高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.2定积分在物理中的应用课时达标训练新人教A版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用1
活学活用 3.一点在直线上从时刻 t＝0(t 的单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程．
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解：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为
04(t2－4t＋3)dt＝31t3－2t2＋3t
类题通法 解决变力做功应关注两点 (1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．
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活学活用 4.设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧 伸长到 30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的 伸长量成正比，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做 的功．
由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)
所围图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积
S＝20_21_/12_/ab9[_f_(x_)_－__g_(x_)_]_d_x__.
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(2)如图②所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝__ab_[_f(_x_)－__g__(x_)_]d_x__.
0
0
＝3[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx 0
＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2
3 0
＝92.
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类题通法
求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形；
高中数学 第一章 导数及其应用 1_7 定积分的简单应用 定积分在物理中的应用素材 新人教A版
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0<X1<...<Xn-1<Xn=b把区间[a ，b]分成n 个小区间 [X0，X1]，...[Xn-1，Xn]。
在每个小区间[Xi-1，Xi]上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作：()dx x f a b⎰即： ()()ini iabx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a<b ）,求电场力所做的功.解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场力为2rqkF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=⎰∞+2例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xSk V k p ==故作用在活塞上的力为xkpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===⎰例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需做多少功？解：建立坐标系如图，在任一小区间[x,x+dx]上的一薄层水的重量为dx g 23πρ⋅⋅（KN ）这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299⎰==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压力 设液体密度为ρ 深为h 处的压强：h g p ρ=*当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力为pA P =*当平板不与水面平行时，所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.解：建立坐标系如图.所论半圆的方程为22xR y -±=()R x ≤≤0利用对称性，侧压力元素dx x R x g dP 222-=ρ端面所受侧压力为322322R g dx x R x g P ⎰=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压力元素()dx x R x R g dP 222-+=ρ，故端面所受侧压力为()dx x R x R g P RR222++=⎰-ρ令t R x sin =↓RR x R x R xRg 0222arcsin 224⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ρ3R g ρπ=引力问题质量分别为1m ，2m的质点，相距r ，二者间的引力：大小：221rmm kF =方向： 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决. 例5.设有一长度为l ，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有一质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引力.解：建立坐标系如图.细棒上小段[x ，x+dx]对质点的引力大小为22xa dxm kdF +=μ故垂直分力元素为αcos dF dF y-=2222xa a x a dx m k +⋅+-=μ()2322x a dxakm +-=μ棒对质点的引力的垂直分力为()⎰+-=2023222l yxa dxa km F μ2222lx a ax a km ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=μ22412la a l km +-=μ棒对质点引力的水平分力0=xF故棒对质点的引力大小为22412la a l km F +=μ说明1. 当细棒很长时，可视l 为无穷大，此时引力大小为akm μ2方向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引力沿y 轴从a 处移动到b （a<b ）处时克服引力作的功，则有dy ly y l km dW 22412+-=μ⎰+-=b aly y dyl km W 2242μ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2322cos xa dxakm dF dF y+-=⋅-=μα()2322sin xa xdxkm dF dF x+=⋅=μα∴ ()⎰+-=lyxa dxa km F 02322μ()⎰+=lxxa xdxkm F 02322μ引力大小为yxFF F 22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决. 例6.设有一个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1） 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为ρ.对应于[x,x+dx]的小圆环对轴l 的转动惯量为dx x dI 32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为24321212I MRR dx x ===⎰πρπρ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建立坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RRy⎰--=222I ρdx x R xR 2224-=⎰ρtdt t R 22024cos sin 4⎰=πρ（令x=Rsint ）244141MR R ==ρπ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R Mπρ1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1） 先用微分分析法求出它的微分表达式dQ 一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.（2） 然后用定积分来表示整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应用：. ○1为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需做多少焦耳（J ）功？（99考研）提示：作x 轴如图.将抓起污泥的抓斗由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓斗自重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -⋅=30502抓斗升至x 处所需时间：3x（s ）提升抓斗中的污泥：dx x dW ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=32020003()dx x x W ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，再点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 提示：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ⋅=dF dF x()ds yx x yx k 222122+⋅+=kxds =kyds dF dF y=⋅=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin 3sin cos3cos ⋅+-⋅⋅=⎰⎰⋅=2042sin cos 3πtdt t k a253ka = 同理253ka Fy=故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为2253ka F =在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件
交点的横坐标为 1，
故所求面积 S＝S1＋S2＝ (x ＋1)dx＋
1 2 3 10 3x－ x |1＝ . 2 3
1 0
2
3 1
1 3 1 (3－x)dx＝3x ＋x|0＋
图形面积需分割求解的解题技巧 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区 间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求 出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相 应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数 均是“上减下”．
0 0
－3x2)dx＝(3x2－x3)|2 0＝4.
探究点 2 需分割型图形面积的求法 求由曲线 y＝x2＋1，直线 x＋y＝3，x 轴，y 轴所围成的 平面图形的面积．
【解】 作出曲线 y＝x2＋1，直线 x＋y＝3 的草图，如图所示，
x＋y＝3， 所求面积为图中阴影部分的面积，由 得第一象限中 2 y＝x ＋1
b a
[f(x)－g(x)]dx
2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v a s＝ v(t)dt b ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即____________ ． (2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿 着与 F 相同的方向移动了 s(单位：m)，则力 F 所做的功为
1 2 1 2
1
3
探究点 4
利用定积分求变力做功问题
36 一物体在变力 F(x)＝ 2 (N)作用下沿坐标平面内 x 轴正 x 方向由 x＝8(m)处运动到 x＝18(m)处，求力 F(x)所做的功．
【解】
如图，阴影部分的面积即 F(x)所做的功．
人教版高中数学第一章1.7-1.7.2定积分在物理中的应用
4．一物体以速度 v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动， 则它在 t＝0 到 t＝3 时间段内的位移是________ m.
解析：s＝∫30(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)．
答案：36
5．一列车沿线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝ 27－0.9 t(单位：m/s)，则列车刹车后前进________ m 才 能停车．
解：由 x＝8t3 得 v＝(8t3)′＝24t2，
1
当 x＝0 时，t＝0；当 x＝1 时，t＝183＝12， 又阻力 F＝7v2，
[变式训练] 设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉 力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功．
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
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谢谢欣赏！
2019/7/8
最新中小学教学课件
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的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2．变力 F(x)的大小随物体是位置变化而变化，因此， F(x)在[a，b]上所做的功等于变力函数在位移区间[a，b] 上的定积分．
3．用定积分解决简单的物理物体时，要结合物理学 中的相关内容，将物理物体转化为能用定积分解决的问 题．
高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A选修22
(2)(2017·漳州高二检测)有一动点P沿x轴运动，在时 间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方
向一致).求：点P从原点出发，当t=6时，点P离开原点
的路程和位移.
【解题指南】(1)本题是一个相遇问题，两个物体运动 的总路程是知道的，我们只需要对时间t进行积分，相
加列方程求解出时间，即可求出A物体的运动路程.
【巩固训练】一物体按规律x=bt2做直线运动，式中x为 时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度成正比．试求
［1,3］上，v(t)≤0,
所以在t=4 s时的路程为
s t 4t 3 dt | t 4t 3 dt | t 2 4t 3 dt
2 2 0 1 3
1
3
4
t 4t 3 dt t 4t 3 dt t 4t 3 dt 4 m .
t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t=6是所求的
值.
2.若将本例(2)中条件“v(t)=8t-2t2”改为“v(t)=4t2”其他条件不变，结果如何？
【解析】由v(t)=4-t2≥0,得0≤t≤2, 当0≤t≤2时，P点向x轴正方向运动,
当t≥2时,点P向x轴负方向运动,
当t=6时,点P离开原点的路程为
因为V=xS(x指活塞与底的距离)，
所以
k k p . 所以作用在活塞上的力 V xS
所以所做的功
k k F pS S . xS x bk b b W dx k ln x |a kln J . a x a
(2)媒质的阻力为F=0.7v2=2.8t4， 取一小段时间［t,t+Δt］，
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用讲义 新人
1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a bf (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛ab f x d x ； (2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cb f (x )d x □06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上， 当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形X 围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)由曲线y ＝e x，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为________． (3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】 已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7。
1 定积分在几何中的应用 1。
7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．(2016·广州高二检测)用S表示图1。
7。
4中阴影部分的面积，则S的值是（)图1。
74A.错误!f(x）d xB。
错误!C.错误!f（x)d x＋错误!f(x）d xD。
错误!f（x）d x－错误!f（x）d x【解析】在区间[a，b］上图形在x轴下方，积分为负值,∴S＝错误!f(x)d x－错误!f（x）d x。
故选D。
【答案】D2．如图1.7.5，阴影部分的面积是（）图1。
75A．2 3 B．2－错误!C.错误!D.错误!【解析】S＝错误!（3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!。
【答案】C3．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s）做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【解析】S＝错误!(3t2＋2t）d t＝（t3＋t2)｜错误!＝33＋32＝36(m）．【答案】B4．如果某飞行物以初速度v0＝10 m/s,加速度a(t）＝10t m/s2做直线运动，则飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为( )A．40 m/s B．45 m/sC．50 m/s D．55 m/s【解析】飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为v＝v＋错误!a（t)d t＝10＋错误!10t d t＝10＋5t2错误!＝55 m/s.【答案】D5．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于（)A. 错误!(x－x3)d xB. 错误!（x3－x)d xC．2错误!（x－x3）d x D．2错误!(x－x3）d x【解析】由题意知,由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2错误!（x－x3)d x。
2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1 新
0
2
＝13x3＋x 2 ＋7x－12x2 7 ＝134＋225
0
2
＝1603.
题型三 求变速直线运动的路程、位移 例 3 A，B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车开出 t s 后到达途中 C 点，这一段的速度为 1.2t m/s， 到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以等速 行驶，从 D 点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，经 t s 后， 在 B 点恰好停车．试求： (1)A，C 间的距离； (2)B，D 间的距离．
【答案】变力做功．
导入新知
1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝__ab_v__t_d_t .
2．变力做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物
体沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t 1 －31t3－2t2＋3t 3 ＋31t3－2t2＋3t 4 ＝4(m)．
0
1
3
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
1.7.1 定积分在几何中的应用~ 1.7.2 定积分在物理中的应用
知识点一 定积分在几何中的应用 提出问题
如右图，由直线 x＝a，x＝b，曲线 y
＝f(x)和 x 轴围成的曲边梯形面积为 S1. 由直线 x＝a，x＝b，曲线 y＝g(x)和 x 轴
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1.7.2 定积分在物理中的应用
课时达标训练
1.一物体沿直线以v=2t+1(t的单位：s,v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为( )
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
【解析】选D.
2.一物体在力 (单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A.44 J
B.46 J
C.48 J
D.50 J
【解析】选B.
3.将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为_________________. 【解析】设力F(x)=kx，
由题意：8=k×0.02，
所以k=400.所以F(x)=400x.
所以
答案：2 J
4.一物体在变力F(x)=2x2-1作用下沿直线由x=1运动到x=3,则力F(x)所做的功等于___________.
【解析】F(x)所做的功
答案：
5.一物体在变力 (x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x=0运动到x=5处，求变力所做的功.
【解析】变力F(x)所做的功为
=12+60=72(J).
所以变力所做的功为72 J.。