高中数学必修四人教版1.1.2弧度制3ppt课件
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人教版人教(版)高中数学弧度制.(共21张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
注: 常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
(1)把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
人教版必修4 数学1.1.2 弧度制 课件(27张)精选ppt课件
(1)在应用弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12|α|·r2＝12l·r 时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得)．
度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系
与区别.
1．角的单位制
(1)角度制
1
规定周角的___3_6_0___为1度的角，用度作为单位来度量角
的单位制叫做角度制．
(2)弧度制
把长度等于__半__径__长__的弧所对的_圆___心__角__叫做1弧度的 角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧__度__制__，
数学思想
求扇形面积的最值
一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取
什么值时，才能使扇形面积最大？
[解] 设扇形圆心角为 θ，半径为 r， 则 2r＋θ·r＝20， ∴θ＝20－r 2r. ∴S 扇形＝12θr2＝12·20－r 2r·r2＝(10－r)r ＝－(r－5)2＋25(0<r<20)． ∴当 r＝5 时，S 扇形 max＝25，此时 θ＝2. 综上可知，当半径为 5，圆心角为 2 时，能使扇形的面积最 大，最大面积为 25.
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． (1)－18°；(2)130π；(3)－2 rad. 解：(1)－18°＝1π80 ×(－18) rad＝－1π0 rad. (2)130π＝130π·(1π80)°＝54°. (3)－2 rad＝－2×(1π80)°≈－57.30°×2＝－114.60°.
弧度 0 __6__ __4__ __3__ __2__ _3___ __4__ __6__
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学课件--必修四1.1.2 弧度制
0° 360°
x
几何法
如图
如图
1.1.2
弧度制
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角， 即用弧度制度量时，这样的 圆心角等于1 rad. 若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
问题 1 ：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多 少？若弧是一个整圆呢？
2 当 k 2n( n Z ) 时 ，
180°
y
90°
0°
O
360°
x
n 360 n 360 45 ， n Z 2 故 是第一象限的角 . 2 当 k 2n 1( n Z ) 时 ， n 360 180 n 360 225 ， n Z 2 故 是第三象限的角 . 2 综上可知： 是第一或第三象限的角 .
4 r AOB 4 . r
注意: 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0）； 用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数 也不同.
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，
因此 360 2 rad ，
例3.利用弧度制证明扇形弧长公式：l =R; 面积公式 :
1 S lR ，其中 l是扇形的弧长 ， R是圆的半径 .( 0) 2
圆心角为 1 rad 的扇形面积为 证明：
R
又 弧长为 l 的扇形的圆心角是 l O l rad R 1 2 l 1 扇形的面积 S R lR . 2 R 2 说明：扇形面积公式还可以表示为 S 1 | | R 2 2
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o
l | a |= r
l |α|= r
r r
其中 : 1 、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2 πr 3、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2 π； r πr 4、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = = π。 r
1、弧度制下角的集与实数集的一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
2、求弧长：
l α= R
例6:利用弧度制证明扇形面积公式 弧长，R是圆的半径。
1 S = lR l扇形 其中是 2
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
∴
1 πR 2 2π
R
弧长为l的扇形圆心角为
∴
l rad R
o
S
l 1 1 2 S= π R = lR R 2π 2
360
3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一个与圆的半径大小无关的定值．
y
B
y
Ｄ
A
α
O
x x
α
O
Ｃ
x x
（２） （１） 当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的， 与所取圆的半径大小无关。
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径） r
一般地，我们规定：
的长 AB
OB旋转的方向
的弧度数 ÐAOB
的度数 ÐAOB
r
2 r
逆时针方向
逆时针方向 逆时针方向 顺时针 顺时针 未旋转 逆时针方向 逆时针方向
2
1 －2
180°
360°
57.3° - 114.6° - 180°
r
r r
0
2r
- p
0
0°
180°
2 r
2
360°
由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆的圆心角α所对 的弧长是l,那么α的弧度制的绝对值是
nπR 2 S要简单 . 扇 = 360
l
比较这与扇形面积公式
例6:直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长
⑴ ⑵
4π 3
165o
解：
r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
例1：已知扇形的周长是6cm，面积是2cm² ，则扇形的
圆心角的弧度数是（ B Ａ．1 Ｂ．1或4 ）
Ｃ．4
Ｄ．2或4
例2：下列选项中，错误的是（
）
D
A“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位 1 Ｂ．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的 360 1 Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
重点： 了解弧度制，并能进行弧度与度的换算。 难点：
弧度的概念。
角度制 角的度量 弧度制
1 1度的角等于周角的 360
定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的
角。 符号： rad 读作：弧度。
如图，圆O的半径是1，
l 的长等于1,
ÐAOB就是1弧度的角。
1 rad O
B
l
A
若l=2r，则∠AOB= 若l= 3r，则∠AOB= B
π θ 0， 2
θ 0，π
θ 0， 2π
例4：将下列弧度转化为角度：
（ 1）
12
= 15 °； ′30 ；
7 p = －157 ° （ 2） 8
（ 3）
13 6
= 390 °.
练习:将下列角度转化为弧度：
（1）36°= （5 rad）；
7π - rad）； （ 12
θ= π 2
π θ 0, 2
π θ ，π 2
θ=π θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
π θ -， 2
（2）－105°= （3）37°30′=
5π （rad）. 24
角 度 弧 度
0
3 0 45 6 0 90 120 135 270 360 150 180
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3p 2
2π
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad” 。 通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但如果以度（ ） 。 为 单位表示角时，度（ ）不能省略.
2弧度
l = 2弧度； r l = 3弧度。 r
3r
3 rad
l=2r r A
O
r
O B
r
A
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r， 则∠AOB的弧度数的绝对值是
l r
= 3， 即∠AOB=－
l = －3弧度。 r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度； 2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的 1 大小，而1°是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；
正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。
零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量 相同（都是0）。 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数 量也不同。 周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。
y
探究
B α O A x
如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始 边与x轴的正半轴重合，交圆与点A，终边与圆交与 点B.请在下列表格中填空。
知识回顾
生活中，存在着各种不同的度量单位制，比如度 量长度用的千米、尺、码等，度量重量用的吨、斤、 磅等，不同单位制能给解决问题带来便利，角的度量 除了用度之外，是不是还有其他的单位制呢？
1.1.2 弧度制
教学目标
知识与能力
理解弧度制的含义； 弧度数的绝对值公式； 会弧度与角度的换算。
教学重难点
2
Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短 有关
周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是 360。 ∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
π 1 = rad ≈ 0.01745rad 180
°
180°= πrad
180 ° 1rad = （ ）≈ 57.30° π
例3：请用弧度制表示下列角度的范围. 锐角： {θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°}
l | a |= r
l |α|= r
r r
其中 : 1 、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2 πr 3、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2 π； r πr 4、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = = π。 r
1、弧度制下角的集与实数集的一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
2、求弧长：
l α= R
例6:利用弧度制证明扇形面积公式 弧长，R是圆的半径。
1 S = lR l扇形 其中是 2
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
∴
1 πR 2 2π
R
弧长为l的扇形圆心角为
∴
l rad R
o
S
l 1 1 2 S= π R = lR R 2π 2
360
3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一个与圆的半径大小无关的定值．
y
B
y
Ｄ
A
α
O
x x
α
O
Ｃ
x x
（２） （１） 当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的， 与所取圆的半径大小无关。
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径） r
一般地，我们规定：
的长 AB
OB旋转的方向
的弧度数 ÐAOB
的度数 ÐAOB
r
2 r
逆时针方向
逆时针方向 逆时针方向 顺时针 顺时针 未旋转 逆时针方向 逆时针方向
2
1 －2
180°
360°
57.3° - 114.6° - 180°
r
r r
0
2r
- p
0
0°
180°
2 r
2
360°
由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆的圆心角α所对 的弧长是l,那么α的弧度制的绝对值是
nπR 2 S要简单 . 扇 = 360
l
比较这与扇形面积公式
例6:直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长
⑴ ⑵
4π 3
165o
解：
r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
例1：已知扇形的周长是6cm，面积是2cm² ，则扇形的
圆心角的弧度数是（ B Ａ．1 Ｂ．1或4 ）
Ｃ．4
Ｄ．2或4
例2：下列选项中，错误的是（
）
D
A“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位 1 Ｂ．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的 360 1 Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
重点： 了解弧度制，并能进行弧度与度的换算。 难点：
弧度的概念。
角度制 角的度量 弧度制
1 1度的角等于周角的 360
定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的
角。 符号： rad 读作：弧度。
如图，圆O的半径是1，
l 的长等于1,
ÐAOB就是1弧度的角。
1 rad O
B
l
A
若l=2r，则∠AOB= 若l= 3r，则∠AOB= B
π θ 0， 2
θ 0，π
θ 0， 2π
例4：将下列弧度转化为角度：
（ 1）
12
= 15 °； ′30 ；
7 p = －157 ° （ 2） 8
（ 3）
13 6
= 390 °.
练习:将下列角度转化为弧度：
（1）36°= （5 rad）；
7π - rad）； （ 12
θ= π 2
π θ 0, 2
π θ ，π 2
θ=π θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
π θ -， 2
（2）－105°= （3）37°30′=
5π （rad）. 24
角 度 弧 度
0
3 0 45 6 0 90 120 135 270 360 150 180
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3p 2
2π
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad” 。 通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但如果以度（ ） 。 为 单位表示角时，度（ ）不能省略.
2弧度
l = 2弧度； r l = 3弧度。 r
3r
3 rad
l=2r r A
O
r
O B
r
A
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r， 则∠AOB的弧度数的绝对值是
l r
= 3， 即∠AOB=－
l = －3弧度。 r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度； 2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的 1 大小，而1°是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；
正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。
零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量 相同（都是0）。 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数 量也不同。 周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。
y
探究
B α O A x
如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始 边与x轴的正半轴重合，交圆与点A，终边与圆交与 点B.请在下列表格中填空。
知识回顾
生活中，存在着各种不同的度量单位制，比如度 量长度用的千米、尺、码等，度量重量用的吨、斤、 磅等，不同单位制能给解决问题带来便利，角的度量 除了用度之外，是不是还有其他的单位制呢？
1.1.2 弧度制
教学目标
知识与能力
理解弧度制的含义； 弧度数的绝对值公式； 会弧度与角度的换算。
教学重难点
2
Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短 有关
周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是 360。 ∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
π 1 = rad ≈ 0.01745rad 180
°
180°= πrad
180 ° 1rad = （ ）≈ 57.30° π
例3：请用弧度制表示下列角度的范围. 锐角： {θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°}