直线与圆综合
直线与圆的综合运用练习题
直线与圆的综合运用练习题直线与圆的关系是数学中的基础知识点，不仅在几何学中有广泛应用，而且在实际问题中也能发挥重要作用。
本文将给出一些直线与圆综合运用的练习题，帮助读者巩固和应用所学知识。
问题一：已知直线与圆的交点坐标，求直线方程和圆的方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
设交点坐标为(x₁, y₁)，代入直线方程得y₁ = kx₁ + b，代入圆的方程得(x₁ - m)² + (kx₁ + b - n)² = r²。
化简后即可得到直线方程和圆的方程。
问题二：已知直线与圆的交点坐标，求该直线过圆心的垂线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆心坐标为(m, n)。
由于直线过圆心的垂线与直线的斜率为k的负倒数，故直线过圆心的垂线的斜率为-1/k。
设垂线方程为y = mkx + c，代入圆心坐标(m, n)得c = n -k*m。
因此，该直线过圆心的垂线方程为y = -x/k + (n - k*m)。
问题三：已知直线与圆的交点坐标，求直线与圆的切线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
通过求导可得直线的斜率为k。
根据切线的性质，直线与圆的切线垂直于通过切点与圆心的半径。
设直线与圆的切点坐标为(x₁, y₁)，圆心坐标为(m, n)，切线方程为y = mx + c。
由于切线垂直于半径，故直线与切线的斜率乘积为-1，即k * m = -1。
代入切点坐标(x₁, y₁)和圆心坐标(m, n)可得c = y₁ - m*x₁。
因此，直线与圆的切线方程为y = -1/k * x + (y₁ - m*x₁)。
问题四：已知圆的半径和切点坐标，求切线方程。
解析：设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²，切点坐标为(x₁, y₁)。
完整版)直线与圆综合练习题含答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45,1B。
不存在C。
不存在D。
-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=√2D。
a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13√10C。
26√5D。
207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
2/3B。
-3/2C。
-2D。
-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
直线与圆的综合运用
直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r相交；d＝r相切；d>r相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一直线与圆的位置关系【例】（1）4．圆(x−1)2+(y+2)2=6与直线2x+y−5=0的位置关系是（）A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离（2）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．【举一反三】1．若直线2x+y−2=0与圆(x-1)2+(y−a)2=1相切，则a=______．2．若曲线y=√1−x2与直线y=x+b始终有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[−1,√2]B．[−1,√2)C．[−√2,√2]D．[1,√2]3．已知圆C过点P(2,1)，圆心为C(5,−3)．（1）求圆C的标准方程；（2）如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围．考向二直线与圆的弦长【例】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=√3，则m=。
【举一反三】1．圆C：x2+y2−2x=0被直线y=√3x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√22.圆C：x2+y2−2x=0被直线y=x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√23．直线(m+1)x−my+3m+2=0被圆C:x2+y2=16所截的弦长的最小值为（）A．2√5B．6 C．2√11D．8考向三 切线问题【例】已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A (4，－1)．【举一反三】1. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．2．已知圆的方程为x 2+y 2=1，则在y 轴上截距为√2的圆的切线方程为（ ）A ．y =x +√2B ．y =−x +√2C ．y =x +√2或y =−x +√2D ．x =1或y =x +√23．已知圆：x 2+(y −1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0考向四 圆上的点到直线距离最值【例】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是________．【举一反三】1．设A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点，则A 到直线x +y −14=0的最大距离为________________．1．“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线xcosθ+ysinθ=1与圆(x −1)2+(y −1)2=9的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 3．若直线y =√33x +2与圆C:x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则线段AB 中点的坐标为 A ．(−√32,32) B ．(−√32,−32) C ．(√32,32) D ．(√32,−32)5．已知直线l:x−√3y=0与圆C:x2+(y−1)2=1相交于O,A两点，O为坐标原点，则ΔCOA的面积为（）A．√34B．√32C．√3D．2√36．已知圆C:(x−3)2+(y−1)2=3及直线l:ax+y−2a−2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________.7．已知直线l:ax+by−3＝0与圆M：x2+y2+4x−1＝0相切于点P（−1，2），则直线l的方程为_____．8．圆x2+y2=4与直线x+y−2=0相交于A，B两点，则弦|AB|=_______．9．已知直线l与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线l的方程为________.10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l 的方程为________________．12．过原点作圆x2+(y−6)2=9的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.。
直线与圆的综合问题(附答案)
例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ B ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤ ()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。
（注意：试卷直线方程有误，应为x+y+1=0）解：已知圆上的点A （2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上所以，设圆心为（2a ，-a ），代入A 点有（2-2a ）²+（3+a ）²=R ²----（1）又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为22所以，圆心到直线l 得距离 22132-=+=R a d -----（2）由方程（1），（2）经转化，得（a-7）（a-3）=0所以，a=3或7经检验成立故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
解：分两种情况一种是这个圆与x 轴的切点与B 重合，即B 在x 轴上，此时过B 作X 轴的垂线，这条垂线与AB 的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=0，设圆心（x ，y ）则B 作X 轴的垂线:x=4 (1)AB 的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2所以圆的方程（x-4）²+(y-17/2）²=(17/2）²化简得：x ²-8x+16+y ²-17y=0还有一种情况是AB 平行于X 轴，此时AB 的中垂线垂直与x 轴，又圆与x 轴相切，所以AB 的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=1设圆心（x,y ）这AB 中垂线:x=2半径等于圆心到x 轴的距离等于圆心到A 的距离所以：y ²=2²+(y-1)²得y=5/2所以圆的方程：（x-2)²+(y-5/2)²=(5/2)²化简得：x ²-4x+4+y ²-5y=0例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ， 求a 1 +b1 的最小值。
直线和圆的综合
直线在平面内无限延伸，没有端点； 两点确定一条直线；两条直线相交于 一点或平行。
圆的方程与性质
圆的方程
标准方程(x - a)² + (y - b)² = r²，一般方程x² + y² + Dx + Ey +F=0
圆的性质
圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合；圆心确 定圆的位置，半径确定圆的大小；圆的任意一条直径所在的 直线都是圆的对称轴。
直线和圆的综合
目录
• 直线与圆的基本性质 • 直线与圆的交点问题 • 直线与圆的切线问题 • 直线与圆的综合应用 • 典型例题解析
01
直线与圆的基本性质
直线的方程与性质
直线的方程
一般式Ax + By + C = 0，斜截式y = kx + b，点斜式y - y1 = k(x - x1)， 两点式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
已知圆外一点求切线方程
若已知圆外一点$Q(x_1, y_1)$，则过点$Q$的两条切线方程分别为$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$和$(y_1 - b)(x - a) - (x_1 - a)(y - b) = 0$。
切线长与半径的关系
切线长公式
若直线$l$与圆$C$相切于点$P$，且直线$l$上一点$A$到圆心$O$的距离为$d$，则切线长$AP = sqrt{d^2 - r^2}$。
直线与圆的位置关系
相离
直线与圆没有公共点， 即圆心到直线的距离大
于半径。
相切
直线与圆有且仅有一个 公共点，即圆心到直线
直线与圆的方程综合题、典型题
直线与圆的方程综合题、典型题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2rd >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 总结备忘：2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M由于CM ⊥l ，∴k CM ×k l = －1∴k CM =112-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0 CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单 总结备忘：3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-.（II ）当m ＞OB 时,||||m m >⇒>即 13m 13m >-<或.∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.总结备忘：4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。
直线与圆的综合(学生版)
直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。
高二数学直线和圆的方程综合测试题
高二数学直线和圆的方程综合测试题一、选择题1. 直线的斜率为-2，过点（3，4），则直线的方程为（）。
A. y = -2x + 10B. y = -2x - 2C. y = 2x + 10D. y = 2x - 2答案：B2. 已知直线的斜率为1/3，过点（-1，2），则直线的方程为（）。
A. y = 1/3x + 5/3B. y = -1/3x + 5/3C. y = 1/3x - 5/3D. y = -1/3x - 5/3答案：C3. 已知点（2，3）和（-1，4）在直线上，则直线的方程为（）。
A. y = -x + 5B. y = -x + 1C. y = x + 5D. y = x + 1答案：A4. 直线y = 2x - 1与直线y = kx + 4平行，则k的值为（）。
A. 2B. -2C. 1D. -1答案：A5. 直线y = -3x + 2与直线y = kx + 1垂直，则k的值为（）。
A. 1/3B. -1/3C. 3D. -3答案：B二、填空题1. 过点（1，2）且与直线y = 3x + 1垂直的直线方程为__________。
答案：y = -1/3x + 7/32. 过点（2，-1）且与直线y = -2x + 5平行的直线方程为__________。
答案：y = -2x + 33. 过点（4，3）和（-2，1）的中点坐标为__________。
答案：(1, 2)4. 过点（-1，2）且与直线y = -3x + 4垂直的直线方程为__________。
答案：y = 1/3x + 7/35. 过点（3，-2）且与直线y = 2x - 1平行的直线方程为__________。
答案：y = 2x - 8三、解答题1. 已知直线L1过点（1，2）且与直线y = 2x + 3垂直，直线L2过点（-1，4）且与直线L1平行，求直线L2的方程。
解析：首先求出直线L1的斜率，由于直线L1与y = 2x + 3垂直，所以斜率为-1/2。
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直线与圆综合
一、填空题
1．已知点M 0y +−=上，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，点M 的横坐标的取值范围是__________.
2．以点(1,2)C −为圆心作圆，过点(2,4)P 作圆C 的切线，切线长为2，直线OP （其中O 为坐标原点）交圆C 于,A B 两点，当点(,)M x y 在优弧AB 上运动时，212x y x y −−+−的最大值为_________.
二、解答题
3．已知一圆的圆心C 在直线210x y +−=上，且该圆经过()3,0和()1,2−两点. （1）求圆C 的标准方程；
（2）若斜率为1−的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC 面积的最大值和此时直线l 的方程.
4．已知22:120+++−=C x y Dx Ey 关于直线240x y +−=对称，且圆心在y 轴上.
（1）求C 的标准方程；
（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引圆C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B .记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；
5．设不过坐标原点的直线y kx b =+与二次函数21
2y x =相交于,A B 两点，若以AB 为
直径的圆过坐标原点.
（1）求b 的值；
（2）当以AB 为直径的圆的面积最小时，求直线AB 的方程.
6．已知点M 的坐标为()，点N 的坐标为)，且动点Q 到点M 的距离是
QN 的垂直平分线交线段QM 于点P .
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过圆22:2E x y +=上任意一点作切线l 交曲线C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由.
7．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ∶40x y −+=和圆O ∶224x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N .
（1）若PM PN ⊥，求点P 坐标；
（2）若圆O 上存在点,A B ，使得60APB ∠=︒，求点P 的横坐标的取值范围； （3）设线段MN 的中点为Q ，l 与x 轴的交点为T ，求线段TQ 长的最大值.
9．已知圆22:2230C x y x ay ++−−=关于直线:210l x y −+=对称 （1）求实数a 的值；
（2）设直线((0)y kx k =>与圆C 交于点A ，B ，且5AB =.
①求k 的值；
②点P （3，0），证明：x 轴平分∠APB ．
10．已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k −−+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
（3）设AB 的中点为N ．求点N 到直线x ＋3y －10＝0的距离的最大值．
11．已知圆C关于x轴对称，且在x轴上截得的线段长为y轴上截得线段长
为
（1）求圆C的方程；
（2）已知圆C的圆心在y轴的左侧，若斜率为1的直线l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
12．如图，点()00,P x y 是圆O ：229x y +=上一动点，过点P 作圆O 的切线l 与圆
1O ：()()224x a y −+−()1000a =>交于A ，B 两点，已知当直线l 过圆心1O 时，
14O P =
（1）求a 的值；
（2）当线段AB 最短时，求直线l 的方程；
（3）问：满足条件1
3AP
BP =的点P 有几个？请说明理由．
参考答案
1．[1,2]
2．2+
3．（1）()2
214x y −+=（2）最大值2，10x y ++=或30x y +−=.
4．（1）()2
2216x y +−=；（2）. 5．（1）2；（2）2y =.
6．（1）22
163
x y +=；（2）是，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 7．（1）10b b <≠且
（2）222(1)0x y x b y b ++−++= （3）过定点，证明见解析．
8．（1）()2,2P −；（2）[]4,0−；（3） 9．（1）0a =；（2）①2k =；②证明见解析.
10．（1）43
k >；（2）是定值，定值为23−；（3. 11．（1）()22113x y ±+=；（2）:40l x y −+=或30x y −−=.
12．（1）3a =；（2）34150x y ++=；（3）满足条件的点P 共有4个，理由见解析.。