哈尔变换与斜变换

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ S2 = 4⎢ ⎢ ⎢ ⎣
②
−3
矩阵通式
⎡ 1 0 ⎢a b ⎢ n n ⎢ 0 ⎢ Sn = ⎢ ⎢ 0 1 ⎢ ⎢ −bn an ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
其中：
0
I⎛ N ⎞
⎜ ⎟−2 ⎝2⎠
1 − an
0 bn
0
0 bn −1 an
0
I⎛ N ⎞
⎜ ⎟−2 ⎝2⎠
0
⎤ ⎥ ⎥ I⎛ N ⎞ ⎥ ⎥ ⎡S ⎜ ⎟−2 ⎝2⎠ ⎥ ⎢ n −1 ⎥⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎥ ⎥ − I⎛ N ⎞ ⎥ ⎜ ⎟−2 ⎥ ⎝2⎠ ⎦
1
a n , bn 的关系:
a1 = 1
, 解之得
a n +1
⎛ 3N 2 ⎞ 2 ⎛ N2 −4 ⎞ 2 n =⎜ ⎜ 4( N 2 − 1) ⎟ ⎟ , bn +1 = ⎜ ⎜ 4( N 2 − 1) ⎟ ⎟ ,N = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
作业：
1 0⎤ 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎡ 1 ⎢ a b −a b ⎥ S 0 ⎢a + b a − b −a + b −a − b ⎥ ⎤ 1 ⎢ 2 2 1 ⎢ 2 2 2 2⎥⎡ 1 2 2 2 2 2 2⎥ S2 = = ⎢ ⎥ −1 −1 −1 ⎥ 2 ⎢ 0 1 0 −1 ⎥ ⎣ 0 S1 ⎦ 4⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢−b2 a2 b2 a2 ⎦ ⎥ ⎣a2 − b2 −a2 − b2 a2 + b2 −a2 + b2 ⎥ ⎦ ⎣
倒置 f (1) ： [1]d ⇒ [ 001]b ⎯⎯⎯ → [100]b ＝[ 6]d ，f ′(6) → f (1)
完成全部的重新排序后，第一步运算就构成蝶式运算方式。以 后要使后续运算也是蝶式，第二、第三步也要重新排序。一般来说， 用蝶式快速算法需 log 2 N 次倒置， 2( N − 1) 加减及 N 次乘法。
其逆变换
⎡ f ( 0) ⎤ ⎢ f (1) ⎥ ⎢ ⎥ = har p 2 ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎣ f ( N − 1)⎦
[
]
⎡ Ha(0) ⎤ ⎢ Ha(1) ⎥ −1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥， # ⎢ ⎥ ⎣ Ha( N − 1)⎦
p
Note：由于 Haar Matrix 不是对称矩阵，所以逆矩阵 [har2
f (t ) 的影响；而对局域函数，他们的系数 c(2), c(3)," 只受 f (t ) 部分值影
响。如此，要用 HF 去逼近将一个函数 f (t ) ，则全域函数在整个正交 区内起作用，而区域函数则在部分区域起作用。在工程技术应用中， 我们希望 f (t ) 的某一部分逼近更好的话，Haar 函数有独到之处。
⎯⎯ → [ 010] ＝[ 2]d ，f ′(2) → f (2) f ( 2) ： [ 2]d ⇒ [ 010]b ⎯倒置 b
倒置 → [ 001]b ＝[1]d ，f ′(1) → f (4) f ( 4) ： [ 4]d ⇒ [100]b ⎯⎯⎯
倒置 → [ 011]b ＝[3]d ，f ′(3) → f (6) f (6) ： [ 6]d ⇒ [110]b ⎯⎯⎯
−1
其中：
⎡ ⎣ f ( x, y ) ⎤ ⎦ 是空间域数据矩阵；
⎡ ⎣ H a ( u, v )⎤ ⎦ 是变换系数矩阵；
[ har2 p ]
andΒιβλιοθήκη [ har2 p ]−1
是离散哈尔矩阵及其逆矩阵。
2.5.5 斜变换（Slant Transform）[4] Rays of the setting sun slanting through the window… 斜变换适于灰度逐渐改变的图象信号，已成功用于图象编码。 基本思想：根据图像信号的相关性，某行的亮度具有基本不变或 线性渐变的特点， 可以编造一个变换矩阵， 来反映这种递增或递减 （线 性渐变）特性的行向量。
f(t)
t
用有限项 Haar Function 去逼近指数函数的情况，逼近曲线是步 长相等的锯齿波，步长为
1 ，阶梯数目为 2 p ，Haar Function 的最高 2p
阶为 p，由这个 p 确定了步长。项数越多，逼近越好。傅立叶级数和 Walsh 级数却不是这样简单明了。 在整个正交区域受 全域函数( har(0,t) and har(1,t))的系数 c(0), c(1) ，
(Ref: http://gershwin.ens.fr/vdaniel/Doc-Locale///Cours-Mirrored/Maths-Stuff/handbook/AN16pp/node113.html)
2.5.2 Haar 函数的性质
● 正交归一性
⎧1 = ( , ) ( , ) har m t har l t dt ⎨ ∫ ⎩0 0
1
m=l m≠l
直观地看， 阶数不同的两个 Haar Function， 可能互不重合 （for example: har(3,t) and har(4,t)） ，也可能一个 haar function 处于另
一个的半周期之内 （for example: har(4,t) and har(2,t)） ,这时均正交。
]
−1
与 [har2 ] 不
p
相等， 这与前面我们学过的 Hardamard Matrix 和 Walsh Matrix 是不同 的。 可以由矩阵因子分解得到快速哈尔变换。
● 矩阵因子分解 为了使哈尔变换也能用 FFT 处理机运算，需要使用蝶式流程算 法。但哈尔变换的流程图本身不是蝶形图，用重新排序方法可以构成 哈尔变换的蝶式运算流程图。 首先考虑通过重新排序构成快速哈尔变换的蝶式运算流程图。
● Haar Series 周期为 1 的连续函数 f (t ) 可展成 Haar 级数
f (t ) = ∑ c(m)har (m, t )
m=0
+∞
其 中 c(m) = ∫ f (t )har (m, t )dt ， Haar Function 的 收 敛 性 比 Walsh
0
1
Function 要好。
2.5.4 Two-D Haar 变换 Two-D Haar 变换的矩阵式定义为：
1 −1 , , H u v = har p f x y har p ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( ) ( ) [ ] [ ] 2 2 ⎣ a ⎦ N2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎣ f ( x, y ) ⎤ ⎦ = [ har2 p ] ⎡ ⎣ H a ( u, v )⎤ ⎦ [ har2 p ]
0
S n −1 ⎥ ⎦
0⎤ ⎥
0：
全 0 矩阵；
( ⎡1 0⎤ N ) − 2 阶单位矩阵， 对 N=8，I 2 = ⎢ ⎥ 是2× 2 2 ⎣0 1 ⎦
I
(
N )−2 ： 2
单位矩阵；
s1 =
1 ⎡1 1 ⎤ ⎢ ⎥; 2 ⎣1 − 1⎦
12 2 ⎧ ⎪bn = (1 + 4an −1 ) ⎨ ⎪ ⎩an = 2bn an −1
● 变换矩阵
N × N 斜矩阵 N
= (2) n 用 S (n) 表示，则
①
S (1) =
1 ⎡1 1 ⎤ = S1 ⎢1 −1⎥ 记为 2⎣ ⎦
1 3 1 1 5 5 1 1 5 −1 5 1 −1 −1 3 5 5 1 ⎤ −3 ⎥ ⎥ 5⎥ 1 ⎥ ⎥ −1 ⎥ 5⎦
2 if n = 2, N = 2 = 4 , then
[ f (0), f (1), " , f (7)]
(原时间序列）
[ f ′(t )] = [ f ′(0), f ′(1), f ′(2), f ′(3), f ′(4), f ′(5), f ′(6), f ′(7)]
(重新排序后的新序列)
排序方法： 将 [ f (t )] 中各元素序号写成自然二进制码，如 5 → (0101) 将此二进制 （binary system） 码比特倒置后翻成十进制(decimal system)数字得新序列号
2
1
-2
t
以上 Haar 函数定义在 [0,1）内，以 1 为周期可将它延拓至整个 时间轴上。 注意：har(0,t) and har(1,t)为全域函数（Global Function） ，因为他 们在整个正交区间都有值，而其余的 Haar Function 只在部分区间有 值，称为区域函数（Local Function） 。
1 ≤ t <1 2 0≤t < 1 4 1 ≤t< 1 4 2 1 ≤ t <1 2 0≤t< 1 2 1 ≤t< 3 2 4 3 4 < t <1
一般情况
⎧ (n + 1 ) n 2 ⎪ 2p ≤ t < p p 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (n + 1 ) 2 ≤ t < (n + 1) har (2 p + n, t ) = ⎨− 2 p p 2 2p ⎪ ⎪0 otherwise ⎪ ⎪ p = 1, 2," ; n = 0,1, 2," , 2 p − 1 ⎩
2 2 2 2 0 0 0 0 2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −2 0 0 0 0
● 哈尔正交变换
⎡ Ha (0) ⎤ ⎡ f (0) ⎤ ⎢ Ha (1) ⎥ ⎢ f (1) ⎥ 1 ⎢ ⎥ = ⎡ har p ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ N⎣ 2 ⎦ ⎢ ⎥ # # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Ha ( N − 1) ⎦ ⎣ f ( N − 1) ⎦
2.5 哈尔变换与斜变换 （Haar Transform and Slant Transform）
哈尔函数是一种正交归一化函数， 在图像信息压缩和特征编码等 方面应用，特点是收敛均匀而迅速[1,4]。