1-1质点运动描述之一
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质点运动的描述
理学院
大学物理教学中心
College of Science
第一章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
3/27/2013 2:29:50 PM
1
1.1质点运动的描述
一.质点 参考系和坐标系
自然界中的万物都在运动，观察物体的位置变 化总是需要选取另一物体为参照物，称作参照系 (reference system)。相对不同的参照系，对同一物 体运动的描述会不相同。这称作运动描述的相对性。 为了定量描述物体相对参照系的运动，在参照系上 建立坐标系(coordinate system)。
z
r r2 r1
应该注意： r s
3/27/2013 2:29:50 PM
r1
O
s r2
r
y x
7
1.1质点运动的描述
3.速度 为了反映物体运动的快慢，我们定义质点的平 均速度和瞬时速度(简称速度velocity)。 r z v t r ' ' ro v r " r dr v lim v' r v" t o t dt r" 瞬时速度沿质点运动轨迹的 切线方向。
r2 r1
10
1.1质点运动的描述 例1 已知质点的运动方程为 1 2 r ( t ) t 2i t 2 j 4 求t=3s时的速度和运动轨迹方程
m
解：由速度的定义求得速度： dr 1 3 i tj i j m / s v 2 dt 2 1 2 x(t ) t 2；y( t ) t 2 消去 t 求得运动轨迹方程： 4 1 2 y x x3 4 3/27/2013 2:29:50 PM 11
大学物理教学中心
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第一章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
3/27/2013 2:29:50 PM
1
1.1质点运动的描述
一.质点 参考系和坐标系
自然界中的万物都在运动，观察物体的位置变 化总是需要选取另一物体为参照物，称作参照系 (reference system)。相对不同的参照系，对同一物 体运动的描述会不相同。这称作运动描述的相对性。 为了定量描述物体相对参照系的运动，在参照系上 建立坐标系(coordinate system)。
z
r r2 r1
应该注意： r s
3/27/2013 2:29:50 PM
r1
O
s r2
r
y x
7
1.1质点运动的描述
3.速度 为了反映物体运动的快慢，我们定义质点的平 均速度和瞬时速度(简称速度velocity)。 r z v t r ' ' ro v r " r dr v lim v' r v" t o t dt r" 瞬时速度沿质点运动轨迹的 切线方向。
r2 r1
10
1.1质点运动的描述 例1 已知质点的运动方程为 1 2 r ( t ) t 2i t 2 j 4 求t=3s时的速度和运动轨迹方程
m
解：由速度的定义求得速度： dr 1 3 i tj i j m / s v 2 dt 2 1 2 x(t ) t 2；y( t ) t 2 消去 t 求得运动轨迹方程： 4 1 2 y x x3 4 3/27/2013 2:29:50 PM 11
上海理工大学 大学物理 第一章 质点运动学(1)
y
v0
y
v0
v0 x v0 cos v0 y v0 sin
质点在运动过程中 加速度始终为： 质点在任一时刻的 运动速度为：
O
v0x
y x
m
x
m
a gj
v (v0 cos )i (v0 sin gt) j
因为
dr v dt
1 2 t r v dt (v0t cos )i (v0t sin gt ) j 0 2
质点运动的轨迹可以看成v0方向的匀速直线运动和自由落体运 动的叠加；
x v0t cos 1 2 y v0t sin gt 2
1 x2 y xtg g 2 2 2 v0 cos
从上述方程式看，x,y构成一条抛物线，所以抛体运动又称为 “抛物线运动”。
1 x y xtg g 2 2 2 v0 cos
上述抛物线与x轴相交两点，其中x=0处为起点，另一交点的x 坐标为: 2 v0 sin 2 xm
2
g
可以令sin2=1,即＝450时射程最远。
xm是上述抛物运动的射程。当初速度v0一定时,欲使射程最大，
同样，我们也可以根据运动速度求出ym,即上述抛物运动最高 点，此时Vy=0
v y v0 sin gt t (v0 sin ) / g
x
z
v v x v y vz
v v
称速率。
v x i v y j vz k
例1 设质点的运动方程为 r(t ) x(t )i y(t ) j ，其中
(1) 求t =3s 时的速度。(2)作出质点的运动轨迹图。
解：(1) 速度分量为：v x
第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
第一章 质点运动学1
第一章 质点运动学 教学基本要求
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运 动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用 运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方 法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、 运动方程的方法 . 三 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质 点相对运动问题 .
2 2
2
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 s ' 是不唯一的, 可以是 s或 是唯一的. 而位移r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.
y
r (t1 )
O
s
'
p1 r
r (t2 )
s
p2
（C）什么情况 r s？
r s
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
三
速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) ( xB xA )i ( yB y A ) j o xi yj
r (t)
P2
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运 动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用 运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方 法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、 运动方程的方法 . 三 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质 点相对运动问题 .
2 2
2
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 s ' 是不唯一的, 可以是 s或 是唯一的. 而位移r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.
y
r (t1 )
O
s
'
p1 r
r (t2 )
s
p2
（C）什么情况 r s？
r s
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
三
速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) ( xB xA )i ( yB y A ) j o xi yj
r (t)
P2
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
1-1 质点运动的描述
v v v v ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
z
A
∆s
v ∆r
B
v 2 2 2 ∆r = ∆x + ∆y + ∆z
x
O
v v rA r B
y
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度∆s 曲线长度∆ 路程：质点在轨道上所经过的曲线长度 v v v lim∆s = lim∆r ds = dr ∆s ≠ ∆r
z
v z 大小： 大小： r = x 2 + y 2 + z 2 x z y 方向： 方向： α = v ， cos β = v ， cos γ = v cos r r r
oγ x
x
2. 运动方程： 运动方程：
v v v v 矢量形式： 矢量形式： r = x(t)i + y(t) j + z(t)k
位移矢量： 位移矢量：
x
v t时刻位于 点，位矢 rA 时刻位于A点 时刻位于
O
v v rA r B
y
v ∆r
B
时间内，位矢的变化量（ 在∆t 时间内，位矢的变化量（即A到B的 到 的 有向线段），简称位移 ），简称位移。 有向线段），简称位移。
在直角坐标系中
v v v ∆r = rB −rA = AB
2
t =2 dx vx = −4m s vx = = −2t dt t =2 dy 3 vy = −24m s vy = = −4t + 4t dt v v 2 2 v v = −4i − 24 j m/ s v = vx + vy = 4 37 m s
dvx d x −2 ax = s = 2 = −2m dt dt
z
A
∆s
v ∆r
B
v 2 2 2 ∆r = ∆x + ∆y + ∆z
x
O
v v rA r B
y
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度∆s 曲线长度∆ 路程：质点在轨道上所经过的曲线长度 v v v lim∆s = lim∆r ds = dr ∆s ≠ ∆r
z
v z 大小： 大小： r = x 2 + y 2 + z 2 x z y 方向： 方向： α = v ， cos β = v ， cos γ = v cos r r r
oγ x
x
2. 运动方程： 运动方程：
v v v v 矢量形式： 矢量形式： r = x(t)i + y(t) j + z(t)k
位移矢量： 位移矢量：
x
v t时刻位于 点，位矢 rA 时刻位于A点 时刻位于
O
v v rA r B
y
v ∆r
B
时间内，位矢的变化量（ 在∆t 时间内，位矢的变化量（即A到B的 到 的 有向线段），简称位移 ），简称位移。 有向线段），简称位移。
在直角坐标系中
v v v ∆r = rB −rA = AB
2
t =2 dx vx = −4m s vx = = −2t dt t =2 dy 3 vy = −24m s vy = = −4t + 4t dt v v 2 2 v v = −4i − 24 j m/ s v = vx + vy = 4 37 m s
dvx d x −2 ax = s = 2 = −2m dt dt
1-1 质点运动的描述
x i y j z k
即
r x i y j z k
2 2 2 r x y z
说明
2.
r 与 r 的区别：
r rB rA rB rA
r r
rB 同方向时，取等号。 只当 rA 、
0
t
1 2 x x 0 v 0 t at 2
V V0 2aS
2 2
10
1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求： （1）影子长度增长的速率。 （2）人影中头顶的移动速度。
l h 解： h b = l (x + b ) x +b = b 上式两边微分得到： x b d d b d x b d ( ) + h l =l +l = dt dt dt dt dx v 而 = 0 dt 影子长度增长速率为： l v db 0 = h l dt
直角坐标系中：
dv dv x d v y dv z a k i j dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k axi a y j az k dt dt dt
加速度的大小： a
2 2 2 a ax a y az
运动的描述是相对其他物体而言的。
二、参考系和坐标系 参考系（reference frame）：描述物体运动时，被 选作参考的物体。
为了定量地描述物体的运动状态，还要在参 考系上建立一个坐标系。
2
常用的坐标系有直角坐标系(x, y, z)、球坐标系 (r,, )、柱坐标系(, , z )、平面极坐标系(r,)。
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量 v的
质点运动的描述
瞬时速vv度 ：lddit质mxt 0点i在rt dd某yt一ddjrt时刻所具y 有v的y 速度vv x
vxi vy j
o
x
若质点在三维空间中运动，其速度
v
vxi
vy
j
vzk
第一章 质点运动学
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物理学
第五版 当 t 0 时, dr ds
Δxi Δyj Δzk
z
A
r
x2 y2 z2
B
r rA
rB
o
y
x
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物理学
第五版
4
路程( s )
从P1到P2：
路程 s P1P2
位移与路程的区别
y
s'
P1
r
(t1
s r
)
r (t2
)
P2
(1) 两点间位移是唯 一的．
O
z
x P1(x1, y1, z1)
(2) 位移是矢量，路程是标量．P2 (x2, y2, z2 )
(3) 一般情况 Δr s ，并有 r s
第一章 质点运动学
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物理学
第五版
t 0
时
, ds dr
（4）r ， r ，r
的意义不同．
r
xi
yj
zk
y
P1 r P2
r1
r2
r
r
O
x2 y2 z2 z
x
1第一章 质点运动 时间 空间讲解
v
ds dt
et
O
z
A
r (t)
x
当质点作曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点轨道曲线的切线方向.
瞬时速率
速度 v 的大小称为速率.
v
ds dt
et
v ds
dt
瞬时速率 v ds dt
在直角坐标系中
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
据的一个或一组彼此相对静止的物体. 2. 运动的相对性
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同， 这就是运动描述的相对性. 3. 坐标系
在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描 述物体的运动.
常用坐标系：
直角坐标系（ x , y , z ）, 球坐标系（ r,θ, ）, 柱坐标系（ , , z ） , 自然坐标系 ( s ).
t0 t dt dt 2
r A
o
x
对于匀速 圆周运动
0 t
0
0t
1 t2
2
例
rad rad s-1
rad s-2
rad
rad s -1 rad s -2 匀角加速定轴转动
二、 角量和线量的关系
由弧长与半径的关系可得：
s r
当t 0时, dr ds rd
3. 速度
描写物体运动快慢和位置变化方向的物理量.
平均速度
y
物体的位移与发生这段位
B
移所用的时间之比.
* s
r(t t)
在 t时间内, 质点从点A 运
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* r (t t )
B
s
*A
r
动到点 B, 其位移为
r r (t t ) r (t )
t 时间内,
质点的平均速度
r (t )
O
z
x
r (t Δt ) r (t ) r v 平均速度 v 与 r 同方向. Δt t
2 2 a a x a y Rω2
2 2 a ax i a y j ( R cos ti R sin tj ) R 2 v 2 2 2 a ax a y Rω R
讨 论
说出下列各式的物理意义
r ; r ; r ; r ; r ; r
y
rA
A
r rB
B
为点A到B的位移.
AB r rB rA
o
z
x
在直角坐标系 Oxyz 中, 其位移的表达式为
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k
讨论
1. 位移的物理意义 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只 决定于质点的始末位置，是描述状态变化的物理量. 2. 位移与路程 P1P2 两点间的路程是不 唯一的,可以是 s或 s,而 位移 r 是唯一的.
第一章
质点运动 时间 空间
基本要求
一 掌握描述质点运动及运动变化的 四个物理量——位置矢量、位移、速度、 加速度．理解这些物理量的矢量性、瞬时 性和相对性． 二 理解运动方程的物理意义及作用. 会处理两类问题：（1）运用运动方程确定 质点的位置、位移、速度和加速度的方法； （2）已知质点运动的加速度和初始条件求 速度、运动方程的方法．
瞬时速率
速度 v 的大小称为速率.
ds v et dt
瞬时速率
dsБайду номын сангаасv dt
ds v dt
在直角坐标系中
dx dy dz v i j k dt dt dt
dx 2 dy 2 dz 2 v v ( ) ( ) ( ) dt dt dt
常用坐标系： 直角坐标系（ x , y , z ）, 球坐标系（ r,θ, ）, 柱坐标系（ , , z ） , 自然坐标系 ( s ).
二、 描述质点运动的物理量
1. 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐 标系里的位置的物理量称位置 表示. 矢量, 简称位矢，用 r
y
y
z 式中 i、 、 分别为x、y、z 方向的单位矢量. j k 的值为 r r x 2 y 2 z 2 y 位矢 r
y
A
O
vA
B
vB
v a t
瞬时加速度
a
与 v 同方向.
vA
v
vB
x
Δt 0 时平均加速度的极限. 2 v dv dv d r a lim 2 ，a t 0 t dt dt dt
在直角坐标系中
a ax i a y j az k
2 2
2
（2）将 x R cos t ,
y R sin t 对时间求导
2 2 v vx vy Rω
dv x 2 ax Rω cos ωt dt dv y ay Rω 2 sin ωt dt
dx vx Rω sin ωt dt dy vy Rω cos ωt dt
y
r (t1 )
P 1
r
r (t 2 )
s s
P2
一般情况位移大小不等于 路程，即 r s ；只有当 O 质点做单方向的直线运动时， z 路程和位移的大小才相等.
x
3. 速度 描写物体运动快慢和位置变化方向的物理量. 平均速度 y 物体的位移与发生这段位移 所用的时间之比. 在 t 时间内, 质点从点A 运
瞬时速度 当 t 0 时平均速度的极限叫做瞬时速度，简 称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变 化率.
r dr v lim t 0 t dt 当 t 0 时, dr ds
ds v et dt
当质点作曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点轨道曲线的切线方向.
v v0 at
例1 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过 离水面高 h 的滑轮靠岸，设绳的原长为 l0， 人以 v0 拉绳.试描述小船的运动
v0
l h
x x
o
例2 设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度 a不随时间 变化，初位置为x0，初速度为 v0 . 试用积分法求出质点
的速度公式和运动方程.
三、 运动方程和轨迹方程
质点位置矢量随时间变化的函数关系就是运动方程.
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
x x(t ) y y(t )
分量式
z z (t )
从运动方程中消去参数t得到质点位置坐标之间的 关系式称为轨迹方程.
f ( x, y, z ) 0
r xi yj zk
o i zk x
j
r
*P
x
的方向余弦为 位矢 r
cos x r cos y r cos z r
r
P
o
z
x
2. 位移 描写质点位置变化的物理量. 经过时间间隔 t 后, 质 点位置矢量发生变化, 由始点
A指向终点B的有向线段 AB称
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （A） dt dr （C） dt
注意
dr x （B） o x dt dx 2 dy 2 （D） ( ) ( ) dt dt
r (t )
dr dr dt dt
4. 加速度 反映速度变化快慢和速度方向变化的物理量. 平均加速度 某段时间内, 单位时间的速 度增量即平均加速度.
思考下面两句话是否正确
1、质点作直线运动时位矢的方向恒定不变 2、质点作圆周运动时位矢的大小恒定不变
作 业
P21 习题：1-1、1-4
式中R 、是常数.
求: （1）质点轨道方程；
y
y
O
R
（2）质点的速度和加速度.
（1） 运动学方程的分量式是 解：
P ( x, y )
t
x
x
x R cos t, y R sin t
由 x R cos t ,
得到轨迹方程
y R sin t 中消去时间参量t，
x y R
dv x d x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt 2 dv z d z az 2 dt dt
2
加速度大小
加速度方向
2 y 2 z
a a a a
2 x
cos(a, i ) ax a cos(a , ) a y a j cos(a, k ) az a
三 掌握曲线运动的自然坐标表示 法．能计算质点在平面内运动时的速度 和加速度，以及质点作圆周运动时的角 速度、角加速度、切向加速度和法向加 速度．
四 理解伽利略速度变换式, 并会 用它求简单的质点相对运动问题．
一 运动描述的相对性
1. 物体运动是绝对的,但运动的描述是相对的. 参考系: 为确定物理位置和描述物体运动而选为 依据的一个或一组彼此相对静止的物体. 2. 运动的相对性 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同, 这就是运动描述的相对性. 3. 坐标系 在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描 述物体的运动.
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和 初始位置, 可求质点速度及其运动方程．
r (t )
求导 积分
v(t )
求导 积分
a (t )
四、 特例（直线运动）
1 2 s s0 v0t at 2 2 2 v v0 2a(s s0 )
对上式两边积分运算:
dx ( v
得
将初始条件带入上式, 确定积分常数 C2 x0 运动方程为
at)dt 1 2 x v0t at C2 2
0
1 2 x x0 v0t at 2
例3 已知质点的运动方程是 r R cos ti R sin tj ，
dv 解：因为质点做直线运动, a dt 所以 dv adt
对上式两边做积分运算,
dv adt
得 v at C1
将初始条件带入上式, 确定积分常数 C1 v0 所以速度公式为 v v0 at
dx 由速度定义, 有 v dt
所以 dx vdt ( v0 at)dt