2009年温州力学竞赛评分标准

2009年温州市力学竞赛评分标准
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分，共40分）题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
D
C
ACD
BD
AC
ABC
BC
二、计算题：（本共7小题，共100分）
9．（12分） 解: 以两球为系统,这系统受的外力:G 总=2mg,
N B 为容器底对系统支持力,N A,N D 为容器壁对系统弹力. 这四力平衡: N D =N A
N B =G 总=2mg=20N （3分）
由牛顿第三定律:球对容器底B 处压力大小等于N B =20N （1分） 以底部球为对象: N C 为另一个球对它弹力N A =（ N B －G ）/tan θ （3分） 在三角形0102P 中: 01P=2R-2r=2x18-2x10=16cm 02P=2
12
21000P -=cm 12162022=-
tan θ=02P/01P=12/16=3/4 （3分）
∴ N A =（ N B －G ）/tan θ= mg/ tan θ=
N 3.134
310
= （1分） 由牛顿第三定律,球对壁A 处压力为13.3N （1分） 10．（12分）解：（1）设杆运动到竖直位置时，A 、B 两球的速度均为υ，
则对AB 系统机械能守恒得： ()22
1
υB A B A m m gR m gR m +=- （2分） 解方程得：gR 3
2
=
υ （1分） （2）在竖直位置时，设杆对B 球的弹力为F B ，轨道对A 球的弹力为F A
则对B 球有：2
B B B v m g F m R
+= ， （2分）
解得：mg F B 3
1
-= （1分）
负号表示杆对B 球有向上的支持力
对A 球有：R
m mg g m F A A A 2
31υ=-- ， （2分）
解得mg F A 3
11
= （2分） 由牛顿第三定律，A 对轨道的压力为mg F A 3
11
=，方向竖直向下。

（2分）
11．(13分)解答：（1）小球离开小车后作自由落体运动，设下落时间为t ，则h =
2
1gt 2
(1分 ) 解得 t =
g
h
2 (1分) （2）分两种情况讨论：
（i ）平板车向右做匀减速运动的某一时刻，小球从左端A 离开车。

当小球在车左端时，车向右的位移 S 1=3
2L
(1分) 车向左的加速度 a=
m
F
( 1分 ) 车向右的速度 v 1=12
02aS v - (1分)
小球离开车的左端后做自由落体运动，当小球落地瞬间，车的速度 v 2= v 1–at (1分) 联立解得车的速度 v 2=m FL v 342
0-
m F
-g
h
2 (2分 ) （2v >0，车向右做匀减速运动；2v <0，车向左做匀加速运动）
（ii ）平板车先向右做匀减速运动，然后向左做匀加速运动的某一时刻，小球从右端B 离开车。

当小球在车右端时，车向左的位移 S 2=3
L
(1分) 车向左的加速度仍 a=
m
F 车向左的速度 v 3=22
02aS v + (1分)
小球离开车的右端后做自由落体运动，当小球落地瞬间，车向左的速度v 4= v 3+at (1分) 联立解得车向左的速度 g
h
m F m FL v v 232204+
+
= (2分)
12（12分）
根据动能定理
mgH mv =-02
12
0 (2分 ) 平抛运动 R L t v -=0 (2分 )
h gt =2
2
1 (2分 ) 圆筒转动整数圈 πωn t 2= (2分 )
解得： h
R L H 4)(2
-= (2分 )
h
g n 2π
=ω(n =1,2,3…) (2分 )
13．（16分）（1）设此时小物块的机械能为E 1．
由机械能守恒定律得1(sin )(13/2)B E m g L L mgL θ=-=- （5分） （2）设小物块能下滑的最大距离为s m ，由机械能守恒定律有sin A m B B m gs m gh θ=增 （2分） 而2
2
(cos )(sin )m B h s L L L θθ=-+-增
代入解得 4(13)m s L =+
（3分）
（3）设小物块下滑距离为L 时的速度大小为v ，此时小球的速度大小为v B ，则
cos B v v θ= （2分）
2
211sin 22
A B B A m gL m v m v θ=
+ （2分） 解得 203gL
v =
（2分）
14．（15分）解：令星球半径为R ，质量为M ，r 为除表层海洋外星球内层的半径，h 表示其表层海洋的深度，有R=r+h 。

如图所示 海洋中水的总质量：
)33(3
4
)3434(32233h Rh h R r R m +-=-⋅=水水πρππρ
R>>h ，略去上式中h 的高次项，得：
h R m 24水πρ=……………….(1) (3分 )
星球表面的重力加速度2
R GM
g =表 (3分 ) 海洋底的重力加速度2
)
(r
m M G g -=底
(3分 ) 底表
g g =，得h
Rm
M 2=…………………(2) (3分 )
（1）、（2）式联立得：2
/7.22s m GR g ==水表ρπ (3分 )
注，此题也可以通过两个不同密度的球体的叠加来计算。

15．（20分）如图所示时，设小环与重物的速率分别为v 1和v 2；加速度大小分别为a 1和a 2，则
1．由机械能守恒，可得
2
2
212
1212sin Mv mv MgL +⨯=θ ① （3分）
而 θθsin cos 21v v =
② （3分）
联立①、②可得（考虑到M=2m ）
θ31sin 2gL v =
θθ22cos sin 2gL v =
（3分） 2．由牛顿第二定律： 对小环：1cos ma T =θ
③
对重物：Ma T Mg =-θsin 2 ④ （3分） 小环相对重物与绳的结点作圆周运动，以该结点（即重物）为参照物，则有
1sin v v =θ（v 为m 相对M 的速度）⑤
212cos sin /a a v L θθ-= ⑥ (5分）
并考虑到M=2m ，联立各式得 θsin 3mg T = （3分）。