2019年高考仿真模拟理科数学试题及答案

0 0
，即
x
1 2
0 x

1 2
y

3 2
z

0
，不妨令 z

1 ，
可得 n1 (0,3, 1) 为平面 FAB 的一个法向量，取平面 ABD 的法向量 n2 (0, 0, 1) ，则
cos n1, n2
n1 n2 n1 n2
1 10 ，所以二面角 F AB D 的余弦值为 10 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必需作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 3a cos C (2b 3c) cos A ． （1）求角 A 的大小； （2）若 a = 2，求 ABC 面积的最大值．
D． 3 2
A．充分而必要条件 C．充要条件
B．必要酣不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．德巴赫猜想是“每个 大于 2 的偶数可以表示为两个秦数的和”，如 30 = 7 + 23．在不超过 30 的素数屮，随机选
取两个不同的数其和等于 30 的概率是_______________．
从而可得 3 sin( A+C) 2sin B cos A ，即 3 sin B 2sin B cos A
（4 分）
B 为三角形内角，所以 sin B 0 ，于是cos A 3 ， 2
又 A 为三角形内角，所以 A ． 6
（6 分）
（2）由余弦定理：a2 c2 b2 2bc cos A 得：4 c2 b2 2bc 3 2bc 3bc ，所以bc 4(2+ 3) ． 2
（1）分别写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与圆 C 相切，求实数 a 的值．
23．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 设函数 f (x) x a x a ． （1）当 a 1时，解不等式 f (x) 4 ； （2）若 f (x) 6 在 x R 上恒成立，求 a 的取值范围．
为：_______________．
A．56 千瓦·时
B．62 千瓦·时
C．64 千瓦·时
D．68 千瓦·时
7. 某空间儿何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为_______________．
4
3
5
正视图
侧视图
俯视图
A． 500 3
B． 1000 2 3
C． 125 3
D． 125 2 3
2019 年高考仿真模拟试题新课标卷
理科数学试题(一)
注意事项： 1．本试卷适用于使用全国卷一、卷二及卷三的考生。 2．本试卷共 8 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 设复数 z 1 i 2i ，则 z _______________． 1i
nn
术”，则 n ____________．
y
e
15.
已知
Sn
是等比数列
{an
}
的前n项和，若存在Fra bibliotekm
N
*
，满足
S2m Sm
9，
1
a2m am

5m 1 m 1
，则数列
{an
}
的公比为____________．
O1
ex
16. 如图，在边长为 e（e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为____________．
10 10
10
（12 分）
19．解：
（1）因为(0.02 + 0.08 + 0.09 + 2a) × 4 =1，a = 0.03，
（2 分）
完成年度任务的人数为 2a × 4 × 200 = 480．
（4 分）
（2）第 1 组应抽取的人数为 0.02 × 4 × 25 = 2．
M1M 2 的取值范围．
理科数学试题 第 6 页（共 8 页）
21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) m ln x ，m R ，x 1 ．
x （1）讨论 f (x) 的单调区间； （2）若 f (x) mx 恒成立，求 m 的取值范围．
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B． (2， )
C． (1，3) 2
D． ( 3，2) 2
12. 设函数 f (x) ex (x 1) ，函数 g(x) m(x 1) ，（ m 0 ），若对任意的 x1 [2，2] ，总存在
理科数学试题 第 2 页（共 8 页）
x2 [2，2] ，使得 f (x1) g(x2 ) ，则实数 m 的取值范围是_______________．
8. 已知平面向量 a ，b 满足 a(a b) 3 ，且 a 2 ，b 1，则向量 a 与b 夹角的正弦值为_________．
A． 1 2
B． 3 2
C． 1 2
9. 设 a,b R ，则“ (a b) a2 0 ”是“ a b ”的：_______________．
（单位：千瓦·时）与气温 x（单位：℃）之间的关系，随机选取了 4 天的用电量与当天气
温，并制作了以下对照表：
x（单位：℃）
17
14
10
1
y（单位：千瓦·时） 24
34
38
64
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^
^
由表中数据得线性回归方程： y 2x a ，则由此估计当某天气温为 2℃时，当天用电量约
所以 S
ABC

1 bc sin 2
A
2
3，
ABC 面积的最大值为2
3．
（12 分）
18．解：
依题意，以点 A 为原点，以 AB、AD、AP 为轴建 z
立空间直角坐标系如图，可得 B(1, 0, 0) ， C(2, 2, 0) ， P D(0, 2, 0) ，P(0, 0, 2) ，由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1) ． （1）向量 BE (0,1,1) ，PD (0, 2, 2) ，故 BE PD 0 ，
25 的样本，求这 5 组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取 2 名
2 6 10 14 18 22
销售额/百万元
奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的 2 名销售员在同一组的概率．
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20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 :
x2 a2
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2019 年高考仿真模拟试题新课标卷
理科数学试题（一）参考答案
一、选择题
1 5．D C C B C 二、填空题
6 10．A D D A C
11 12．B D
13． 1 3
三、解答题 17．解：
14．63
15．2
16．e2 2
（1）由正弦定理可得： 3 sin Acos C 2sin B cos A 3 sin C cos A ．
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18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB// DC，AD DC AP 2 ， AB = 1，点 E 为棱 PC 的中点． （1）证明 BE⊥PD； （2）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F AB D 的余弦值．

y2 b2
1 (a
b
0) 的左右顶点是双曲线 C2
:
x2 3

y2
1 的顶点，且椭圆C1 的
上顶点到双曲线 C2 的渐近线的距离为
3． 2
（1）求椭圆 C1 的方程；
（2）若直线 l 与 C1 相交于 M1 ， M 2 两点，与 C2 相交于 Q1 ，Q2 两点，且OQ1 OQ2 5 ，求
A． 1 12
B． 1 14
C． 1 15
D． 1 18
11. 过抛物线 y 4x 焦点的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，与圆 (x 1)2 y2 r2 交于 C、D 两
点，若有三条直线满足 AC BD ，则 r 的取值范围为_______________．
A． (3， ) 2
E y
BE PD
（4 分）
D
C
（2） BC (1, 2, 0) ， CP (2, 2, 2) ， AC (2, 2, 0) ，
AB (1,1, 0) ，由点 F 在棱 PC 上，
A
B
x
设 CF CP ， 0 1，故 BF BC CF BC CP (1 2, 2 2, 2)
14. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额
上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2 2 2 2 ， 33
3 3 3 3 ，4 4 4 4 ，5 5 5 5 ，则按照以上规律，若8 8 8 8 具有“穿墙
8 8 15 15 24 24
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由 BF AC ， BF AC 0 ．因此， 2(1 2) 2(2 2) 0， 3 ，即 BF ( 1 , 1 , 3) ，