直线圆与椭圆综合应用
数学新指导人选修课件习题课椭圆的综合问题及应用
椭圆的收敛性可以用于解决与收敛相关的数列问题，如判断数列 是否收敛、求数列的极限等。
椭圆不等式求解技巧与方法
01
02
03
04
变量代换法
通过适当的变量代换，将椭圆 不等式转化为更容易求解的形
式，从而简化求解过程。
数形结合法
利用椭圆的几何性质，将不等 式问题转化为图形问题，通过 图形的直观性来求解不等式。
椭圆数列求和公式
对于椭圆数列，存在特定的求和公式，可以快速 计算出数列的和。这些公式通常涉及到椭圆的几 何参数和数列的初始条件。
利用椭圆性质解决数列问题
利用周期性
椭圆的周期性可以用于解决与周期相关的数列问题，如找出数列 的周期、判断数列是否收敛等。
利用对称性
椭圆的对称性可以用于解决与对称相关的数列问题，如找出数列 的对称中心、判断数列是否具有对称性等。
解题思路
联立椭圆和直线的方程，消元得到一个关于x（或y）的一元二次方 程，解方程得到交点坐标。
注意事项
需要判断直线与椭圆的位置关系，即判断判别式的正负。
案例二：椭圆与圆相切问题
问题描述
给定一个椭圆和一个圆 ，求它们相切的条件。
解题思路
利用椭圆和圆的方程， 联立求解得到切点坐标 ，再根据切点坐标和椭 圆、圆的性质求解相切 条件。
椭圆与直线的组合问题
利用直线与椭圆的交点、切线等性质，解决它们之间的组合问题。
综合应用
将椭圆、圆和直线等几何元素进行组合，利用它们的性质和相互关 系，解决复杂的综合问题。
03 椭圆在函数与方 程中应用
椭圆函数性质及图像分析
椭圆函数定义
椭圆函数是一类特殊的函数，其 自变量和因变量之间的关系可以
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT
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高中数学
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课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
12
2
,
4 +1
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由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )
∴
2
4 +1
解得
−
2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
直线与椭圆的综合应用
椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。
由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。
所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。
解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。
椭圆的标准方程及性质的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。
第十三单元§13.2直线与椭圆的综合应用
§13.2直线与椭圆的综合应用一椭圆的焦点弦1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值.二直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若+=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1.则四边形BF1AF是平行四边形,故=,所以+=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1,从而a2-c2≥1,所以0<c2≤3,所以0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围是,故选A.【答案】AF1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M,N两点,则△MNF2的周长为().A.16B.8C.25D.32【解析】由椭圆的定义,得△MNF2的周长L=|MN|+|MF2|+|NF2|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=4×4=16.【答案】AF1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.【解析】设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°==-=,解得=,故E的离心率e=.【答案】CC:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且k P A2=-1,那么k P A1=().A.B.C.1 D.2【解析】依题意知a=2,∴A1(-2,0),A2(2,0).设P(x,y),则k P A1k P A2=·-=-.∵y2=3-,∴k P A1×(-1)=---,解得k P A1=.【答案】B题型一椭圆中的定值问题【例1】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,设椭圆E的上,下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T,证明:线段OT的长为定值.【解析】(1)由e==-=,得a=2b,①又2a+2b=6,即a+b=3,②联立①②,得a=2,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知,A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),显然,直线PA1,PA2的斜率均存在,则直线PA1的方程为y-1=-x,令y=0,得x N=--.直线PA2的方程为y+1=x,令y=0,得x M=.由切割线定理可得|OT|2=|OM||ON|=-=4,∴|OT|=2,即线段OT的长为定值2.【追踪训练1】已知椭圆C:+=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,=λ,=μ.判断λ+μ是否为定值,若是,计算出该定值;若不是,请说明理由.【解析】(1)由条件得解得∴椭圆的方程为+y2=1.(2)由题易知直线l斜率存在,令l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(-4,y0), 由得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-.由=λ得(-1-x1,-y1)=λ(x2+1,y2),即--解得λ=-.由=μ得(-4-x1,y0-y1)=μ(x2+4,y2-y0),即---解得μ=-.∴λ+μ=-=-.将x1+x2=-,x1x2=-代入, ∴λ+μ=---=---=0.题型二椭圆中的定点问题【例2】已知A,B是椭圆+y2=1上的两点,且=λ,其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数λ的取值范围.(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得·为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知条件知直线AB过椭圆右焦点F(1,0).当直线AB与x轴重合时,λ=3±2.当直线AB不与x轴重合时,可设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-.所以=-∈(-4,0].又由=λ,得-y1=λy2,所以==-λ-+2∈(-4,0],解得3-2<λ<3+2.综上,实数λ的取值范围是[3-2,3+2].(2)设M(a,0),则·=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(my1+1-a)(my2+1-a)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2=---+(1-a)2=--为定值,所以2a2-4a+1=2(a2-2),解得a=.故存在定点M,使得·为定值-.(经检验,当AB与x轴重合时也成立)【追踪训练2】设M是焦距为2的椭圆E:+=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程.(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处的切线方程为+=1.若点P是直线x=2上任意一点,从点P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证:直线CD恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则+=1,即n2=b2·-.=-,由k1k2=-,即·-=-,则a2=2b2.得-又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两条切线PC,PD的方程分别为+y1y=1,+y2y=1.因为点P在切线PC,PD上,所以x1+y1t=1,x2+y2t=1,故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,即x+ty=1为直线CD的方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点(1,0).题型三椭圆中的范围与最值问题【例3】已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程.(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F(c,0)(c>0),由坐标原点O到直线x-y-c=0的距离为,得=,解得c=1.又e==,∴a=,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件,∵直线l与x轴不垂直,∴设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由-∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1x2=-.设线段PQ的中点为N(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-.∵|MP|=|MQ|,∴MN⊥PQ,∴k M N·k P Q=-1,-·k=-1,∴m==.即-∵k2>0,∴0<m<.【追踪训练3】平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减,得-+-=0.因为--=-1,设P(x0,y0),又P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2.又因为c=,所以a2=6.所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y-=0,设直线CD的方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1,得2x2-4x=0,解得x=0或x=.不妨令A(0,),B-,可得|AB|=.将y=x+m代入+=1,得3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=·-=-.又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|=.方法椭圆中的弦长计算1.有关弦的三个问题涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为一元二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.【突破训练】如图,已知P为椭圆E:+=1(a>b>0)上的点,且a2+b2=5,过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1相交于A,B两点,过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.(1)求椭圆E的离心率;(2)若AB=2,求|PQ|.【解析】(1)由题意知,+=1,a2+b2=5,a>b>0,解得a2=3,b2=2,所以椭圆E的离心率e=-=.(2)由题意知,圆F的圆心为原点,半径r=2,|AB|=2,所以原点到直线AB的距离d=-·-=1.因为点P的坐标为,所以直线AB的斜率存在,设为k.所以直线AB的方程为y-1=k-,即kx-y-k+1=0,所以d=-=1,解得k=0或k=2.当k=0时,直线PQ的方程为x=,所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍,即|PQ|=2×1=2.当k=2时,直线PQ的方程为y-1=--,代入椭圆E的方程+=1,消去y并整理,得34x2-10x-21=0.设点Q的坐标为(x1,y1),所以+x1=,解得x1=-,所以|PQ|=-=.1.(2018太原模拟)已知点F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为().A. B. C.2 D.【解析】如图所示,点P与点F2关于直线y=x对称,∴OP=OF2=OF1=c,∴PF1⊥PF2.又∵tan∠PF1F2=,F1F2=2c,∴PF2=2b,PF1=2a.∵点P在双曲线上,∴|PF2|-|PF1|=2a⇒2b-2a=2a⇒b=2a⇒e==.【答案】D2.(2018山西省太原市五中月考)已知P为椭圆+=1上的一个点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.【解析】设圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1(-3,0),F2(3,0),同时两圆心为椭圆的焦点,所以由椭圆定义得+=10.又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心连线长减半径,所以|PM|+|PN|≥-1+-2=+-3=10-3=7.【答案】73.(2018长沙月考)已知椭圆C:+=1(0<m<9)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为10,则m的值为.【解析】由0<m<9可知,焦点在x轴上,∵过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12,∴|BF2|+|AF2|=12-|AB|.当AB垂直x轴时,|AB|最小,|BF2|+|AF2|的值最大,此时|AB|=,∴10=12-,解得m=3.【答案】34.(2018四川绵阳模考)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点,若=6,则k的值为.【解析】依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<0,x2>0.且x1、x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=,由=6,知x0-x1=6(x2-x0),可得x0=(6x2+x1)=x2=.由点D在线段AB上知,x0+2kx0=2,得x0=,所以=,化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.【答案】或5.(2018湖南六校联考)设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是4+2.(1)求椭圆C1的方程.(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A、B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若点C满足AB⊥BC,AD∥OC,连接AC交DE于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=知,=,所以c= a.因为△PF1F2的周长是4+2,所以2a+2c=4+2,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0).因为AB⊥BC,设C(2,y1),所以=(x0+2,y0),=(2,y1).由AD∥OC,得(x0+2)y1=2y0,即y1=,所以直线AC的方程为=,整理得y=(x+2).又点P在直线DE上,将x=x0代入直线AC的方程,可得y=,即点P的坐标为,所以P为DE的中点,所以PD=PE.6.(2018汉中市质检)已知直线l:y=kx+与y轴的交点是椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为直线l:y=kx+与y轴的交点坐标为F(0,),所以椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点坐标为F(0,),所以椭圆的焦半距c=,所以m=c2+1=3+1=4,故椭圆C的方程为+x2=1.(2)将直线l的方程y=kx+代入+x2=1并整理,得(k2+4)x2+2kx-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,则·=0,即x1x2+y1y2=0.又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,所以--+3=0,解得k=±.经检验知,此时Δ>0,符合题意.故存在k=±,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.7.(2018河北衡水中学高三上学期五调)已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C的右焦点F(c,0),=,∴c=2.∵点(2,)在椭圆C上,∴+=1.由a2-b2=4得a2=8,b2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可得l1的斜率不为零,当l1垂直x轴时,△MAB的面积为×4×2=4,当l1不垂直x轴时,设直线l1的方程为y=kx+,则直线l2的方程为y=-x+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-,则=-=.由圆心Q(2,)到l2的距离d1=<得k2>1,又MP⊥AB,QM⊥CD,∴GM∥AB,∴点M到AB的距离等于点Q到AB的距离,设为d2,即d2=-=,∴△MAB面积S=d2==4.令t=2k2+1∈(3,+∞),则∈,S=4-=4--∈,综上,△MAB面积的取值范围为.8.(2018四川巴蜀联盟)如图,点M在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B不重合)两点,求·的取值范围.【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M在椭圆+=1(a>b>0)上,∴+=1,解得b2=2,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)∵k O M=,∴k A B=-.设直线AB的方程为y=-x+m,联立方程消去y得13x2-4mx+2m2-4=0.-∵Δ=(4m)2-4×13(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0,∴m2<26.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.·=x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=-.结合0≤m2<26,可得·的取值范围是-.9.(2018福州模拟)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=4.(2)由(1)知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=y0(x+2).由得(+1)x2+4x+4-4=0,所以-2x1=-,即x1=-,y1=.直线PF的方程为y=-(x-2).由--得(+9)x2-4x+4-36=0,所以2x2=-,即x2=-,y2=.所以k A S==-=,k A T==-=,所以k A S=k A T,所以A,S,T三点共线.10.(2018佛山质检)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F1、F2,且C1与抛物线C2:y2=x的交点所在的直线经过F2.(1)求椭圆C1的方程.(2)分别过点F1、F2作平行直线m、n,若直线m与C1交于A,B两点,与抛物线C2无公共点,直线n与C1交于C,D两点,其中点A,D在x轴上方,求四边形AF1F2D的面积的取值范围.【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F2(2,0).所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(2,),于是2a=|PF1|+|PF2|=4,从而a=2.又a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C1的方程为+=1.(2)依题意,直线m的斜率不为0,设直线m:x=ty-2,由-消去x并整理,得y2-ty+2=0,由Δ=(-t)2-8<0,得t2<8.由-消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=-=.因为直线m与n之间的距离d=(即点F2到m的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD为平行四边形,故S四边形AF1F2D=S四边形ABCD=··=.令=s∈[1,3),则S四边形AF1F2D===∈,所以四边形AF1F2D的面积的取值范围为.11.(2018广东省佛山市高三教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)设A(0,-1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.【解析】(1)依题意得+=1,e==,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)显然,直线l的斜率k存在.①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0,P(-x0,y0),Q(x0,y0),则+=1.所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-≤2·-=2.当且仅当=2-,即=1时取等号,此时直线l的方程为y=±1.②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2,(*)则有x1+x2=-,x1x2=-,于是可得PQ的中点坐标为-.因为|AP|=|AQ|,所以--=-,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O到直线l的距离d=,·-=-,所以S=|PQ|·d=··-.即S=-=--,所以当m=3时,S取得最大值,此时k=±,直线l的方程为y=±x+3.综上所述,直线l的方程为y=±1或y=±x+3.。
直线与圆的综合(学生版)
直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。
2020高考数学试题分项版解析专题17椭圆及其综合应用理
【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题17椭圆及其综合应用理1.【2017浙江，2】椭圆的离心率是22194x y +=A ．B ．C ．D 2359【答案】B 【解析】试题分析：，选B ．e ==2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A222221x y a b+=为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A ．B ．C ．D 13【答案】A 【解析】试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，12A A ()0,0r a =222x y a +=直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，20bx ay ab -+=d a ==整理可得，即，223a b =()222223,23a a c a c =-=从而，椭圆的离心率，22223c e a ==c e a ===故选A.【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝；c a②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围).3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）22x m 22x nA ．m>n 且e1e2>1B ．m>n 且e1e2<1C ．m<n 且e1e2>1D ．m<n 且e1e2<1 【答案】A 【解析】4.【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，O F C 22221(0)x y a b a b+=>>,A B分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A PF M y点.若直线经过的中点，则的离心率为（）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A 【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A ．()y k x a =+x c=-0x =||()FM k a c =-||OE ka=OBECBM∆∆1||||2||||OE OB FM BC =2(c)ka a k a a c =-+13c a =13e = 考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,a c ,,a b cba5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.221164x y +=【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.4a -222(4)2a a -=+32a =22325()24x y -+=6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.xOy F 22221()x y a b a b +=＞＞02by =,B C 90BFC ∠=【解析】由题意得，因此,),C(,),22b b B 22222)()0322b c c a e -+=⇒=⇒ 考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.,a c ,a c ,a c7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.2222=1x y a b+（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过，两点.另外知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2，在设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l ：（），将代入，写出判别式，韦达定理，表示出，根据列出等式表示出和的关系，判断出直线恒过定点.3P 4P 3P 4P 222211134a b a b+>+134,,P P P y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=12k k +121k k +=-m试题解析：（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.3P 4P 3P 4P又由知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上.222211134a b a b +>+因此，解得.222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故C的方程为.2214x y +=由题设可知.22=16(41)0k m ∆-+>设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.2841km k -+224441m k -+而12121211y y k k x x --+=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设，故.121k k +=-1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即.222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++解得.12m k +=-当且仅当时，，欲使l ：，即，1m >-0∆>12m y x m +=-+11(2)2m y x ++=-- 所以l 过定点（2，）1-【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足。
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