直线与圆的综合

第7讲直线与圆综合题直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容•对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想.对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直 线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重 圆的特征直角三角形”是关键.同时直线与圆的综合问题还可能会考查轨迹问题(隐形圆)、与直线、圆有关的定点定值及与圆有关的最值问题等次类问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过准确作图，充分挖掘几何图形中所 隐含的条件，利用几何知识也能使问题较为简捷地得到解决. 【自主热身、归纳提炼】1.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x + 2y — 3= 0被圆(x — 2)2+ (y + 1)2= 4截得的弦长为 ____________ 解析圆心为(2 , — 1)，半径r = 2.2.若直线3x - 4y -m = 0与圆x 2y 22x -4y - 4=0始终有公共点，则实数是 _________ .解 因为(x+1)2+(y —2)2=1，所以由题意得：3*4沃2-W 1,化简得m — 5兰5即0打10.53. ( 2017南京)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线ax + y — 2= 0与圆心为 C 的圆(x — 1)2+ (y —a )2= 16相交于A B 两点，且△ ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 _______________ .解析 圆心C (1, a ),半径r =4,因为△ ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d =2j2，即=2屁 ，解得a =-1 .7 a 2+14.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0 ( m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ____________ .解析 由直线 mx- y — 2m- 1 = 0得n(x — 2) — (y + 1) = 0，故直线过点(2，— 1).当切线与过(1，0)，(2，— 1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r = ,1+ 1= 2，故所求圆的标准方程为(x — 1)2+ y 2= 2.5. ( 2017 •苏北四市)已知A,B 是圆C 1： x 2y 2=1上的动点，AB 二门，P 是圆圆心到直线的距离|2 + 2；：； — 1/+ 4—3|m 的取值范围所以弦长为5 ，C2 ： (x -3)2■ (y -4)2=1 上的动点，则"P A "PB的取值范围为解析 将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关,故问题可转化为圆 G : x 2y 2=1与C 2, ： (x -5)2 • y 2S'lAfexct 咚wfP 疋岌址=帀孑方厂■豈竽凹詔 当月心r~wy er 4瘩时"二"就匚 朵询呻解那：边L 幾：吐寸邸=0「列劫賣践曲胆叙二A 6=审普［宀s 令X 枇硝护呷. 汕 甲L 禺时也谕节幽即操危呵匙建羸启总叭 呦网 甫缶z 幷狡简推*变式i (动圆)(2017 苏大信息卷)已知直线 I : x 3y ^0 ,圆 C ： x 2• y 2-2ax-2ay =1-2a 2(a ・0),/中相应问题，这样易于解决如图，当AB _x 轴，且AB 与点P 位于较近一侧时, 此时, PA PB =2 (5 =7=2X (5+3)=13max2同理，求得P所以PA+PB 的取值范围为[7,13].PB x 2y 2 =1求两圆上的两点间距离的范围） 【典例探究、形成方法】 直线与圆相交中的面积问题 例1 （动直线）动直线y =k （x —、.2）与曲线y = 1 _x 2相交于 A ，B 两点, 得最大值时，k 的值为 ____________ .解析1易得直线y = k （x - . 2）过定点C G. 2, 0）,曲线y 二1「X 2表示圆X 2 ■ y 2 = 1的上半圆，1 兀S AOB OA OB sinAOB ，当一 AOB 时，： 2 2O 为坐标原点，当：AOB 的面积取AOB 的面积取得最大值，如图作OH — AB ，在R AB 中，A ^ ＜：'AO 2 BO 2二空2，则OH ，又在Rt OHC 中,—兀0C = 2，所以 OCH 二；,6小 兀 5兀 贝V k = tan( ) = tan - =6 6xPA PB 取得最小值,或设设AB 的中点为M 3，故答案为3过原点的直线l i与直线|垂直，l i与圆C交于M N两点，则当△ CMN勺面积最大时，圆心C 的坐标为_______________ .解析圆C (x—a $ +(y —a 2 =1，直线h：3x —y=0，当CMLCN时，△ CMN勺面积最大，此时C到I i的距离为返，则里g =亚,a=^，圆心C (逅,—).2 ^0 2 2 2 2变式2(动直线+动圆)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C : x2 y^2m^ -4y 52-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若△ ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为__________ .解析圆的标准方程为(x-m)2• (y - 2)2 = 32，则圆心C(m,2)，半径r =4.2 ,1 2S r sin. ACB =16 sin. ACB，当 / ACB= 90°寸S 取最大值16 ,2此时△ ABC为等腰直角三角形，AB » 2r =8，则C到AB距离=4,所以4W PC ：：： 4、2 ,即4< x (m-3)222 :: 4、2，所以16< (m -3)2 22：：32，即12< (m -3)2：： 28 ,解得3 2. 3< m ：： 3 2 .7 或3-2.7 :: m< 3 - 2,因为点P(3,0)在圆C : x2 y2「2mx「4y m2-28 = 0 内,所以PC = .(m -3)222：：4,2，即(m -3)2：： 28，即一2 . 7 ：： m - 3 ：： 2. 7 . 定点、定值及恒成立问题例2 （点动---两点间距离变----距离之比不变）从而H =3为常数已知圆C : x 2 y 2 =9，点A(5在x 轴上存在定点B （不同于点都有|A 为一常数'试求所有满足条件的点B 的坐标. 解析 法1假设存在这样的点B(t,0)，当P 为圆C 与x 轴左交点 (-3,0)时,当P 为圆C 与x 轴右交点 (3,0)时, 依题意，亡邑色，解得，t2 8 9 下面证明 点B （ -— ,0）对于圆C 上彳 5 设 P(x, y)，则 y 2 =9 -x 2 ,/ 丄9\2丄 22c 2PB2 (x ) y y 9-xPB _ 5 PA 2 (x +5)2 +y 2> — PA2 PB|t 3| PA8 ，--5 （舍去）， F —点 P ，都有 218 81 x x5 25 ；95 •PB为一常数.PA 9-x 2x 2 10x 25 9 - x 218(5x 17)25__ ______ ?2(5x 17) - 25方法2假设存在这样的点B （t,0），使得空为常数■，则PB 2PA2 2 2 2 2 2 2••• (x -t) +y =h ［(x+5) +y ］，将 y =9—x 代入得, x 2 _2xt +t 2 +9 _x 2 =^2(x 2 +10x +25 +9 _x 2),即 2(5 2 t)x 34 ^ -t^^0对 X ，［-3,3］恒成立,3452雷心解得3 ■ =5 5或 t -一9 I 5■ =1t 一5 （舍去），9所以存在点B （ ,0）圆C 上任一点P ，5变式1 （线动---弦长变---弦长比值不变） 都有|A 为常数在平面直角坐标系xOy 中，已知圆0 : x 2 •=64，圆与圆O 相交，圆心为0,9,0），且圆上的点与圆O 上的点之间的最大距离为 21.PB |t 3|A ），满足：对于圆C 上任一点P ，（1）求圆01的标准方程;则圆心0( 0,0 )到直线I 1的距离为d 二|3k k 2 1(2)过定点P(a,b)作动直线I 与圆0,圆O i 都相交，且直线I 被圆0,圆O i 截得的弦长分别为d ， d i .若d 与d i 的比值总等于同一常数 ，，求点P 的坐标及■的值.解析(1)由题设得圆0的半径为4,所以圆0的标准方程为(X — 9)2+ y 2= 16.(2)当直线I 的斜率存在时，设直线I 为y — b = k (x — a )，即y — kx + ka — b = 0.| ka — b || — 9k + ka — b | 则O 0到直线I 的距离分别为h = , h 1 =一尹+k 一，从而 2 2 2d( ka — b )(— 9k由 d 1=入 得 64 — —1 + k 2 —=灯16—1 + k2 ]，整理得[64 — a 2—16??+ f (a — 9)2] k 2+ 2b [a —才(a — 9)] k + 64 — b 2—才(16 — b 2) = 0.由题意，上式对于任意实数 k 恒成立，所以64 — a 2— 16 ?+ ?(a — 9)2= 0,2b [a —?(a — 9)] = 0, 64 — b 2— ?(16 — b 2) = 0, 由 2b [a — ?(a — 9)] = 0, 得 b = 0 或 a — ?(a — 9) = 0.2 ________________________________________________________① 如果b = 0，则64 — 16?= 0,解得?= 2(舍去负值).从而a = 6或18. 所以？= 2,点 P (6 , 0)或 R18 ,0).a2 2 _______________________________________________________________________________② 如杲a —入(a — 9) = 0，显然a = 9不满足，从而 ? = a 一9, 所以 3a 2— 43a + 192= 0.2 . _但△= 43 — 4X 3X192 = — 455<0,因此该方程无实数根，舍去.当点P 的坐标为(6 , 0)时，若直线I 的斜率不存在，此时 d = 4 7, d 1= 2 7 , d所以d 1= 2，也满足. 综上所述，满足题意的？= 2,点P 有2个，坐标分别为(6 , 0)和(18 , 0).变式2 (点动---圆动---圆过定点) 已知圆0的方程为x 2y 2=1，直线丨1过点A (3,0)，且与圆0相切.(1) 求直线I 1的方程；(2) 设圆0与x 轴交与P, Q 两点，M 是圆0上异于P, Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为 I 2,直线PM 交直线I 2于点P ,直线Qh 交直线I 2于点Q.求证：以P Q 为直径的圆C 总过定点, 并求出定点坐标.解析(1 )因为直线11过点A (3,0),且与圆0 x 2+y 2=1相切,设直线11的方程为y =k (x -3)，即kx - y -3 k =0,(ka — b ) 2 /(— 9k + ka —b )d = 2 64 — 1 + k 2, d = 2 16 — 1 + k 21 + k 2(2)对于圆方程x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即R-1,0) , Q1,O)，又直线I 2过点A且与x轴垂直，所以直线丨2方程为x =3,设Ms, t),则直线PM方程为y二丄(x・1).s+1+x =34t 2t解方程组t ,得P(3,旦)同理可得，Q(3,旦).y=——(x+1) ' 's+1 s—1L s +1‘ ’4t 2t所以以PQ为直径的圆C的方程为(x-3)(x -3) • (y - ——)(y- ——)=0, s + 1 s—1又s2 t2=1,所以整理得x2 y2 -6x・1 •牛2 y =0,右圆C经过疋点，只需令y=0,从而有x -6x川1 =0 ,解得x = 3 士2丿2 ,所以，圆C总经过定点坐标为(3_2.、2,0).变式3 (线动---数量积定)如图，已知以点A(-1 , 2)为圆心的圆与直线I仁x+2y+7=0相切.过点B(-2, 0)的动直线I与圆A相交于M N两点，Q是MN勺中点，直线I与I 1相交于点P. BQ BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由所以BQ BP=(BA AQ) BP=BA BP AQ BP = BA BP.5当直线I与x轴垂直时，得P(-2 , ).2则BP=(0，-寸)，又BA=(1，2)，所以BQ BP ="BA BP =-5.当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x+2).所以直线11的方程为y = —2(x-3).-4解析因为AQL BP,所以AQ BP=0,由 y =k(x 2),X 2y 7 =0,解得P( Vk —7 -5k )1 2k i 2k )所以BP =(-5 -5k1 2k‘1 2k)■。