或q p 且p ⌝真假真假假假真真假真假假假假真真真真真真由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或” ，“且”，“非”等构成的，因此利用真值表进行判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成用逻辑联结词“或” ，“且”，“非”连接的与之等价的复合命题的形式．例5．判断命题0>x 是0≥x 的什么条件．解： ,000=>≥x x x 或即由真值表知：p 真q p 或⇒真，但q p 或真p ⇒真． 0>x 0≥⇒x ，但00>⇒≥x x ．故0>x 是0≥x 的充分不必要条件．例6．判断命题22b a ≠是b a b a -≠≠或的什么条件．解：.22b a b a b a -≠≠≠且即由真值表知：真或真，但或真真且q p q p p q p ⇒⇒b a b a b a q p -≠≠≠∴⇒或是真．　且22的充分不必要条件．以上二例紧扣真值表，在判断时要能够剖析命题中所蕴含的逻辑联结词，进而将复合命题分解．。

高考数学复习点拨判定充要条件的四法试题

断定充要条件的四法制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进展逻辑理必不可少的根底知识.高考对充要条件的考察主要以其他知识为载体进展两类问题的考察：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考察充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件〞、“必要且不充分条件〞、“充要条件〞、“非充分非不必要条件〞应该明确：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.下面就介绍几种充要条件的断定方法.方法一、定义法可以保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，表达充要条件的文字还有“当且仅当〞、“有且仅有〞、“必需且只需〞等语句.用逻辑符号表示为：(1)假设P⇒Q，且Q⇒/P，那么P是Q的充分且不必要条件，Q是P的必要且不充分条件；(2)假设Q⇒P，且P⇒/Q，那么P是Q的必要且不充分条件，Q是P的充分且不必要条件；(3)假设P⇒Q，且Q⇒P(或者⌝P⇒⌝Q)，那么P是Q的充要条件(此时Q也是P的充要条件)；(4)假设P⇒/Q，且Q⇒/P，那么P是Q的非充分非不必要条件.例1一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是〔〕A.A＜0B.A＞0C.A＜﹣1D.A＞1解析：假如一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根，那么两个根的积为负数，即﹣1＜0，所以A＜0，由此可知“一元二次方程Ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根〞⇒/“A＜﹣1〞，但“A a＜﹣1〞⇒一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根〞.应选C.二、命题法(1)假如原命题成立，逆命题不成立，那么原命题的条件是充分非必要的；(2)假如原命题不成立，逆命题成立，那么原命题的条件是必要非充分的；(3)假如原命题和它的逆命题都成立，那么原命题的条件充要的；(4)假如原命题和它的逆命题都不成立，那么原命题的条件是非充分非必要的.例2假设非空集合M≠⊂N，那么“A∈M或者A∈N〞是“A∈M∩N〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：因为命题“假设A∈M或者A∈N，那么A∈M∩N〞为假，它的逆命题：“假设A∈M∩N，那么A∈M或者A∈N〞为真，故“A∈M或者A∈N〞是“A∈M∩N〞的必要非充分条件，应选B.三、双箭头表示法由于逻辑联结符号“⇒〞、“⇐〞、“⇔〞具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过假设干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例3P是R的充分不必要条件，S是R的必要条件，Q是S的必要条件．那么P是Q成立的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：画出用双箭头符号表示表示P、Q、R、S的关系：P⇒R，S⇐R，Q⇐S，即P⇒R，S⇐R，Q⇐S，∴P⇒R⇒S⇒Q，即P⇒Q，又R⇒/P，那么Q⇒/P，故P是QA.四、集合法(1)假设A⊂__B，就是x∈A那么x∈B，那么A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)假设A≠⊂B，就是x∈A那么x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，那么A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)假设A=B，就是A⊂__B且A⊃__B，那么A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)假设A⊄B，A/⊃B，那么A是B的既不充分也不必要条件.例2也可这样解：由于M≠⊂N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：A∈M或者A∈N⇔A∈M∪N⇔A∈N，A∈M∩N=N⇔A∈M，而M≠⊂N，所以“A∈M或者A∈N〞⇐“A∈M∩N〞，所以“A∈M或者A∈N〞是“A∈M∩N〞的必要非充分条件，应选B.例3也可这样解：设条件P、Q、R、S相对应的集合为A、B、C、D，那么根据题设条件知：A≠⊂C，C⊂D，D⊂B，又由子集的传递性知A≠⊂B，所以P是Q成立充分不必要条件，应选A制卷人：打自企；成别使；而都那。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学复习考点知识与题型专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是() A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，a n＝a1q n－1<0，此时数列{S n}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}单调递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a ·b ＝0，则(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，所以“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充分条件；反之，由(a ＋b )2＝a 2＋b 2得a ·b ＝0，所以非零向量a ，b 垂直，“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的必要条件．故“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)．教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x ≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________．答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2 答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2，所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是a ≤2. 7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是()A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1.9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x <－1(答案不唯一)解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案a ∈[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B ．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案m ≥5解析依题意有x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x ，设f (x )＝x ＋4x (1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x (1<x <3)的值域为[4,5)，∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

考点03 充分、必要条件的2种判断方法(解析版)

2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019）专题一集合与常用逻辑用语考点3 充分、必要条件的2种判断方法【方法点拨】1. 定义法：根据p 推q ，q 推p 是否成立进行判断。

2. 集合法：根据p ，q 成立与对应的集合之间的包含关系进行判断。

【高考模拟】1．已知,a b ∈R ，则“6a b +>”是“3a >且3b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.【解析】 ,a b ∈R ，若6a b +>，则,a b 的大小无法确定，不能得出3a >且3b >，故充分性不成立，若3a >且3b >，则6a b +>，故必要性成立，∴“6a b +>”是“3a >且3b >”的必要而不充分条件.故选：B.2．设a ∈R ，则“1a >-”是“2log (23)1a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先解不等式2log (23)1a ->，再用集合法判断.【解析】由2log (23)1a ->解得：52a >记()51,,,2A B ⎛⎫=-+∞=+∞ ⎪⎝⎭∵B A ⊆,∴“1a >-”是“2log (23)1a ->”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．3．已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解.【解析】若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立， “x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B.4．对于实数x ，“1x <”是“||1x <”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解析】当1x <时，例如当21x =-<，但||1x >，故充分性不成立；反之，若||1x <，则11x -<<，故必要性成立.5．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（）A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D【分析】利用22a b a b >⇔>来判断AB ；利用2c ≥0来判断CD.【解析】对于A ，a b >a b >⇔22a b >，故“a b >”是“22a b >”的充分条件为假命题；对于B ，22a b >a b⇔>a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件为假命题；对于C ，当2c =0时，a b >22ac bc >,故“a b >”是“22ac bc >”的充分条件为假命题；对于D ，()2220ac bc a b c >⇒>≠，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件为真命题.故选：D6．已知a ，b 为实数，则“0a b >>”是“lg lg a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】利用lg y x =为增函数，分别判断充分性和必要性.【解析】充分性：∵lg y x =为增函数，∴0a b >>时有lg lg a b >，故充分性满足；必要性：∵lg y x =为增函数，∴lg lg a b >时可以得到0a b >>，故必要性满足；∴“0a b >>”是“lg lg a b >”的充要条件.【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.7．命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.【解析】 22012x x x --<⇔-<<，所以p q ，反之q p ⇒.故p 是q 的必要不充分条件.故选：B8．设R θ∈，则“sin θ<”是“04πθ<<”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解正弦不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解析】当sin 2θ<时，则32,22,22,44k k k k k Z ππθπππππ⎡⎫⎛⎤∈+⋃++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，当04πθ<<时，0sin 2θ<<，即“sin θ<”是“04πθ<<”的必要而不充分条件故选：B 9．若,a b ∈R ，使||||6a b +>成立的一个充分不必要条件是（）A ．6a b +≥B ．6a ≥C ．6b <-D ．||3a ≥且3b ≥【答案】C【分析】利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【解析】A ，3+36≥，不满足6a b +> ；B ，660a b =≥=，，不满足6a b +> ；C ，由6b <-可得6a b +>，反之，6a b +>，得不到6b <-，如2,5a b ==-.D ，33≥，33≥，不满足6a b +>.故选：C10．设a R ∈，则“2a =”是“24a =”的（）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】若2a =，可以推出24a =，故充分性成立，若24a =，则2a =±，不能推出2a =，故必要性不成立，所以“2a =”是“24a =”的充分不必要条件．故选：C.11．命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（）A ．4a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．1a ≤【答案】A【分析】 “[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题可转化为[]23,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案．【解析】若“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，得23,[1,2]x a x ≥∈恒成立，只需()2min 33a x≤=，所以4a ≤时，不能推出“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题时推出4a ≤，故4a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A ．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12．已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义判断.【解析】当0c 时，22ac bc =，所以“a b >”不能推出22ac bc >，反过来，当22ac bc >，时，20c >，能推出a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”成立的必要不充分条件.故选：C13．“a b >且c d >”是“a b d c ->-”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件定义判断即可得结果.【解析】当a b >且c d >时，0a b ->，0d c -<，所以a b d c ->-；反之不一定成立，如4a =，1b =，3d =，2c =满足a b d c ->-，但不满足a b >且c d >.故选：B14．已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】D【分析】先求出命题,p q 为真时，x 的范围，再根据充分不必要条件得出关于m 的不等关系，从而可得结论．【解析】 2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D ．15．“3πα=”是“()tan πα-=的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.解：充分性：3πα=， ()2tan tan tan 333πππαπ⎛⎫∴-=-==- ⎪⎝⎭，即3πα=能推出()tan 3πα-=-，即充分性成立，必要性：()tan 3πα-=-，则()23k k z ππαπ-=+∈，则()3k k z παπ=-∈，故()tan 3πα-=-推不出3πα=，故必要性不成立，故“3πα=”是“()tan 3πα-=-”的充分不必要条件.故选：A.16．a ∈R ，|a |<4成立的一个必要不充分条件是（）A ．a <4B ．|a |<3C ．a 2<16D ．0<a <3【答案】A【分析】利用集合法判断.【解析】因为|a|<4的解集是()4,4-，A. 因为()4,4- (),4-∞，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B. 因为()3,3- ()4,4-，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C. 因为a2<16的解集是()4,4-，所以a2<16是|a|<4成立的一个充要条件；D. 因为()0,3 ()4,4-，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；17．已知,m n 是平面α内的两条相交直线，且直线l n ⊥，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【解析】当l m ⊥时，因为,m n 是平面α内的两条相交直线，l n ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得l α⊥；当l α⊥时，因为m α⊂，所以l m ⊥，综上，“l m ⊥”是“l α⊥”的充要条件.故选：A.18．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.【解析】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足；反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥，必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B19．设R a ∈，则“a >是“22a >”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A首先根据22a >得到a >a <.【解析】由22a >，解得a >a <则当a >22a >成立.当22a >时，a >3a =-时，满足22a >，但a >.所以“a >是“22a >”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 20．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.【解析】充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac +-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立；必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立，综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件，故选：C.【点睛】方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.21．“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”的一个必要不充分条件是（）A ．4433m -≤≤B ．423m -<≤C ．4433m -<≤D ．403m -≤< 【答案】B【分析】求出“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”成立时实数m 的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论.【解析】由关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ，可得()23440m ∆=--⨯≤，解得4433m -≤≤，所以m 的取值范围是4433m -≤≤. 根据必要不充分条件的概念可知B 项正确.故选：B.22．已知x ∈R ，则“21x >”是“2x <”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件【答案】A【分析】解不等式21x >，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】解不等式21x >，可得2210x x x--=<，解得02x <<，{}02x x << {}2x x <，因此，“21x >”是“2x <”的充分不必要条件.故选：A.23．“()0,απ∈”是“sin 0α>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【解析】由()0,απ∈，可得sin 0α>由sin 0α>可得()22k k k Z παππ<<+∈，所以sin 0α>得不出()0,απ∈，可得()0,απ∈”是“sin 0α>”的充分不必要条件，故选：A24．设x ∈R ，则“1x >”是“11x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】解不等式11x <，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解析】解不等式11x <，即1110x x x --=>，解得0x <或1x >. {}1x x > {0x x <或}1x >，因此，“1x >”是“11x <”的充分不必要条件.故选：A.25．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.26．一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线是这两个平面垂直的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理来判断.【解析】根据线面垂直的判定定理：一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线可以推出这两个平面垂直；反过来，两个平面垂直也能够推出一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线.故选:C【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.27．命题 :p a b >，命题:q a c b c +>+（其中,,a b c ∈R ），那么p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断得出正确选项.【解析】若a b >，则a c b c +>+，所以命题p 可以得出命题q 成立，若a c b c +>+则a c c b c c +->+-，即a b >，所以所以命题q 可以得出命题p 成立，所以p 是q 的充要条件，故选：C28．设x 、y R ∈，则“0x >，0y >”是“0xy >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【解析】充分性：若0x >且0y >，则0xy >，充分性成立；必要性：若0xy >，则00x y >⎧⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，必要性不成立. 因此，“0x >，0y >”是“0xy >”的充分不必要条件.故选：A.29．已知22:1,:1p x y q x y +≤+≤，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别把221x y +≤和1x y +≤表示的区域表示出来，利用集合法判断.【解析】不等式221x y +≤表示单位圆及其内部的区域，1x y +≤表示以(1,0)±和(0,1)±为顶点的正方形及其内部的区域，画图可知q 对应的区域被p 对应的区域包含，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．30．使“不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件是（） A ．1x <B ．0x <C ．1x >D ．0x >【答案】B【分析】根据指数函数的性质，求得不等式的解集，再结合充分不必要条件和选项，即可求解.【解析】由不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得24122x x -++>，即241x x -+>+，解得1x <，结合选项，可得“不等式241122xx-+⎛⎫>⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件可以是0x<.故选：B.。

“充要条件”的判断方法

“充要条件”的判断方法“充要条件”是高中数学课程中的重要内容，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系. 它不仅是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，还是后面学习数学推理、数学证明等内容的基础，同时也是高考命题中实现知识交融交汇的重要载体. 因而，掌握“充要条件”的概念以及判断方法显得尤为重要. 本文对判断“充要条件”的几种常用方法加以盘点，仅供参考.定义判断法例1 设[an]是首项为正数的等比数列，公比为[q]，则“[q0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].但当[q0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分别为集合[M]和[N]，试判断“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么条件，并说明理由.分析判断一个较抽象、繁难的命题，往往可以尝试反例法（也称特殊值法），即列举一个（或多个）符合命题条件但又与该命题结论相矛盾的例子，从而说明该命题不成立.解由[x2-3x+2>0]与[-x2+3x-2>0]得，[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].显然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命题的条件不是充分条件.由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不满足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命题的条件不是必要条件.综上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要条件.点拨“以例外证明规律”是一个简便而又实用的方法，通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题.判断一个命题为真命题，必须严格证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一个反例就行. 换言之，要说明[p]不是[q]的充分条件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特别的，对于[p]是[q]的不充分或不必要条件类的问题，列举反例是准确、快捷的方法.等价转换法例5 若命题[p：x≠3，或y≠4]，命题[q：x+y≠7]，则[p]是[q]的_______条件.分析题设与结论均为否定形式，加之有逻辑联结词“或”的出现，直接求解往往困难或容易出错，若利用“否定之否定是肯定”这个结论，则问题迎刃而解.解考虑逆否命题：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].显然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].所以[p]不能推出[q]，但[q?p].即[p]是[q]的必要不充分条件.点拨当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“[≠]”形式的命题）时，可利用等价转换法来解决. 等价转换法是利用互为逆否的两个命题同真同假的特性，将已知命题转化为等价命题求解，即要判断[p]是[q]的什么条件，只需判断[?q]是[?p]的什么条件即可.充要条件是数学中的一个重要概念，也是高考考查的一个重点内容. 在学习过程中，准确理解定义是基础，正确判断充要关系是重点，熟练应用充要关系解决相关问题是关键. 深刻理解充要条件的意义，掌握充要条件的常用判别方法，不但能有效地进行充要关系的判断与证明，更有助于提升数学逻辑思维能力、推理及论证能力.。

【高中数学】高考数学复习充要条件知识点解析

【高中数学】高考数学复习充要条件知识点解析如果对有些概念不清楚，可能会导致很多解题错误，充要条件是数学中极其重要的一个概念。

下文是充要条件知识点解析，希望可以帮助同学们搞清楚充要条件的概念，避免不必要的错误，从而提高数学解题的命中率。

（1）我们先来看看充分必要条件当命题若p则q为真时，可表示为p=q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。

这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但是为什么q是p的必要条件呢？事实上，与p=等价的逆否命题是非q=非p。

它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。

这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

（2）让我们看看必要条件和充分条件若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。

简称为p是q的充要条件。

记作pq回想一下初中时学过的对等概念；如果命题B是由命题a建立的，反之，命题a是由命题B建立的，那么a等价于B并记录为ab。

充分必要条件的含义实际上与等价条件的含义相同。

换句话说，如果命题a等价于命题B，那么我们说命题a的充要条件是命题B为真；同时，命题B为真的充要条件是命题a为真。

(3)定义与充要条件在数学中，只有当a是B的充要条件时，a才能用来定义B，所以每个定义都包含一个充要条件。

例如，一个四边形，其两个相对的边平行，称为平行四边形。

这个定义意味着四边形成为平行四边形的充分必要条件是它的两个相对边平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

必要和充分条件有时可以表示为当且仅当，其中如果是充分的。

只有在必要的时候。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的结论都可作为必要条件。

充分必要条件知识点分析的所有内容都是及时的。

数学网希望考生能够完全掌握它们。

高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳

高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳数学知识点的积累是高考必胜的法宝，以下是充分条件和必要条件知识点，请大家参考。

一、充分条件和必要条件当命题若A则B为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。

若AB，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

以上为大家分享的充分条件和必要条件知识点，查字典数学网希望大家可以熟练运用。

高考数学复习点拨谈谈“充要条件”问题的证明

1 / 1谈谈“充要条件”问题的证明在期末复习时，出现这样一道练习题：已知y x ,都是非零实数，且y x >，求证：yx 11<的充要条件是0>xy ．学生在证明过程中暴露出许多意想不到的错误，总结一下大概有这么三个问题：(1)解题很不规范，因为有关充要条件的证明通常要分两个方面（最好标明①必要性．②充分性）来书写过程，最后还应该有一个“综上所述”来肯定一下所证的问题．然而有不少学生没有这样分步表达，而是眉毛胡子一把抓，凌乱不堪．(2)这道题本身就可看作是不等式的一个性质，有些学生用这性质来证这个性质，出现循环论证，以致过程太简洁，只写了几个式子．(3)有些学生试图想通过等价性来证明问题，然而也由于心有想而没说出或说不出，没有使用“⇔”符号来叙述证题过程，而只证了一个方面就结束了．出现上面这些问题的原因是：书上没有相关例题示范，教师在课堂上也很少讲（不是没讲过，而是讲得少）相关例题．此处为弥补证明“充要条件”这一不足，特举几例细说之．上面练习题的解答：证明：(1)必要性．由y x 11< 得 011<-y x 即 0<-xyxy 又由y x >得0<-x y ，所以 0>xy ． (2)充分性．由0>xy 及y x >得xyyxy x > 即y x 11<．综上所述：yx 11<的充要条件是0>xy ．评注：(1)要证明命题的条件是充要的，必须要证两个方面，即既证明原命题成立，也证它的逆命题成立，证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性．(2) 区分“充分性”与“必要性”的方法：利用“Ａ的充要条件是Ｂ”与“Ａ的充分（不必要）条件是Ｂ”中“Ｂ是Ａ的充分条件”的一致性，可以断定：由Ｂ证出Ａ是“充分性”，通俗地说“后推出前”是“充分性”．(3) 如果分不清两方面中哪方面是充分性还是必要性，那么不写出“充分性”与“必要性”等文字也可以，但要标注(1)，(2)．当然如果采用“⇔”符号来叙述证题过程，就不好再分两个方面了．(4)对于充要条件，要熟悉它的同义词语：“当且仅当”， “等价于”， “…反之也成立”“需且只需”“原命题成立，逆命题也成立” ，立几中的“确定”等等。

2022年高考数学函数的微专题复习专题04 充分、必要、充要问题的研究(解析版)

故选：B
( ) 变式 3、（2021·河北张家口市高三三模）“ a 0 ”是“点 0,1 在圆 x2 y2 2ax 2 y a 1 0 外”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】将 x2 y2 2ax 2 y a 1 0 化为标准方程，得 (x a)2 ( y 1)2 a2 a.
2022 年高考数学函数的微专题复习专题 04 充分、必要、充要问题的研究
题型一、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则 ”、“若则 ”的真假．并注意和图
示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非， ⇒ 与非 ⇒非， ⇔ 与非 ⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若 ⊆ ，
变式 1、（2020·全国高三专题练习（文））“ x 1, 2 ， ax2 1 0 ”为真命题的充分必要条件是（）
A． a 1
B． a≤ 1 4
C． a 2
D． a 0
变式 2、（2020 届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）已知命题 p : 1 x a 1 ，命题
q : (x 4)(8 x) 0 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是____
变式 4、（2021·辽宁高三模拟）设 z1 ， z2 为复数，“ z1 z2 0 ”是“ z1 z2 ”（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式 5、（2021·浙江高三二模）已知 P 、 A 、 B 、 C 、 D 是空间内两两不重合的五个点，△PAB 在平面

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充要条件的判断策略
充要条件是高中数学“常用逻辑用语”中的重要概念，它的应用贯穿于数学的各个分支，在其他学科以及生产实践中都有着广泛的应用。

同时，充要条件也是高中数学中的一个难点，亦是高考中常考不衰的热点题型。

为此，本文针对充要条件的判断，分类解析，并归纳出相应的解题思路，以供参考。

1、利用定义判断
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若q p ⇒且q /⇒p ，则p 是q 的充分而不必要条件；
（3）若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件；（4）若q p ⇒且⇒q p ，则p 是q 的充要条件；（5）若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的即不充分也不必要条件。

例1判断下列各题中，p 是q 的什么条件。

（1）0)3)(2(:;02:=--=-x x q x p 。

（2）p ：四边形的四边相等；q ：四边形是正方形。

解：（1）0)3)(2(0)2(=--⇒=-x x x ；0)3)(2(=--x x /⇒0)2(=-x （当3=x 时，“⇒”不成立）。

∴p 是q 的充分而不必要条件。

（2）四边形是正方形⇒四边形的四边相等；
四边形的四边相等四边形是正方形（当四边形是内角不为直角的菱形时，“⇒”不成立）。

∴p 是q 的必要而不充分条件。

2、利用真值表判断 “或”、“且”、“非”是三个最基本的逻辑联结词。

“或”的含义是：一真必真，都假才假；“且” 的含义是：一假必假，都真才真。

、“且”、“非”等构成的，因此利用真值表判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成逻辑联结词“或”、“且”、“非”连接的与之等价的复合命题的形式。

例2判断命题2
2b a ≠是b a ≠或b a -≠的什么条件。

解：2
2b a ≠即b a ≠且b a -≠。

由真值表知：q p ∧真p ⇒真q p ∨⇒真，但q p ∨真/⇒q p ∧真。

∴22b a ≠是b a ≠或b a -≠的充分而不必要条件。

3、利用集合间的包含关系判断
设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B 。

⇒
（1）若B A ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A =，则p 是q 的充要条件；
（3）若B A ⊂，则p 是q 的充分而不必要条件；
（4）若∅=B A ，则p 是q 的即不充分也不必要条件；（5）若B A ⊄且A B ⊄，则p 是q 的即不充分也不必要条件。

例3判断命题1|:|<x p 是命题0)1|)(|1(:>+-x x q 的什么条件。

解：解不等式得满足p 的元素集合为)1,1(-=A ，满足q 的元素集合为
),1()1,1(+∞-= B 。

B A ⊂∴，故p 是q 的充分而不必要条件。

例4判断命题233:≤≤-b p 是命题b x y y x y q +=≠-=与直线曲线)0(9:2有
公共点的什么条件。

解：满足p 的元素集合为]23,3[-=A ，由数形结合得满足q 的元素集合为
]23,3(-=B 。

A B ⊂∴，故p 是q 的必要而不充分条件。

4、利用传递性判断
（1）充分条件具有传递性：若n A A A A ⇒⇒⇒⇒ 321，则n A A ⇒1，即1A 是n
A 的充分条件；
（2）必要条件具有传递性：若n A A A A ⇐⇐⇐⇐ 321，则n A A ⇐1，即1A 是n
A 的必要条件。

例5设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，问D 是A 的什么条件？
解：A 是B 的充分不必要条件，即B A ⇒且B /⇒A 。

C 是B 的必要不充分条件，即C B ⇒且C /⇒B 。

D 是C 的充要条件，即C D ⇔。

D A ⇒∴且C /⇒B ，故D 是A 的必要不充分条件。

5、利用互为逆否命题的等价性判断
这是一种“正难则反”的策略，直接判断较难时将命题转化为逆否命题来判断。

例（1）判断3:≠x p 且2≠y 是5:≠+y x q 的什么条件；
（2）判断3:≠x p 或2≠y 是5:≠+y x q 的什么条件。

解：（1）原命题等价于判断5:=+⌝y x q 是23:==⌝x x p 或的条件，显然p ⌝
q ⌝
，q ⌝ p ⌝
，
故p 是q 的即不充分也不必要条件。

（2）原命题等价于判断5:=+⌝y x q 是23:==⌝x x p 且的条件，显然p ⌝⇒q ⌝，q ⌝ p ⌝，故p 是q 的即必要而不充分条件。

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