五年级奥数题：变换和操作(A)
(完整版)五年级奥数.图形变换求面积问题
图形变换求面积问题一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离。
平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。
一般有2种方法：1.平移已知条件2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。
几何题多数都是逆向思考的。
二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形。
旋转变换把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。
在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。
当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。
2.出现了明显的垂线条件时。
【例 1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【巩固】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．【例 2】如图所示，梯形中，平行于，又，，．试求梯形ABCD AB CD 4BD =3AC =5AB CD +=D CBA【巩固】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行ABCDEF AB ED =AF CD =BC EF =AB ED AF 于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形CD BC EF FD BD 24FD =18BD =的面积是多少平方厘米？ABCDEF【例 3】如图2，六边形为正六边形，为对角线上一点，若、的面积为与，ABCDEF P CF PBC PEF 34则正六边形的面积是_____________。
ABCDEF Eeo df o【巩固】正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的123456A A A A A A 123456B B B B B B 、、、、、中点；那么图中阴影六边形的面积是____________平方厘米。
五年级奥数—操作与策略(含解析)
1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作和体会数学规律的过程中，设计最优的策略和方案实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因，因此在历届的杯赛中时常出现，尤其是在华杯、迎春杯中，常考查学生的动手能力【例 1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【分析】 一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为24，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有211444-==(个)小洞孔．连续三次操作后，折纸层数为34，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有3124416-==(个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为54，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有51444256-==(个)小洞孔．［巩固］ 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后操作与优化设计探索与操作粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次．［分析］每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后页面上有2=(个)字，…，则第10次操作后页面上有102个字，=(个)字，第3次操作后页面上有32824由于1011=<<=，因此使整个页面排满，至少需要操作11次．21024167722048【例 2】(第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．【分析】使用倒推法．最终各盒中依次有球(10，0，0，0，…)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号盒中最终至少有1个球．所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，…)．依次倒推，为：(10，0，0，0，…)←(9，1，0，0，…)←(8，0，2，0，0，…)←(7，1，2，0，0，…)←(6，0，1，3，0，…)←(5，1，1，3，0，…)←(4，0，0，2，4，…)←(3，1，0，2，4，…)←(2，0，2，2，4，…)←(1，1，2，2，4，…)←(0，0，1，1，3，5…)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推．所以，4号盒中原有3个球．［巩固］(圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？［分析］解法1(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至219之间．在这些数中，只有两个数是7的倍数：210730=⨯．这就意味着在乘=⨯和217731以7之前，尤拉的数是30或31．因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间的一个三位数．在这些数中只有一个数是13的倍数：3122413=⨯，所以尤拉最初所想出的数是24．解法2(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”．如果开始所想的数是25，那么运算过程如下：25→325→32→224→22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24．【例 3】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填黑或者白)【分析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．【例 4】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把根香蕉带回家？【分析】首先，猴子背着100根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉，其他200根香蕉白白浪费了！折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案．3001003÷=．猴子必然要折返3次来拿香蕉．我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉．猴子的路线：家y储存点B 储存点A野香蕉园x这两个储存点A 与B 就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是：(一)当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉．(二)当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好(即身上还有100个)(三)B 点同上．XA 的距离为10x ，路上消耗x 个香蕉．AB 的距离为10y ，路上消耗y 个香蕉．猴子第一次到达A 点，还有(100)x -个香蕉，回去又要消耗x 个，只能留下1002x -个香蕉．这(1002)x -个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x 个，则1002320x x x -=⇒=．200XA ⇒=米，猴子将在A 留下60个香蕉．那么当猴子②次到达A 时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有100y -个，从⑤回③需要y 个，可在B 留下(1002)y -个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y 个．则：10010023y y y -=⇒=． 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：100013004253103x y ---=． 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了23，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54个香蕉．【例 5】 (武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x 的筹码时，另一个人必须选取标号为99x -的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．【分析】 解若 x 99x -5 4747 1313 4343 77 2323 1919 5当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个．剩25718-=(个)．［拓展］ (武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，2-，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，4-，2-，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？［分析］ 观察操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 …总 和： 7 10 13 16 …易发现每操作一次总和增加3．因此操作100次后产生的新数串所有数之和为73100307+⨯=．【例 6】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．【分析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．例如：136，63→…→1，136，27→…→9，984，36→…→12，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．［铺垫］ (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．［分析］ 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，44714243前一数每次减少→…→，4→3，4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即1234与4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．［拓展］ (全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作．例如：对18和42连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6．试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数是15，这两个五位数是 与 ．［分析］ 观察题目中的例子，(18，42)=(18，24)=(18，6)=(12，6)=(6，6)=6，将会发现：将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差会得到两个新的自然数，它们的最大公约数和初始的两个数的最大公约数相同，最后得到的是两个相同的自然数，是初始的两个数的最大公约数，所以，题目就是去求和最小的两个五位数，它们的最大公约数是15，即求两个能被3和5整除的和最小的两个五位数，1000566715=⨯和1002066815=⨯为所求．点评 题中操作的本质上是辗转相除法，最后所得到的相同的数是最初两个数的最大公约数，即(18，42)=6．实际上，这道试题是一个求最大公约数的反问题，即已知(X ，Y )=15，求X 和Y ．但是，以15为最大公约数的数对有很多，应该选取哪一对呢？这就要求答案必须还满足其他的条件，本题要求解答最小的两个五位数．如果要求是最大的两个五位数，答案是什么？【例 7】 黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．【分析】 黑板上起初数是777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为b ，前面的数为a ，所以就是形为10a b +的数．每次操作后，黑板上就成为3a b +，它比原数少了7a ．由此可知：⑴每次操作将使原数逐步变小；⑵如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被7整除．所以黑板上最后必将变成7，例如当原数为777时，就有777→238→77→28→14→7．【例 8】 (北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．【分析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这33个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．设这11个数为：1a ，2a ，…，11a ．则接下去的数是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．因此最后一数为：1231112994950a a a a ++++=+++=L L ．［拓展］ (第六届“华杯赛”决赛)圆周上放有N 枚棋子，如右图所示，B 点的一枚棋子紧邻A 点的棋子。
五年级奥数题及答案：等距变换游戏问题
五年级奥数题及答案：等距变换游戏问题小编导语：奥数学习过程中面对有一定学习难度的内容，我们留下的问题会很多很多，题目的变化也会多种多样，我们要总结老师讲的知识点和做过的题型，在总结的过程中找到知识点的联系，在总结的过程中找出不同，总结越多，思考越多，我们收获的也就越多。
查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题等距变换游戏问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!这个游戏与反射、旋转、平移及其组合的知识有关。
这种变换的集合通称为“等距变换”(isom etry)。
在玩之前，需要做出：①如上图的方格板，以及一块与上图中三角形形状与大小相同的纸板;②一些卡片。
说明如下。
卡片每一张卡片描述变换的状态，拿到卡片的人要移动三角形作出变换。
卡片有两种：(1)提供明确的变换细节，如：反射镜像线：y=x(2)鬼牌，保留某些变换的细节供拿到的人自己决定。
共有42张卡片，组成方式如下：游戏规则这个游戏2～4人玩都可以。
(1)洗过牌后每人发5张卡片，将剩下的卡片面朝下放在桌上。
(2)用掷骰子或其他方式决定玩的次序。
(3)玩的人要把那块三角形纸板从前一个人停留的位置移动到其他三角形中。
移动时必须按照他手中卡片提供的变换细节，可以按照一张卡片或几张卡片的变换细节移动。
在用数张卡片移动的过程中，三角形纸板不一定要移动到方格板上的三角形中。
用过的牌应面朝上摆在一边。
(4)玩的人作出移动后，从未使用的一叠卡片中按顺序取一张或数张卡片，使手中的卡片保持在5张。
(5)玩的人移动到的三角形上的号码就是他的得分。
(6)游戏的目标是要得到最多的分数，因此对每人每次移动的得分都要作记录。
(7)如果有人无法移动，或是不愿移动，可以丢出一张卡片，再拿一张新的卡片。
(8)使用鬼牌时，在移动之前应宣布变换细节(如镜像线的方程式)。
(9)如果有人认为另一人的移动不符合所用卡片上的变换细节，可以提出质疑。
如果确实有误，则三角形纸板应回到先前的位置，犯错的人的得分也不能计算。
五年级数学上册综合算式专项练习题算式变换与应用解答
五年级数学上册综合算式专项练习题算式变换与应用解答一、表达式变形与等价变形在数学中，表达式变形是指通过数学规则和性质，对给定的表达式进行变换，得到与原表达式等价的新表达式。
这在解决数学问题时非常有用。
1. 将下列表达式进行变形，使其看起来更加简洁明了：a. 将表达式7a + 9a进行合并得到16a。
b. 将表达式5b - 2b进行合并得到3b。
c. 将表达式2x + 3y - 4x进行合并得到-y - 2x。
d. 将表达式3c - 2d + 7c进行合并得到10c - 2d。
2. 下面是一些等价变形的例子，通过这些变形，可以简化问题的计算过程：a. 将表达式3h + 2h - 5h变形为5h - 5h，简化后为0。
b. 将表达式4x - 2x + 3y - y进行合并和变形，得到2x + 2y。
c. 将表达式5b - 3b + 7c - 4c + 2d - d进行合并和变形，得到2b + 3c + d。
二、实际问题中的算式变换与应用在日常生活和实际问题中，我们经常需要进行算式的变换和应用，以便更好地理解和解决问题。
1. 算式变换与应用的例子：a. 甲班有40名学生，乙班比甲班多5名学生。
用代数式表示乙班的学生人数可以写为40 + 5，或简化为45。
b. 某任务需要5名工人，现有甲班和乙班两个班级，其中甲班有25人，乙班比甲班多10人。
用代数式表示乙班的工人人数可以写为25 + 10，或简化为35。
c. 设某商品原价为x元，现在打折9折出售，用代数式表示折后的价格可以写为0.9x。
2. 根据给定的实际情境，利用算式变换和应用解决问题：a. 小明有20元，他花掉了1/4的钱，剩下多少钱？解答：用代数式表示小明剩下的钱为20 - 1/4 * 20，或简化为20 - 5 = 15元。
b. 某城市人口为500万，年增长率为2%。
经过3年后，预计该城市的人口为多少？解答：用代数式表示人口增长后的总数为500万+ 2% * 500万 * 3 = 530万。
五年级奥数题：周期性问题(A)
五年级奥数题：周期性问题(A)1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几。
2.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几。
3.按下面摆法摆80个三角形，有多少个白色的。
4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯。
也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯。
小明想知道第73盏灯是什么灯。
5.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是几点。
6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在第几列。
第一列。
第二列。
第三列。
第四列。
第五列。
1.10.…7.把分数2/9，11/18，3/8，12/17，4/7，13/16，5/6，14/15，4/5化成小数后，小数点第110位上的数字是什么。
8.循环小数0.xxxxxxxx7与0.3(1)这两个循环小数在小数点后第几位首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4，共有1991个数。
(1)其中共有多少个1，多少个9，多少个4；(2)这些数字的总和是多少。
11.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。
例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，……得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13.设n=2×2×2×……×2，那么n的末两位数字是多少？14.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？每一组数表包含一个奇数排和一个偶数排，且每个奇数排都是从小到大排列，每个偶数排都是从大到小排列。
五年级数学下册数学变换专项练习题
五年级数学下册数学变换专项练习题一、图形的旋转1. 将图形A绕顺时针旋转90度，得到图形B。
请画出图形B。
- 图形A：<img src="图形A.png" width="100">- 图形B：（请自行画出）2. 将图形C绕逆时针旋转180度，得到图形D。
请画出图形D。
- 图形C：<img src="图形C.png" width="100">- 图形D：（请自行画出）二、图形的翻转1. 图形E关于直线a对称，得到图形F。
请画出图形F。
- 图形E：<img src="图形E.png" width="100">- 图形F：（请自行画出）2. 图形G关于点b对称，得到图形H。
请画出图形H。
- 图形G：<img src="图形G.png" width="100">- 图形H：（请自行画出）三、图形的平移1. 图形I向左平移3个单位，得到图形J。
请画出图形J。
- 图形I：<img src="图形I.png" width="100">- 图形J：（请自行画出）2. 图形K向下平移4个单位，得到图形L。
请画出图形L。
- 图形K：<img src="图形K.png" width="100">- 图形L：（请自行画出）四、图形的缩放1. 图形M沿着中心点O缩小一半，得到图形N。
请画出图形N。
- 图形M：<img src="图形M.png" width="100">- 图形N：（请自行画出）2. 图形P沿着中心点O放大2倍，得到图形Q。
请画出图形Q。
- 图形P：<img src="图形P.png" width="100">- 图形Q：（请自行画出）以上是五年级数学下册数学变换专项练习题，请同学们根据题目要求进行练习，并在纸上进行作答。
五年级奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转(学生版)
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
小学五年级奥数题大全及答案(更新版)
小学五年级奥数题大全及答案五年级奥数1、小数的巧算2、数的整除性3、质数与合数4、约数与倍数5、带余数除法6、中国剩余定理7、奇数与偶数8、周期性问题9、图形的计数10、图形的切拼11、图形与面积12、观察与归纳13、数列的求和14、数列的分组15、相遇问题16、追及问题17、变换和操作18、逻辑推理19、逆推法20、分数问题1.1小数的巧算（一）年级班姓名得分一、填空题1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____.2、计算 1.996+19.97+199.8=_____.3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____.4、计算6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____.5、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.6、计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____.7、计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____.8、计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____.9、计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____.10、计算 28.67⨯67+32⨯286.7+573.4⨯0.05=_____.二、解答题11、计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.3812、计算 0.00...0181⨯0.00 (011)963个0 1028个013、计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.2314、下面有两个小数:a=0.00...0105 b=0.00 (019)1994个0 1996个0求a+b,a-b,a⨯b,a÷b.1.2小数的巧算（二）年级班姓名得分一、真空题1、计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____.2、计算 3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.3、计算 (5.25+0.125+5.75)⨯8=_____.4、计算 34.5⨯8.23-34.5+2.77⨯34.5=_____.5、计算 6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20=_____.6、计算 0.035⨯935+0.035+3⨯0.035+0.07⨯61⨯0.5=_____.7、计算 19.98⨯37-199.8⨯1.9+1998⨯0.82=_____.8、计算 13.5⨯9.9+6.5⨯10.1=_____.9、计算 0.125⨯0.25⨯0.5⨯64=_____.10、计算 11.8⨯43-860⨯0.09=_____.二、解答题11、计算32.14+64.28⨯0.5378⨯0.25+0.5378⨯64.28⨯0.75-8⨯64.28⨯0.125⨯0.537812、计算 0.888⨯125⨯73+999⨯313、计算 1998+199.8+19.98+1.99814、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1996个0 2000个0试求a+b, a-b, a⨯b, a÷b.2.1数的整除性（一）年级班姓名得分一、填空题1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题1、173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13、在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.2.2数的整除性(二)年级班姓名得分一、填空题1、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5、有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6、一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7、任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10、所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11、找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12、只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13、500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14、试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.3.1质数与合数(一)年级班姓名得分一、填空题1在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2、最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4、在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6、找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8、9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9、从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10、今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11、2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13、学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?3.2质数与合数(二)年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。
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十七变换和操作（A）
年级班姓名得分
一、填空题
1.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.
2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.
3. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.
4. 一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.
对数123456789101112…272829作连续变换，最终得到的一位数是_____.
5. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.
6. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换:
(15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).
对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的
20个1
数是_____.
7. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.
8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:
①将左边第一个数码移到数字串的最右边；
②从左到右两位一节组成若干这两位数；
③划去这些两位数中的合数；
④所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
经过1997次操作，所得的数字串是_____.
9. 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全
等的小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整
个三角形的_____.
10. 口袋里装着分别写有1,2,3,…，135的红色卡片各一
张，从口袋里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回口袋内.经过若干次这样的操作后，口袋内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片.已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97.那么这张黄色卡片上写的数是_____.
二、解答题
11．请说明例1中，对1980的连续变换中一定会出现重复.对其它的数作连续变换是不是也会如此?
12. 将3⨯3方格纸的每一个方格添上奇数或偶数,然后进行如下操作:将每个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和,问是否可以经过一定次数的操作,使得所有九个方格里的数都变成偶数?如果可以,需要几次?
13. 在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作,经过若干次操作后变为下图.问:下图A 格中的数字是几?为什么?
14. 在1997⨯1997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变不亮,不亮变亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
———————————————答 案——————————————————————
1. 71
所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.
2. 50
每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的
数等于1~99的和除以100的余数.
(1+2+…+99)÷100=
299
)
99
1(⨯
+
÷100
=4950÷100
=49⨯100+50
故这张纸片上的数是50.
3. 4次；40次.
当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，1时，交换次数最多，需交换40次.
4. 3
一个整数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数,如果这个整数不是9的倍数,就可以根据这一点来确定题目要求的一位数.
(1+2+…+9)⨯3+1⨯10+2⨯10被9除余3，可见最终得到的一位数是3.
5. 20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21
或19,19,20,21, 21.
仿例2，5个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2.最终的5个数可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21.
6. 1
变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最大公约数.因为1024=210,而11 (1)
20 1
没有质因子2，它们是互质的.所以最后得到的两个相同的数是1.
7. 4
事实上,在第一次删节之后.留下的皆为原数中处于偶数位
置上的数；在第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次删节之后,原数中只留下处于第28⨯k=256k号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256位数.由于256=9⨯28+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上.即为4.
8. 1731
第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173；
以下以4为周期循环，即4k次操作均为1173.
1996=4⨯499,所以第1996次操作得数字串1173,因此第1997次操作得数字串1731.
9.
1024
234
每一次黑三角形个数为整个的43,所以5次变换为4343⨯⨯4343⨯⨯43=1024
243 10. 3
卡片上的数字之和除以17的余数始终不变.
(1+2+3+…+135)÷17=9180÷17=540.
(19+97)÷17=116÷17=6……14，
因为黄色卡片上的数都小于17，所以黄色卡片上的数是17-14=3.
11. 对1980的连续变换中,每个数都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之内必定会出现重复,对其它的数作连续变换也会如此.
12. 如图,用字母a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h ,I 代表9个方格内的数字,0代表偶数. a b c b +d a +e +c b +f g +c b +h a +i
d e f a +e +g d +b +h +f c +e +i d +f 0 d +f
g h i d +h g +e +i h +f a +i b +h g +c
d +f +b +h g +c +a +i b +h +d +f 0 0 0
g +c +a +i 0 g +c +a +i 0 0 0
d +f +b +h a +I +g +c b +h +d +f 0 0 0
可见经过四次操作后,所有九个方格中的数全变为偶数.
13. 每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如右下图),因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1或减1,所以无论进行多少次操作,白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数.由原题左图知这A +7)-8=8,由此解得A =9.
14. 1997次
将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.
如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.。