“投针实验 ”求圆周率的方法
趣味数学132：布丰用投针法得出圆周率的故事
布丰用投针法得出圆周率的故事1777年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。
客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它捡起来再扔。
而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。
总次数2212与相交次数704的比值为3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值呢。
”那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？假设那组平行线的间距等于d。
如果把一个直径为d的铁丝圆圈，因为它的周长等于πd。
所以，不论怎样扔，圆圈落到那组平行线上，都会和平行线有两个交点。
因此，如果圆圈扔下的次数为n，交点的总数为m，必定有m＝2n。
还用那组平行线，不过这回把圆圈剪开，变成长度是πd的直铁丝。
显然，直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂，最多可能有4个交点，也可能有3个交点、2个交点、1个交点，也可能不相交，没有交点。
不过，由于圆圈和直铁丝的长度相同，根据概率学的“机会均等原理”，当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时，它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。
“投针实验”求圆周率的方法
教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。
1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。
把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。
小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。
这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。
得数竟然是π的近似值。
这就是著名的蒲丰投针问题。
后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。
蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为p= 2l/πd 。
这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。
由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。
蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的π值。
而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needleproblem）。
依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。
假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。
布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzeri ni）于1901年给出的。
蒲丰氏投针计算圆周率
用C语言计算蒲丰氏投针计算圆周率#include <stdio.h>#include <time.h>main(){int n1=0,n,i;double rand_num1,rand_num2;printf(" input the n：");printf("%d");for(i=0;i<n;i++){rand_num1=(double)time(0)*rand();while(rand_num1>1)rand_num1-=2;rand_num2=(double)time(0)*rand();while(rand_num2>1)rand_num2-=2;if(rand_num1*rand_num1+rand_num2*rand_num2<1)n1++;}printf("π=%f\n",4*n1/n);/* n1/n=π/4 距离小于1就是在圆里，取点范围在（-1，-1）到（1,1）的正方形里*/}MATLAB计算蒲丰氏投针计算圆周率（蒙特卡罗方法）cleara=1; l=0.6;counter=0;n=10000000;% 投掷次数x=unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个(0,a/2)之间均匀分布的随机数，这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离phi=unifrnd(0,pi,1,n);% 产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数，这里pi是投针到最近的平行线的角度for i=1:nif x(i)<l*sin(phi(i))/2 % 只要x小于l*sin(phi(i))/2,则相交counter=counter+1;endendfrequency=counter/n; % 计算相交的频率，即相交次数比总次数Pi=2*l/(a*frequency) % 从相交的频率总求的pi%运行结果>> testPi =3.1416一个蒲峰问题的蒙特卡罗方法实现的C语言程序。
投针实验详解
一、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率π精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。
在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon）在1777年提出的“投针实验”。
与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。
本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。
二、系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a；然后把一枚长为l(0<l<a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。
投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。
设n为投针总次数，k为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式2lnak计算出来的值就是圆周率π。
当然计算精度与投针次数有关，一般情况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。
有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。
90)相交为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。
所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。
建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。
系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。
这里，设O 为钢针中点，y 为O 点与最近平行线之间的距离，θ为钢针与平行线之间的夹角（0180θ≤<）。
首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y 和θ来模拟钢针投掷结果。
其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。
如下图所示，如果y 、l 和θ满足关系式1sin 2y l θ≤，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线的位置关系。
蒲丰投针最简单的代码
蒲丰投针最简单的代码
蒲丰投针是一种概率统计实验，可以用来求圆周率。
这里介绍一下最简单的蒲丰投针代码。
首先，需要导入Python中的random模块来生成随机数。
然后，定义需要用到的变量和常数，如针长（L）和两根地板板缝之间的距离（d）。
接下来，生成两个随机数，分别表示针的中心点距离地板板缝的距离（x）和针与竖直方向的夹角（theta）。
利用这两个随机数可以计算出针与地板板缝相交的情况。
再用一个计数器变量count来记录针与地板板缝相交的次数，重复这个实验若干次后，圆周率的近似值就可以通过下面的公式计算出来：
pi = 2 * L / (d * p)
其中，p为相交次数与总次数之比。
代码如下：
import random
L = 1 # 针长
d = 2 # 地板板缝间距
n = 10000000 # 实验次数
count = 0 # 相交次数
for i in range(n):
x = random.uniform(0, d) # 针中心距地板板缝距离
theta = random.uniform(0, 180) # 针与竖直方向的夹角
if x <= L * 0.5 * math.sin(theta / 180 * math.pi): # 判断是否相交
count += 1
p = count / n # 相交次数与总次数之比
pi = 2 * L / (d * p) # 计算圆周率
print(pi)
需要注意的是，模拟次数越多，计算出的圆周率越接近真实值。
但是过多的模拟次数会导致程序运行时间增长，因此需要根据实际情况来选择合适的实验次数。
圆周率的近似计算——蒲丰投针问题实验报告
实验序号：2日期：2015年3月27日
班级
姓名
<
学号
实验
名称
，
蒲丰投针问题
问题的背景：
在历史上人们对 的计算非常感兴趣性，发明了许多求 的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求 的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法.
蒲丰投针问题：平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意投一枚长为 的针，求针与任一平行线相交的概率. 进而求 的近似值.
:
实验所用软件及版本：MicrosoftofficeExcel 2010
主要内容(要点):
蒲丰投针问题：下面上画有间隔为d(d>0)的等距平行线，喜爱那个平面内任意投一枚长为l(l<d)的针，求针与任一平行线相交的概率，进而求π的近似值。设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，通过重复实验，以频率估计概率，求得未知数的近似值。试验次数越多，近似值就越精确。
教师评语与成绩：
实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等）
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实验结果与实验总结(体会)：
实验总结：做了多越来越大时，得到的值会越来越接近π的值，所以以后做实验的时候我们要多做几组数据，并且样本空间取得越大越准确。
进一步讨论或展望:
通过这次试验，我们发现，当做同一n值的多次试验时，只要我们改动其中的随机变量的值，也就是用随机发生器产生一组数据的时候我们就可以得到一组新的数据，这样就会很方便的得到我们想要的结果，因此我们要多多钻研Excel的各种强大的功能，方便我们以后的学习与生活。
（4）理解概率的统计定义
实验原理与数学模型：
实验原理：由于投针投到纸上的时候，有各种不同方向和位置，但是，每次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，那就是针的中点和偏离水平的角度。
投针问题概率计算
投针问题概率计算
投针问题是一个著名的概率问题，其本质是求解一个针落在两个平行线之间的概率。
在这个问题中，我们假设有一根长度为L的针，在两个平行线之间随机投掷，求解针与线相交的概率。
假设这两条平行线的距离为D，那么可以通过几何分析，推导出针与线相交的概率为：
P=2L/πD
其中，π是圆周率。
通过这个公式，我们可以计算出针与线相交的概率。
不过需要注意的是，这个公式只适用于针的长度小于等于两条平行线之间的距离，否则会出现无法相交的情况。
投针问题是一个典型的几何概率问题，它不仅具有理论研究的价值，还有很多实际应用。
例如在统计物理中，可以通过投针问题来推导出理想气体状态方程，或者用于模拟随机游走等过程。
- 1 -。
小学趣味数学：比丰投针问题
小学趣味数学：比丰投针问题
比丰投针问题（Buffon'sneedleproblem）是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
这问题是十八世纪法国数学家比丰和勒克莱尔提出的，并记载于比丰1777年出版的著作中──“在一平面上画有一组间距为d的并行线，将一根长度为L（L<d）的针任意投掷这个平面上，求此针与任一并行线相交的概率。
”。
比丰证明了该针与任意并行线相交的概率为p=2L/（dπ）。
利用这公式，将这一试验重复进行多次，并记下相交的次数，便得到p的经验值，即可算出圆周率π的近似值。
1850年沃尔夫在投掷五千多次后，得到π的近似值为3.1596.1855年英国人史密斯投了3200次，得到π的值为3.1533.
另一英国人福克斯只投了1100次，却得到了精确的三位小数的π值3.1419.直到目前，用这方法得到最好π值的是意大利人拉泽里尼，他在1901年投了3408次，得到的圆周率近似值精确到6位小数。
比丰投针问题开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，对概率论的发展有一定贡献。
——来源网络，仅供个人学习参考1 / 1。
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教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。
1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。
把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。
小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。
这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。
得数竟然是π的近似值。
这就是著名的蒲丰投针问题。
后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。
蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。
这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。
由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。
蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的π值。
而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
找一根粗细均匀，长度为d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，
布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needle problem）。
依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。
假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。
布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）于1901年给出的。
他只掷了3408次针，就得到了准确到6位小数的π的值。
他的试验结果比其他试验者得到的结果准确多了，甚至准确到使人们对它有点怀疑。
还有别的计算π的概率方法。
例如，1904年，查尔特勒斯（R·Chartres）就写出了应用下列实例的报告：如果写下任意两个整数测它们互素的概率为6／π2。
下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。
显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。
这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。
现在转而讨论铁丝长为l的情形。
当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。
为了求出k来，只需注意到，对于l=πk的特殊情形，有m=2n。
于是求得k=(2n)/(πd)。
代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)属于连续型随机变量。
概率为2/π = 64%。