必修4 辅导：任意角的三角函数与诱导公式(教师)

任意角的三角函数与诱导公式（教师）1．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 口诀：奇变偶不变，符号看象限．口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则n mk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin1．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【详解】sin cos 0αα⋅>Q ，sin ,cos αα∴同号，所以角α的终边在第一、三象限 故选：B 2．若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<,则角θ是（ ）A ．第三象限角B ．第四象限角C ．第三象限角或第四象限角D ．第二象限角或第四象限角【详解】因为sin 0<θ时，角θ可以是第三、第四象限角，或终边在y 轴负半轴上； 又tan 0θ<时，角θ可以是第二、第四象限角；因此角θ是第四象限角.故选B 3．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【详解】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，则tan 0α<，cos 0α<， 所以sin tan cos 0ααα=>，则可知角α的终边在第二象限.故选：B. 4．已知角α的终边上有一点(7,24)P -，则sin α=（）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-【详解】因为角α的终边上有一点(7,24)P -，所以24sin 25α==.故选：C. 5．已知tan 0,cos 0θθ<<，则θ的终边在（ ）象限A ．第一B ． 第二C ． 第三D ．第四【详解】由于tan 0θ<，故θ可能是第二或第四象限角；由于cos 0θ<，故θ可能是第二象限角，或第三象限角或终边落在x 轴的负半轴.由此判断出θ终边在第二象限.故选B. 6．已知角θ的终边过点(12,5)P -，则cos θ的值为A ．513B ．1213 C ．513- D ．1213-【详解】因为12cos 13x r θ===，故选B.7．若sin αtan α<0，且cos tan αα<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【详解】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角，由cos tan αα<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角.所以本题答案为C. 8．已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ的值为（ ）A ．23B ．34C ．35D ．25【详解】∵角θ的终边过点(3,4)-，∴3x =，4y =-，=5r ，∴3cos 5x r θ==．故选C 9．角α的终边经过点(3,4)，则sin cos sin cos αααα+=-A ．35B ．45 C ．7D ．17【详解】由角α的终边经过点(3,4)，可得4sin 5α=，3cos 5α=，则43sin cos 55743sin cos 55αααα++==--．故选C ． 10．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ）A ．35-B ．35C ．45 D ．45-【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选：A.11．0sin300=（ ）A ．12B ．12CD000036s 0))in300sin(300sin(60sin60-︒==-==- 12．如果点位于第三象限，那么角位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限点位于第三象限，是第二象限角。

13．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选：D 14．已知(1,)P t -在角α终边上，若sin 5α=，则t =（ ） A ．12B ．-2C ．2D ．2±【详解】sin α==0t >，∴2t =．故选C ． 15．已知，，那么是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限详解】,在三四象限., 在一三象限，故在第三象限 答案为C16．若sin cos 4sin 5cos αααα+=-，则tan α等于（ ）A ．17 B ．13C ．3D ．7显然tan 0α≠，sin cos sin cos tan 1cos cos 444tan 7sin cos sin 5cos tan 55cos cos ααααααααααααααα+++=⇒=⇒=⇒=---，故本题选D. 17．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos α的值为（ ）．A．5-BC． D【详解】由3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：sin 0α<，cos 0α<由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos α=本题正确选项：A 18．若1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则tan α等于（ ） A．4-B．4C．-D．【详解】1cos ,,,sin 323πααπα⎛⎫=-∈∴== ⎪⎝⎭，sin tan cos ααα∴==-19．若，则 ( )A ．1B ．C ．D ．【详解】因为，所以，所以，故选A.20．若4sin 5α=，tan 0α<，则cos α=（ ） A ．35- B ．35 C ．45- D ．45【详解】sin tan 0cos ααα=<且4sin 05α=> c o s 0α∴<3c o s 5α∴==-本题正确选项：A21．已知α是第二象限，5sin 13α=，则cos α=（ ）A ．1213-B ．513- C ．513 D ．1213【详解】α为第二象限角 cos 0α⇒<12cos 13α∴===- 22．若角α是第四象限角，满足1sin cos 5αα+=-，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．2425-C ．1225D ．1225-【详解】解：∴角α满足1sin cos 5αα+=-，平方可得 1+sin2125α=，∴sin22425α=-，故选：B ． 23．若α为锐角，4sin 5α=，则cos α= A ．15- B ．15 C ．35- D ．35【详解】4sin 5α=且α为锐角3cos 5α∴==本题正确选项：D24．若α∈（π2，π），tanα=（ ） A．B．C．2-D【详解】∵α∈（2π，π），且sinα=3，∴cosα=tan α= ．故选：C ． 25．已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )AB． CD ．5-由于θ为第三象限角，故sin 0,cos 0θθ<<，依题意有22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin θ= B.26．若1tan 2θ=-，则sin cos θθ的值为（ ）A ．15B ．35C ．45-D ．25-【详解】因为222sin cos tan sin cos 1sin cos tan θθθθθθθθ==++，又1tan 2θ=-，所以122sin cos 1514θθ-==-+.故选D 27．已知(,)2παπ∈，tan 3α=-，则cos α=（ ）ABC． D． ，sin 3cos αα=-，且22sin cos 1αα+=，得21c o s 10α=，又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，cos α=，28．若sin =，0<<，则cos =（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】解：∵sinα，0＜α，∴cosα．故选：D ．29．如果，，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵，可解得：．又，∴∴故选：A ．30．已知，则值为（ ）A．B ．C ．D ．【详解】解：由题意得：，=，==,==,故选D.31．已知，且为第二象限角，那么A ．B ．C ．D ．【详解】，且为第二象限角，，则，故选：D ．32的结果为（ ）A ．sin50cos50︒-︒B ．cos50sin50︒-︒C ．sin50cos50︒+︒D ．sin50cos50-︒-︒5050?sin50cos50sin cos ︒-︒=︒-︒. 33．若1sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan()πα-的值等于（ ）A．4B．-C．D．4-∵1sin 3α=-，且α为第四象限角，∴cosα3=，∴tan （π﹣α）＝﹣tanα＝﹣sin cos 4αα=． 34．已知sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么tan α的值是（ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．2316-【详解】由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得235tan tan αα-=-+5，∴tanα2316=-．故选：D ．35．已知tan α=2παπ<<，则sinα的值为（ ） A ．12BC ．12-D． 【详解】解：∵tan α=∴22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得12sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∵π2απ<<，∴sin α=．故选：B ． 36．若3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan α的值等于（ ） A ．45 B ．45-C ．34D ．34-【详解】∵sinα35=，且α为第二象限角，∴cosα45==-，∴tanα34sin cos αα==-．故选：D ． 37．已知3cos 5α=，α是第四象限角，则tan α的值是( ) A ．34 B ．34-C ．43D ．43-【详解】∵cosα35=，α为第四象限角，∴sinα45==-，则tanα43=-．故选：D ．38．若sinα=-45，且α为第三象限的角，则cosα的值等于（ ） A ．35B ．35-C ．43D ．43-【详解】解：由题意，αQ 为第三象限角cos 0α∴<4sin 5α=-，3cos 5α∴===-39．若1sin 3α=，且(0,)2πα∈，则tan α=（ ） A．2 BCD．4【详解】∵1sin 3α=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 3α=，sin tan cos 4ααα==故选：D 40．若tan 3α4=，则222cos α4sin αcos αcos α4sin α++=（ ）A ．6425 B ．4825 C ．1613D ．413 【详解】∵tan 3α4=，∴2222314cos α4sin αcos α14tan α1649cos α4sin α14tan α131416+⨯++===+++⨯．故选：C ． 41．若tan 2α=，则23sin cos sin cos αααα+-=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．7±【详解】因为tan 2α=，所以2sin 3cos 2tan 32237sin cos tan 121αααααα++⨯+===---.42．已知tan α＝3，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是A ．12B ．2C ．－12D ．－2原式＝()()222222sin cos ()tan?1312sin cos tan?131sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααααααααααααα++++++=====-+----. 43．sin 240︒的值为（ ）A．2-B．2 C． D．2【详解】sin 240=sin(180+60)sin 602︒︒︒=-︒=-故选：C 44．1717cos tan 46ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A． B．C． D【详解】因为1717cos cos cos 4cos 44442ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，17tantan 3tan 6663πππ⎛⎫=π-=-=- ⎪⎝⎭所以1717cos tan 466ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：C ． 45．23cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．12 B ．12- CD． 【详解】231cos cos 8cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案选A46．化简()()()()()23sin cos cos tan 2cos αππααπααπ--+-+--得到（ ）A ．sin α-B ．sin αC ．cos α-D ．cos α依题意，原式()()2sin cos cos tan cos ααααα⋅-⋅=⋅-22sin cos sin sin cos cos αααααα⋅==⋅.故选：B. 47．()cos 2040-= （ ）A ．12B．2C． D ．12-()()1c o s 2040c o s 2040+3606=c o s (120)c o s (180120)c o s 602-=-⨯=--=-=-故选：D ．48．sin80cos70sin1s n 00i 7+︒⋅︒︒︒=（ ）A． B ．12-C ．12D()1sin80cos70sin10sin70cos10cos70sin10sin70cos 7010cos602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故选C.49．cos225︒=（ ）A ．12B．2C．2-D． 【详解】由三角函数的诱导公式可知：2cos 225cos(18045)cos 452︒=+=-=-50．23πtan 6⎛⎫-⎪⎝⎭的值为A B．3C ．2D ．12【详解】23πππtan tan 4πtan 6663⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 51．已知1sin 5θ=，则()cos 450θ︒+的值是（ ）A ．15 B ．15-C ．D ．5【详解】()()()1cos 450cos 36090cos 90sin 5θθθθ︒+=︒+︒+=︒+=-=-，故选B.52．2017sin3π的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．【详解】2017sinsin 672sin 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭。