高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-7
高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线和圆的方程 章末质量检测 文 试题
·创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔 为2，且与点B (3,1)的间隔 为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由． 答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256， 应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直， 设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时． 二、填空题13．【解析】 直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】 以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切， 公切线只有一条． 【答案】 1 15．【解析】 如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔 为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】 区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形． 【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)， 那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】 直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360， 作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】 圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |， 即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2， 同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝ －k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。
2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程(74页精美word)
2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程（74页精美word ）§ 7.1直线的方程自主学习刖础自测x 轴的交点是P ,且倾斜角为，假设将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为+45°, 那么 A.0 ° < V 180° C 0°v < 135 〔 〕 B.0 ° < V 135° D. 0°V V 135 ° 答案 D2.〔2018 •全国I 文〕曲线y=x 【2x+4在点〔1 , 3〕处的切线的倾斜角为 A30 ° B45 ° C.60 A.1 B.4 C.1 或 3 答案 A4.过点 P 〔-1 , 2〕且方向向量为a=〔-1 , 2〕的直线方程为A.2 x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0 答案 B 3.过点M 〔-2 , m 〕，N 〔 m 4〕的直线的斜率等于1,那么m 的值为 答案 A5.（2018 •株州模拟）一条直线通过点 A 〔-2 , 2〕,同时与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔 〕 D120 °（）D.1 或 4〔 〕 D. x+2y-5=01,那么此直线的方程为答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 典例剖析例 1 三点 A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕，C〔 4 , 5〕求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明方法一 •/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔3 , 3〕，C 〔 4 , 5〕，--k AB =k BC , ••• A 、B 、C 三点共线.方法二•/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,「•I AB=2 J5 , | BC=岳，| AC=3 厉,•••IAB+| Bq=| AC ,即 A 、B 、C 三点共线.方法三•/ A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,• AB =〔 2 , 4〕, BC =〔1 , 2〕，• AB =2 BC .又T AB 与BC 有公共点B , • A 、B 、C 三点共线.例 2 实数 x, y 满足 y=x 2-2x+2 (-1 <x < 1).试求：y 3的最大值与最小值.x 2解 由L2的几何意义可知，它表示通过定点P 〔-2 , -3丨与曲线段AB 上任一点〔x,y)的直线的斜率k,如图可知：k pAx 2 < k < k pB ,由可得：A 〔 1 , 1〕，B 〔-1 , 5〕， 4 / k <8,3故-__3的最大值为8，最小值为4 .x 2 3例3求适合以下条件的直线方程：〔1〕通过点P 〔3, 2〕，且在两坐标轴上的截距相等；〔2〕通过点A 〔-1，-3〕，倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 〔1〕方法一 设直线I 在x, y 轴上的截距均为a, 假设a=0，即I 过点〔0, 0〕和〔3，2〕， /• I 的方程为 y=?x ,即 2x-3 y=0.3 假设a 工0，那么设I 的方程为-1 ,a b •/ I 过点〔3, 2〕，••• 3 - 1 ,a a a=5,「. I 的方程为 x+y-5=0,综上可知，直线I 的方程为2x-3 y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率 k 存在且k 工0,设直线方程为y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3 k,k 由 3- - =2-3 k ，解得 k=-1 或 k= 2, k 3 直线I 的方程为： y-2=-〔 x-3 丨或 y-2=2(x-3),3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.〔2〕由：设直线y=3x 的倾斜角为 那么所求直线的倾斜角为 2 .又直线通过点A 〔-1 , -3丨， 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1),4即 3x+4y+15=0.例4 〔 12分〕过点P 〔2, 1〕的直线I 交x 轴、y 轴正半轴于 A B 两点，求使:〔1 ]△ AOB 面积最小时I 的方程； 〔2〕| PA • | PB 最小时I 的方程.■/ tan =3, • • tan2=2 tan1 tan 21. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，假如 A 〔 a ，a 3〕、B 〔b ，b 3〕、C 〔c ，c 3〕在解方法一设直线的方程为x 1 1 ( a >2, b > 1), a b由可得2 1 1. a b2,：?b 三 I 1=「a b >8.--S ^AOB = ab 》4.2当且仅当2=1 = 1，即a=4, b=2时，S A AOB 取最小值4，现在直线I 的方程为\ a b 2 4 -=1,即 x+2y-4=0. 6 2〔2〕由 2 + 丄=1，得 ab-a-2 b=0, a b 变形得(a-2)( b-1)=2,| PA • |PB| =.(2 a)2(1 0)2 • .(2 0)2(1 b)=.[(2 a)2 1] [(1 b)2 4]> 2(a 2) 4(b 1). 10当且仅当a-2=1, b-1=2,即 a=3, b=3 时，| PA| • | PE| 取最小值 4. 现在直线I 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线I 的方程为y-仁k(x-2) ( k v 0), 那么I 与x 轴、y 轴正半轴分不交于 12A 21,0、 kE 〔0，1-2k 丨. 〔1〕 1 S A AOE =— 2 21 k 〔1-2 k 〕 =1 2 x 4 ( 4k) ( 1) > 1• 〔4+4〕 =4.当且仅当-4 k=- 1 ,即k=- 1时取最小值，现在直线k 2 1I 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0.2当且仅当 4 =4k 2,即k=-1时取得最小值，现在直线I 的方程为y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k 26分12 分知能迁移2〔2〕| PA • |PE|=同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明■/ A>7B 、C 三点共线，k AB =k AC ,33 3 3/• a__b a1，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2, a b a c /• b 2- c 2+ab- ac=0,〔 b-c 〕〔a+b+c 〕=0, ■/a 、b 、c 互不相等，b-c 工0,「. a+b+c=O. 2.〔 2018 •宜昌调研丨假设实数x, y 满足等式（x-2） 2+y 2=3,那么X 的最大值为〔〕xA. -B.C ±1D. J 32 3 2答案 D3. 〔 1〕求通过点A 〔-5 , 2〕且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程；〔2〕过点A 〔 8, 6〕引三条直线丨1,丨2,丨3,它们的倾斜角之比为 1 : 2 : 4，假设直线丨2的方程是y=£x,求直线I4 程.解 〔1〕①当直线I 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为 y=kx, 将〔-5 , 2〕代入y=kx 中，得k=- 2，现在，直线方程为 y=- 2x,5 5 即 2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为 A 2=1,2a a 将〔-5 , 2〕代入所设方程， 解得a=- 1 ,2现在，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0或2x+5y=0. 〔2〕设直线l 2的倾斜角为 ， ,那么tan=3 4因此 1 tan = 1 4cos = 5 12sin 3 35tan2=2 tan3 2 - 4241 tan 21 (3)2J 7因此所求直线l 1的方程为y-6=丄（x-8）,3即 24x-7y-150=0.4. 直线l 通过点P 〔 3, 2〕且与x , y 轴的正半轴分不交于 A B 两点，△ OAB 的面积为12，求直线l 的方程.1, l 3的方即x-3y+10=0,13的方程为24 y-6=丝(x-8),5.通过点〔1，4〕的直线在两坐标轴上的截距差不多上正的，且截距之和最小，那么直线的方程为〔解 方法一 设直线I 的方程为x 1 1〔a > 0, b >0〕a bA( a,0), B(0, b).ab 24,解得1.6,b 4. 二所求的直线方程为^1=1 6 4 即 2x+3y-12=0.方法二 设直线I 的方程为y-2= k( x-3), 令y=0,得直线I 在x 轴上的截距a=3- 2 , k 令x=0,得直线I 在y 轴上的截距b=2-3 k. 2 2二 3 - (2-3 k)=24.解得 k=- 一 .k 3 二所求直线方程为y-2二2 (x-3).3 即 2x+3y-12=0.、选择题A 0,B. — ?4,4C. _______4 , 4D- 0--4 4答案D2.直线 l 过点〔a,1) ,〔a+1,tan +1),那么A 一定是直线l 的倾斜角B. 一定不是直线 l 的倾斜角C不一定是直线 l 的倾斜角A 0,B. 0,42C. D.---------4, 2答案 4.过点1,作直线l ，假设通过点〔a , 0〕和〔0, b 〕，且a G N , B.2C.3b G N ,那么可作出的D.4的条数为〔 〕 A.1答案 1.直线 xcos +y-1=0 (G R)的倾斜角的范畴是D.180 ° - 一定是直线l 的倾斜角 答案 C3.直线l 通过A 〔 2, 1〕，B 〔 1, m 〕〔 m€ R 〕两点，那么直线l 的倾斜角的取值范畴是〔A. x+2y-6=0 C x-2y+7=0 答案 B6. 假设点A 〔 2, -3〕是直线a i x+biy+仁0和a 2X+b ?y+仁0的公共点，那么相异两点〔a i , b i 〕和〔a ?, b 2〕所确定的直线方程 是〔〕A2x-3y+仁0 B.3x-2y+仁0 C.2 x-3 y-1=0 D.3 x-2y-仁0答案 A 二、 填空题7. 〔 2018 •浙江理，11〕a > 0,假设平面内三点 A 〔 1, -a 〕，B 〔 2, a 2〕，C 〔 3, a 3〕共线，那么 a= . 答案 1+ 28. 两点A 〔-1，-5丨，B 〔 3，-2丨，假设直线I 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，那么I 的斜率是 . 答案13三、 解答题假设直线I : x+my+mF0与线段PQ 有交点，求m 的取值范畴.k AP =丄」=-2 , k AQ =—=30 1 0 2 2 13 1那么-丄＞ 3或-丄K -2 ,m 2 m又T m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点, 所求m 的取值范畴是-2 < n K 1.3 2 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1= 2_ ( x+1),即 y=[x+4,2 13 3代入 x+my+m=0,解得-2 K m K 1.3 210. 直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔1〕过定点A 〔-3 , 4〕；〔 2〕斜率为 丄.6解 〔1〕设直线I 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分不是-4 -3 , 3k+4,k 由，得〔3k+4〕〔 4 +3〕=± 6, kB.2 x+y-6=0 D. x-2 y-7=09.线段PQ 两端点的坐标分不为〔-1 , 1〕、〔2, 2〕， 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A 〔 0, -1丨点. 整理，得x=-7m m 33，分不求满足以下条件的直线 I 的方程:解得 k i =- 2 或 k 2=- 8 .3 3直线I 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.〔2〕设直线I 在y 轴上的截距为b,那么直线I 的方程是y = [x+b,它在x 轴上的截距是-6b,6 由，得卜6 b • b|=6，二 b=± 1. 直线I 的方程为x-6 y+6=0或x-6y-6=0. 11. 两点 A 〔-1，2〕，B 〔 m, 3〕.〔1〕求直线AB 的方程； 〔2〕实数m€X 3 1J3 1，求直线AB 的倾斜角 的取值范畴3解 〔1〕当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1, 当m^-1时，直线AB 的方程为y-2=二 (x+1). m 1 〔2〕①当 m=-1 时， =_;20〕作一直线，使它夹在两直线 丨1: 2x- y-2=0与12： x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.所求的直线方程为 y=8( x-3), 即 8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3).解方法一设点 A 〔X y 〕在 l 1上,xX B3由题意知2，• ••B 〔 6-x ，yyB2解方程组2x y 2 0(6 x) ( y) 3 01116x— 0得3二 k= 38 16y11 333-y 〕，°，、3，€ ---------6 , 2综合①②知，直线 AB 的倾斜角.3 ~312.过点 P 〔3, ②当m^ -1时，n+1 €3那么y k(x 3),解得3k 2X A'、k 2 4k y Ak 22x y 20由yk(x 3)>X B解得3k 3 k 1x y 3 06ky Bk 1V P(3,0)是线段AB的中点，/. y A+y B=O,即卩4k + 6k =0,k 2 k 1/• k1 2-8k=0,解得k=0 或k=8.又*••当k=0 时，X A=1,X B=-3,现在乂竺J 3,k=0舍去，2 2所求的直线方程为y=8( x-3),即8x-y-24=0.§ 7.2两直线的位置关系----- —自主学习 --------------匕基础自测1•假如直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于〔〕3 2A-3 B.-6 C.- 3 D. 22 3答案 B2.直线2x+y-2=0和m*y+1=0的夹角为—，那么m的值为〔〕4A-1或-3 B -33C-1或3D丄或-333答案C3.过点A〔-2 , m〕和B〔m, 4〕的直线与直线2x+y=1平行，那么m的值为〔〕A.0B.-8C2 D.10答案B4. 直线11: y=2x+3，直线丨2与11关于直线y=x对称，直线丨3丄丨2，那么l 3的斜率为〔〕1 1A 丄 B.-丄C-2 D.22 2答案 C5. 〔2018 •岳阳模拟丨假设直线I通过点〔a-2，-1〕和〔-a-2 ,1〕且与通过点〔-2 , 1〕，斜率为--的直线垂直，那么实312 分例 1 直线 l i ：ax+2y+6=0 和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,I 1〕试判定l 1与l 2是否平行；〔2〕I i 丄丨2时，求a 的值.解 〔1〕方法一 当 a=1 时，I i ： x+2y+6=0, I 2： X=0, I 1不平行于I 2； 当 a=0 时，11： y=-3, I 2： x-y-仁0, I 1不平行于I 2； 当a 工1且a 工0时，两直线可化为 I 1： y =- — x -3, I 2： y = — x -( a+1),21 aa1I 1 / I 22 1 a ，解得 a=-1,3 (a 1) 综上可知，a=-1 时，I 1/ l 2，否那么l 1与I 2不平行方法二 由 A 1B 2-A 2B 1R ，得 a 〔 a-1〕-1 x 2=0, 由 AdAe 工 0,得 a(a 2-1)-1 x 6 工 0,// I 2a(a 2 1) 4 2 0a(a 21) 1 6 0a 2 a 20 2 a =-1,a(a 21)6故当a=-1时，I" I 2，否那么I 1与12不平行.〔2〕方法一 当 a=1 时，I 1： x+2y+6=0,1 2：x=0, I 1与I 2不垂直，故a=1不成立. 11： y=- a x-3,2方法二 由 AA+BB 2=0,得 a+2(a-1)=0 a=2 .3例2求过两直线I 1：x+y+1=0, I 2：5x-y-仁0的交点，且与直线 3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.4解 设所求直线方程为x+y+1+ (5 x- y-1)=0, 即(1+5)x+(1-)y+1-=0.4I 2： y= x -( a+1),1 a数a 的值为 . 答案-23典例剖析丄=-1 1 a2 a=. 3因为所求直线与直线 3x+2y+1=0的夹角为—,451 31 2 因此tan 5 1 11.解得=-菩 •••所求直线方程为x+5y+5=0.又直线l 2：5x-y-仁0与直线3x+2y+1=0的夹角 满足tan 1.=，故直线l 2也是符合条件的一解 4综上所述，所求直线方程为 x+5y+5=0 或 5x- y-1=0.例3 〔 12分〕直线l 过点P 〔 3，1〕且被两平行线l 1：x+y+1=0,l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解方法一假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x=3,现在与l !,l 2的交点分不是 A 〔3，-4 丨，B 〔 3, -9 丨， 截得的线段长|AB=|-4+9|=5,符合题意.假设直线l 的斜率存在时，那么设直线I 的方程为y=k(x-3)+1, 分不与直线l 1,l 2的方程联立，由 y k(x 3) 1 x y 1 0 解得 A 3k 2 1 4k .k 1 ' k 1 由y k(x 3) 1,解得x y 6 0 由两点间的距离公式，得 3k 2 3k 7 2+ £ k 1 k 1k 3k 7 1 9k k 1 k 14k 」2=25,k 1方法二 设直线l 与11, 12分不相交于Agy", B(X 2, y 2). 那么 X 1+/1+1=0, X 2+y 2+6=0,两式相减，得(X 1-X 2)+( y 1-y 2)=5① 又(X 1-X 2) 2+( y 1-y 2)2=25 ②联立①②可得X1 X 2 5或X1 X 2 0 Jy 1 y 2 0 y 1 y 5由上可知，直线l 的倾斜角分不为 0° 和 90°，故所求的直线方程为 x=3或y=1.解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.4分8分10 分 12 分6 分10 分例4求直线I i： y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线12的方程.解方法一由y 2x 3y x 1知直线l i与I的交点坐标为〔-2 , -1丨，设直线丨2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线I上任取一点〔1，2〕，由题设知点〔1，2〕到直线丨1、丨2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k 2 2k 1 = |2 2 3|,12 k2,22 ( 1)2解得k=l(k=2舍去)，2直线丨2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P〔x,y〕，那么在直线I1上必存在一点R〔x o, y o〕与点P关于直线I对称.由题设：直线PP与直线I垂直，且线段PP的中点卩2存，宁在直线I上.也y?1 1 “...xo X ，变形得Xo yy y o x x o 1y o x 12 2代入直线I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2y=o.因此所求直线方程为x-2y=o.知能迁移1. 两条直线11：(3+ m)x+4y=5-3 m I 2：2 x+(5+n) y=8.当m分不为何值时，I 1 与12：〔1〕相交？〔2〕平行？〔3〕垂直？解当m=5时，明显，11与I 2相交；当m^-5时，易得两直线I1和I2的斜率分不为k2=-k’=-它们在y轴上的截距分不为b1=^^m，b2=_J4 5 m〔1〕m^ -7 且m工-1.•••当m^ -7且m^ -1时，11与I 2相交.12 分(x >200).288xx3 m2〔2〕由 k1 k 2 , ,得45 m， m=-7 bi b 2,5 3m 84 5 m•••当 m=-7时，l 1 与 I 2平行.〔3〕由 k i k 2=-1,得3 m 得-•2 =-1 ， m=-13 45 m3• 当 m=-兰时，1 1与 1 2垂直•32. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如下图，塔高 BC=80〔米〕，塔所在的山高 OB=220〔米〕，OA=200〔米〕， 图中所示的山坡可视为直线 I ,且点P 在直线I 上，I 与水平地面的夹角为，tan =1 .试咨询，此人距水平地面多高时，2 观看塔的视角/ BPC 最大〔不计此人的身高〕？解 如下图，建立平面直角坐标系,那么 A 〔 200，0〕，B 〔0，220〕，C 〔 0，300〕. 直线I 的方程为y=(x-200)tan,那么y= x 200 .2设点P 的坐标为〔x, y 〕，那么P 〔x, x 200〕(x >200).2由通过两点的直线的斜率公式 x 200 k pc = —2—— xtan / BPC= kPBkPC1602xx 800 x 6402x 2x64xx 288x 160 64064 160 640300 x 800 2x k pB =□ 220 x 6401要使tan / BPC 达到最大，只需x+160 640-288达到最小，由均值不等式x x +160 640 -288 > 2 160 640 -288, x当且仅当x=16° 640时上式取得等号. x 故当x=320时，tan /BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y= _200 =60. 2 由此实际咨询题知 0 v/ BPG _ ,因此tan / BPC 最大时，/ BPC 最大.故当此人距水平地面 60米高时，观看铁塔的视角 2/ BPC 最大. 3.三条直线11: 2x-y+a=0〔 a > 0〕,直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3： x+y -仁0,且l i 与12的距离是 7. 5. 10(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P,使得P 点同时满足以下三个条件①P 是第一象限的点；②P 点到I 1的距离是P 点到12的距离的Z ；③P 点到|12的距离与P 点到 13的距离之比是 ,2 : ..5.假设能，求P 点坐标；假设不能，讲明理由. 1解(1)1 2 即为 2x- y- =0,2「•I 1与丨2的距离a( 2)d= .22 ( 1)2 107、5 10a > 0, • • a=3. ⑵假设存在如此的P 点.设点P(X 0,y 。
高三数学高考一轮复习系列教案第七章 直线和圆的方程
城东蜊市阳光实验学校第七章直线和圆的方程1．23．4．5．7．1直线的方程1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或者者重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．假设x1＝x2，那么直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式【例1】直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【例2】假设直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)，(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】△ABC 的顶点分别为A(－3，0)，B(9，5)，C(3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】定点P(6,4)与直线l1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又互相联络，解题时详细选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能一样等〔变形后除处〕．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，假设有不存在的情况时，就会出现解题破绽，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.一、选择题1．在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的〔〕A BCD2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，那么a、b满足〔〕A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝03．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，那么系数A、B、C需满足的条件〔〕A．A、B、C同号B．AC<0，BC<0C．C＝0，AB<0 D．A＝0，BC<04．设2π<α<π，那么直线y＝xcosα＋m的倾斜角的取值范围是〔〕A．(2π，π)B．(2π，43π)C．(4π，43π) D．(43π，π)5．A(－2，3)，B(3，0)，直线l过O(0，0)且与线段AB相交，那么直线l的斜率的取值范围是〔〕A．－23≤k＜0 B．k≤－23或者者k≥0C．k≤0或者者k≥23D．0≤k≤236．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，假设直线PA的方程为x－y＋1＝0，那么直线PB的方程为〔〕A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0二、填空题7．直线y＝mx＋2m＋1恒过一定点，那么此点的坐标为．8．假设三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)，一一共x线那么ba 11+的值等于． 9．C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且AC ＝2BC ，那么过C 垂直于AB 的直线方程为．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，那么xy的最大值、最小值分别是．三、解答题11．两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，点B(－1，0)，C(1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．14．直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a)y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)假设直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．15．过原点O 的一条直线与函数y ＝log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log2x 的图象交于C 、D 两点． (1)证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2直线与直线的位置关系〔一〕平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表断定2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形断定其位置关系．〔二〕点到直线的间隔、直线与直线的间隔 1．P(x0，y0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的间隔为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax ＋By ＋C1＝0 l2：Ax ＋By ＋C2＝0，那么l1与l2的间隔为．〔三〕两条直线的交角公式假设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，那么 1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足． 〔四〕两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．〔五〕五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(不含l2).②与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m≠b).③过定点(x0,y0)的直线系方程为y －y0＝k(x －x0)及x ＝x0.④与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C).⑤与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C1＝0(AB≠0).【例1】两直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使：(1)l1与l2相交于点p(m ，－1)； (2)l1‖l2；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1．【例2】直线l 经过两条直线l1：x ＋2y ＝0与l2：3x －4y －10＝0的交点，且与直线l3：5x －2y ＋3＝0的夹角为4π，求直线l 的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，假设A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x －4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，根据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，假设是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．一、选择题1．点M(a、b)，假设点N与M关于x轴对称，点P与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，那么点Q的坐标为〔〕A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，那么m的值是〔〕A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，那么直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是〔〕A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．假设0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的间隔是41时，这条直线的斜率为〔〕A．1 B．－1C ．23 D ．－33 5．直线l1的方向向量为a ＝〔1，3〕，直线l2的方向向量为b ＝〔－1，k 〕，假设直线l2经过点〔0，5〕，且l1⊥l2，那么直线l2的方程为〔〕A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06．两直线l1：y ＝x ，l2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为〔〕A ．(0，1)B ．(33，3) C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3)二、填空题7．点P 〔4cosθ，3sinθ〕到直线x ＋y －6＝0的间隔的最小值等于．8．曲线c:y ＝x2，那么它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是．9．点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，假设∠OPA 为锐角，那么P 的横坐标的取值范围是．10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线间隔取最大值时两直线的方程分别为和．三、解答题11．P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l1：3x －y －4＝0，假设继续绕P 点逆时针方向转2π－α，那么得直线l2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A(3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B(－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．过点A 〔1，1〕且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1)求线段AB 中点轨迹的方程．(2)假设S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程．15．〔05年〕，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A使A 点落在线段DC 为k7．3线性规划1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界限，不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界限．⑵对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax ＋By ＋C 的值符号一样．因此，假设直线Ax ＋By ＋C ＝0一侧的点使Ax ＋By ＋C>0，另一侧的点就使Ax ＋By ＋C<0，所以断定不等式Ax ＋By ＋C>0(或者者Ax ＋By ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，假设该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；假设不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分．2．线性规划 ⑴根本概念⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①设出所求的未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目的函数；④作出可行域和目的函数的等值线；⑤运用图解法即平行挪动目的函数等值线，求出最优解．〔有些实际问题应注意其整解性〕【例1】假设△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域〔含边界〕表示的二元一次不等式组．【例2】x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求： ⑴z ＝2x ＋y ⑵z ＝4x －3y⑶z ＝x2－y2的最大值、最小值？【例3】某木器厂消费圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设消费每种产品都需要用两种木料，消费一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，消费一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各消费多少才能使所获利润最多？【例4】预算用2000元购置单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的倍，问桌椅各买多少才适宜？1．二元一次不等式或者者不等式组表示的平面区域：①直线确定边界；②特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合〞的数学思想的表达，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深化其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能准确，图上操作尽可能标准。
2023版高考数学一轮总复习第九章直线和圆的方程第一讲直线方程与两直线的位置关系课件文
第九章 直线和圆的方程1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l_________之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.规定:当直线l与x轴______________时,规定它的倾斜角为0°.向上方向平行或重合k=tan α12=2−12−1区别直线l垂直于x轴时,直线l的斜率不存在;斜率k的取值范围为R.联系续 表[0,π)大大2.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y =kx +bk 是斜率;b 是纵截距.与x轴不垂直的直线.点斜式____________点(x 0,y 0)是直线上的已知点;k 是斜率.两点式点(x 1,y 1),(x 2,y 2)是直线上的两个已知点.与两坐标轴均不垂直的直线.y -y 0=k (x -x 0）名称方程说明适用条件截距式 a是直线的横截距;b是直线的纵截距.不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线.+=1注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线方程为y=kx+b;当直线与y轴不垂直时,可设直线方程为x=my+n.1. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程y =k 1x +b 1,y =k 2x +b 2.相交k 1≠k 2._________________.垂直_________._________________.平行k 1=k 2且_______.重合k 1=k 2且_______.A 1B 2-A 2B 1=B 1C 2-B 2C 1=A 1C 2-A 2C 1=0.A 1B 2-A 2B 1≠0k 1k 2=-1A 1A 2+B 1B 2=0b 1≠b 2b 1=b 2注意 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率都不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2. 两条直线的交点对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组1+1+1=0,2+2+2=0求解.3. 三种距离公式距离类型公式两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离|P 1P 2|=______________________点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d = 两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d = (2−1)2+(2−1)2|B 0+B 0+U2+2|1−2|2+2注意 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式;(2)求两平行线间的距离时,应先将方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等.理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( )(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. ( )(3)经过定点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示. ( )(4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( )(5)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为 . ( )(6)若点A ,B 关于直线l :y =kx +b (k ≠0)对称,则直线AB 的斜率等于 ,且线段AB 的中点在直线l 上. ( )✕✕✕✕✕√|kx 0+b |1+k 2-1(7)当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2. ( )(8)若两条直线垂直,则他们的斜率之积一定等于-1. ( )2.直线2x cos α-y -3=0(α∈[π6,π3] )的倾斜角的取值范围是 ( )A.[π6,π3] B.[π4,π3] C.[π4,π2] D.[π4,2π3]3.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 . ✕✕B (-∞,-3]∪[1,+∞)1.典例 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积最小时直线l的方程为 .4x-3y=0或x+y-7=0 2x+3y-12=0解析 (1) 设直线在x轴,y轴上的截距均为a.①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).(讨论截距是否为0)则直线的方程为y=43x,即4x-3y=0.②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,又点(3,4)在直线上,所以3+4=1,所以a=7.所以直线的方程为x+y-7=0.综上可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.（2)解法一(截距式) 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为+=1.因为l过点P(3,2),所以3+2=1.因为1=3+2≥26B,整理得ab≥24,所以S△ABO=12ab≥12.当且仅当3= 2,即a=6,b=4时取等号.此时直线l的方程是6+4=1,即2x+3y-12=0.解法二(点斜式) 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3),则A(3-2,0),B(0,2-3k),S△ABO=12(2-3k)(3-2)=12[12+(-9k)+4−]≥12[12+2(−9)·4− ]= 12×(12+12)=12,当且仅当-9k=4−,即k=-23时,等号成立.所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.方法技巧1.求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程.待定系数法①设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);②由条件建立所求参数的方程(组);③解这个方程(组)求出参数;④把参数的值代入所设直线方程.2.过两直线交点的直线方程的求法(1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程,但需注意分类讨论.3.与直线方程有关的最值问题的解题策略先设出直线方程,建立目标函数,再结合函数的单调性或基本不等式求最值.思维拓展常见的直线系方程过定点P(x0,y0)的直线系方程A(x-x)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y=k(x-x0)或x=x0.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C).垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l 2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)或A2x+B2y+C2=0.2.变式 (1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= 12 .(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为 .21x-28y-13=0或x=1解析 (1) 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.(2) 因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,(此直线系不包括直线7x-21y-1=0,解题时,要注意检验该方程是否满足题意)即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,考向1直线方程由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得|(2+7)×(−3)+(7−21)×1−4−|(2+7)2+(7−21)2=|(2+7)×5+(7−21)×7−4−|(2+7)2+(7−21)2,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.3.典例 (1)[2022南昌市模拟]直线l 1:ax +(a +1)y -1=0,l 2:(a +1)x -2y +3=0,则“a =2”是“l 1⊥l 2”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1:3x -y -1=0,l 2:x +2y -5=0,l 3:x -ay -3=0不能围成三角形,则实数a 的取值不可能为 ( ) A.1B.13C.-2D.-1A A解析 (1) 若l1⊥l2,则a(a+1)+(a+1)×(-2)=0,解得a=-1或a=2,所以“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.(2) 由题意可得,若三条直线不能围成三角形,则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行,当l1∥l3时,可得a=13,当l2∥l3时,可得a=-2;若三条直线经过同一点,由3−=1,+2=5可得直线l1与l2的交点为(1,2),则(1,2)在l3上,故可得1-2a-3=0,解得a=-1.综上,实数a的值可能为1,-2,-1.故选A.4.变式 已知直线l 的方程为3x +4y -12=0,(1)若过点(-1,3),且与l平行的直线l 1的方程为 ;(2)若直线l 2与l 垂直,且l 2与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l 2的方程为 .3x +4y-9=0 4x-3y +46=0或4x-3y -46=0 解析 (1)解法一 直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l1与l平行,所以直线l1的斜率为-34.又l1过点(-1,3),所以由点斜式得直线l1的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.解法二 由l1与l平行,可设l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2) 由l2与l垂直,可设直线l2的方程为4x-3y+p=0,则l2在x轴上的截距为-4,在y轴上的截距为3.由题意可知,l2与两坐标轴围成的三角形的面积S= 12·|3|·|-4|=4,求得p=±46.所以直线l2的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.5.典例 (1)[2022武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x -4y +c 1=0和3x -4y +c 2=0,则|c 1-c 2|= ( )A.23B.25C.2D.4(2)[2021全国卷乙][文]双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为 .B 5解析 (1)直线x +2y +1=0与x +2y +3=0间的距离d 1=|3−1|12+22=255,(使用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中的x ,y 前的系数必须分别对应相等)直线3x-4y +c 1=0与3x-4y +c 2=0间的距离d 2=|1−2|32+(−4)2=|1−2|5.由菱形的性质,知d 1=d 2,所以|1−2|5=255,所以|c 1-c 2|=25,故选B .(2) 由双曲线的性质知c =3,双曲线右焦点的坐标为(3,0),所以双曲线的右焦点到直线x +2y-8=0的距离d =|3−8|12+22=5.方法技巧求解距离问题的策略(1)点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解;(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间的距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算; (3)两平行线间的距离:①利用两平行线间的距离公式求解;②利用“转化法”将两条直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.考向3距离问题B6.变式 [2020全国卷Ⅲ] [文]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )A.1B. 2C.3D.2解析 解法一 由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|r1|2+1=2+2r12+1=1+22+1.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=1+22+1= 1+2r1,要使d最大,需k>0且k+1最小,∴当k=1时,d max=2.解法二 记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|= 2.考向4对称问题7.典例 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析 (1)设A＇(x,y),则r2r1·23=−1,2×−12−3×−22+1=0,解得=−3313,=413,即A＇(-3313,413).(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m＇上.设M关于直线l的对称点为M＇(a,b),则2×r22−3×r02+1=0,−0−2×23=−1,解得=613,=3013,即M＇(613,3013).设m与l的交点为N,则由2−3+1=0,3−2−6=0得N(4,3).又m＇经过点N(4,3),所以由两点式得直线m＇的方程为9x-46y+102=0.(3)解法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A 的对称点P＇,N＇均在直线l＇上.易知P＇(-3,-5),N＇(-6,-7),由两点式可得l＇的方程为2x-3y-9=0.解法二 设Q(x,y)为l＇上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q＇(-2-x,-4-y),因为点Q＇在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0点关于点对称直线关于点对称直线关于点对称的问题可转化为点关于点对称的问题.点关于直线对称直线关于直线对称直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题.方法技巧对称问题的解题策略8.变式 (1)一条光线从点P (-2,1)射出,与直线l :x -y +1=0交于点Q (1,2),经直线l 反射,则反射光线所在直线的斜率是 ( )A.1B.3C.2D.3(2)过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为 . D x +4y-4=0点P关于直线l:x-y+1=0的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜率为2−(−1)1−0=3.(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.。
新课标高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案
高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。
最新高三数学一轮复习教案第八章直线和圆的方程汇总汇总
2011届高三数学一轮复习教案第八章直线和圆的方程汇总第八章直线和圆的方程【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课 直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】1. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角范围是50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320-+=-=或x y x y3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2）5.已知直线l 过点P （-5,-4）,且与两坐标轴围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l 的方程2861255=--=--或y x y x【范例导析】例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m 1⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，11k m =+， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1211y x m -=++. （3）①当m =－1时，2πα=；②当m ≠－1时，∵(1,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭∴2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故综合①、②得，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.例2.直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点.(1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l 的方程.分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l 的方程. 解 （1）设直线l 的方程为y -1=k (x -2),则点A(2-1k ,0),B(0,1-2k ),且2-1k>0, 1-2k >0,即k <0.△AOB 的面积S=12(1-2k )(2-1k )=12[(-4k )+1k -+4]≥4,当-4k =1k -,即k =12-时, △AOB 的面积有最小值4,则所求直线方程是x +2y -4=0. (2)解法一:由题设,可令直线方程l 为y -1=k (x -2). 分别令y =0和x =0,得A(2-1k,0),B(0,1-2k ), ∴|PA|·|PB|=4=,当且仅当k 2=1,即k =±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k <0, ∴k =-1,这是直线l 的方程是x +y -3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,2π),且|PA|·|PB|=||||44sin cos sin 2PE PF θθθ⋅=≥当且仅当θ=4π时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l 的斜率为-1, 直线l 的方程是x +y -3=0.点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值. 例3.直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程.例2分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一 设直线l 交l 1于A （a ，b ），则点（－2－a ，4－b ）必在l 2，所以有4303(2)5(4)50a b a b ++=⎧⎨-----=⎩，解得25a b =-⎧⎨=⎩直线l 过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x ＋y ＋1＝0.解法二 由已知可设直线l 与l 1的交点为A （－1＋m ，2＋n ），则直线l 与l 2的交点为B （－1－m ，2－n ），且l 的斜率k ＝nm，∵A,B 两点分别l 1和l 2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50m n m n -++++=⎧⎨-----=⎩，消去常数项得－3m ＝n ，所以k ＝－3， 从而直线l 的方程为3x ＋y ＋1＝0.解法三 设l 1、l 2与l 的交点分别为A,B ，则l 1关于点P （－1，2）对称的直线m 过点B ，利用对称关系可求得m 的方程为4x ＋y ＋1＝0，因为直线l 过点B ，故直线l 的方程可设为3x －5y －5＋λ（4x ＋y ＋1）＝0.由于直线l 点P （－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l 的方程为3x －5y －5－18（4x ＋y ＋1）＝0，即3x ＋y ＋1＝0.点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l 的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
高考数学一轮总复习直线与圆的多元综合运用
高考数学一轮总复习直线与圆的多元综合运用在高考数学考试中，直线与圆的多元综合运用是一个重要的考点。
该考点主要考察学生对直线和圆的性质、关系以及相关求解方法的理解和运用能力。
下面将从几个典型的应用问题入手，探讨直线与圆的多元综合运用。
问题一：已知圆C的圆心为O，点A在圆上，点B在直线l上，且AB是圆C的直径，求证：直线AB垂直于直线l。
解析：由题意可知，直线AB是圆C的直径，因此直线AB的垂直平分线就是圆C的半径，也即线段AC、BC的中垂线。
而中垂线与线段所在直线垂直，所以直线AB垂直于直线l。
问题二：已知直线l与圆C的切点为A，直线l过点B(圆C外一点)，求证：直线AB的长度等于直线BC的长度。
解析：由题意可知，直线l是圆C的切线，而切线与半径垂直，所以∠OAB = 90°。
又因为直线l过点B，所以直线AB是直线l与圆C交点B到圆心O的线段。
利用勾股定理可得：AB² = AO² + OB²。
同理，直线BC也是直线l与圆C交点C到圆心O的线段，所以BC² = CO² + OB²。
由于AO = CO（半径），所以AO² = CO²。
将以上两个等式结合起来，可得到AB²= BC²。
因此，直线AB的长度等于直线BC的长度。
问题三：已知圆C的弦AB与直线l相交于点D，圆C内一点P到直线l的距离为d，求证：直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。
解析：设直线l与圆C交于点E和F。
由题意可知，直线l与弦AB 相交于点D，采用反证法来证明直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。
假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1，且d1 ≠ d。
因为直线l与圆C相交于点E和F，所以圆C的直径EF垂直于直线l，也即EF是直线l的宽度。
而弦AB也是直线l的一部分，所以直线l的宽度不可能大于EF的宽度。
假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1 ≠ d，那么直线l的宽度必然大于EF的宽度，与直线l 的定义相矛盾。
高考数学一轮总复习 8.5 直线与圆的综合应用教案 理 新人教A版
8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一 直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R).(1)求证：不论m 为何值，直线l 恒过定点；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；(3)求直线l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】(1)证明：直线方程可写作x ＋y －4＋m(2x ＋y －7)＝0，由方程组⎩⎨⎧=-+=++,072,04y x y x 可得⎩⎨⎧==,1,3y x所以不论m 取何值，直线l 恒过定点(3,1).(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，故点(3,1)在圆内，即不论m 取何值，直线l 总与圆C 相交.(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短. |AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，此时 k ＝－1kCM ，即－2m ＋1m ＋1＝－1－12＝2， 解得m ＝－34，代入原直线方程，得l 的方程为2x －y －5＝0. 【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f(x)＝－1beax 的图象在x ＝0处的切线l 与圆C ：x2＋y2＝1相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定【解析】选B.f(x)＝－1b eax ⇒f′(x)＝－a b eax ⇒f′(0)＝－a b. 又f(0)＝－1b ，所以切线l 的方程为y ＋1b ＝－a b(x －0)，即ax ＋by ＋1＝0， 由l 与圆C ：x2＋y2＝1相离得1a2＋b2＞1⇒a2＋b2＜1，即点P(a ，b)在圆内，故选B.题型二 和圆有关的对称问题【例2】设O 为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足·OQ ＝0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.【解析】(1)曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.因为点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，所以圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.(2)因为直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b.将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x ＋b2－6b ＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b ＋1)＞0，解得2－32＜b ＜2＋3 2. x1＋x2＝b －4，x1x2＝b2－6b ＋12， y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b ＋12， 因为·OQ ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0， 即b2－6b ＋12＋b2＋2b ＋12＝0，得b ＝1. 故所求的直线方程为y ＝－x ＋1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 满足①关于直线kx －y ＋4＝0对称；②OP ⊥OQ ，则直线PQ 的方程为 .【解析】由①知直线kx －y ＋4＝0过圆心(－12，3)，所以k ＝2，故kPQ ＝－12. 设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋t ，与圆的方程联立消去y ， 得54x2＋(4－t)x ＋t2－6t ＋3＝0.(*) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP ⊥OQ ，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0. 由(*)知，x1＋x2＝4(t －4)5，x1x2＝4(t2－6t ＋3)5，代入上式，解得t ＝32或t ＝54. 此时方程(*)的判别式Δ＞0. 从而直线的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54， 即x ＋2y －3＝0或2x ＋4y －5＝0为所求直线方程.题型三 与圆有关的最值问题【例3】求与直线x ＋y －2＝0和曲线x2＋y2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2＋y2－12x －12y ＋54＝0可化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆.作出直线x ＋y －2＝0与圆(x －6)2＋(y －6)2＝18，由图形可知，当所求圆的圆心在直线y ＝x 上时，半径最小.设其半径为r ，点(6,6)到直线x ＋y ＝2的距离为52，所以2r ＋32＝52，即r ＝2，点(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离为2，所求圆的圆心为(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A.17B.3 2C.19D.2 5【解析】选 A.设M为直线y＝x＋1上任意一点，过点M的切线长为l，则l＝|MC|2－r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y＝x＋1垂直，即|MC|2m in＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值为17.总结提高1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.。
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高三数学一轮复习 直线与圆的方程系列之
直线的综合应用-7
教学目标
1、掌握直线方程的四种形式，直线的方向向量和法向量；
2、掌握直线的倾斜角和斜率
3、掌握两直线的位置关系及其判断方法，两直线夹角公式
4、掌握点到直线的距离公式，两平行直线的距离公式，
知识梳理
直线方程的几种形式
⎧⎧⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎨--⎪⎩⎨⎧⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪--⎪⎩
⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎩⎩
点方向式方程直线的方程点法向式方程一般式方程直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）直线的倾斜角和斜率直线的斜率直线的点斜式方程
坐标平面上的直线平行两直线的位置关系重合
相交两直线的夹角点到直线的距离公式点到直线的距离两平行线间的距离
典例精讲
例1.（★★★★）求过12320l x y -+=：
与23420l x y --=：的交点且与直线440x y +-=平行的直线
方程。
【答案】：设过1l 与2l 交点的直线方程为
()()(*)2323420
x y x y -++--=λ
即(23)(34)220x y λλλ++--+-= 因为所求直线与440x y +-=平行
所以
233441λλ+--=
，解得14
19λ=- 将14
19
λ=-代入(*)，得
所求直线方程为4660x y +-=
【批注】：一般情况下，过直线1110a x b y c ++=和2220a x b y c ++=的所有直线可以用以下形式表示：
111222()(0)0a x b y c a x b y c λ+++++==（不包括2220a x b y c ++=）
例2.（★★★★）当a 为何值时，三条直线()23a x y -+=，()31210a x y -+=，()4531a x y --=相交于一点；
【答案】：解法一：()23a x y -+=与()31210a x y -+=的交点是411(
,)11
a
a a -++ 代入()4531a x y --=，解得3a =
解法二：考虑三条直线的系数行列式2
13
33
2
100453
1
a D a a --=--=---，解得3a = 【批注】：一般情况下，三条直线1110a x
b y
c ++=、2220a x b y c ++=及3330a x b y c ++=
考虑1
112
223
3
3
a b c D a b c a b c =
（1）若0D ≠，则三条直线有三个不同的交点
（2）若0D =，则三条直线要么交于一点，要么其中至少两条互相平行或重合
例3.（★★★★）已知直线1:350l x y +-=，2:360l kx y --=，当k = 时，12,l l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆.
【答案】：如图，四边形AOBM 是圆内接四边形，
则其内对角和为180︒
又90AOB ∠=︒，所以90AMB ∠=︒ 两直线互相垂直，求得1k =
【批注】：圆内接四边形对角和180︒
例4.（★★★★）已知过点()1,1A 且斜率为()0m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线
20x y +=的垂线，垂足为,R S ，求四边形PRSQ
【答案】：解法一：设l 的方程为()11y m x -=--，
x
则11,0P m ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，()0,1Q m +， 从而可得直线PR 和QS 的方程为1
20m x y m
+--
=和()2210x y m -++=， 又因为PR QS //
，所以132m RS ++
=
，又2
2PR QS +
==， 四边形PRSQ
为梯形，2123212prsq
m S ⎡⎤+++⎢⎥=+⎣⎦
2
2
1191191
2 3.654805480
m m ⎛⎫⎛⎫=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以四边形PRSQ 的面积最小值为3.6 解法二：设直线PQ 的方程
1x y
a b
+=， 因为直线PQ 过点()1,1A ，所以11
1a b
+=
且OP a =，OQ b = 由于直线RS 的斜率是2-
所以OR PR ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，和OS QS ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以22111
()(225)2210
PRSQ S PR QS RS a b ab =
+⋅=⋅=++ 11
1a b
+=Q
，a b ab ∴+=
，且1114ab a b =+≥⇒≥Q 2221118
(225)[2()]10105
PRSQ S a b ab ab ab ∴=
++=+≥ 课堂检测
1.（★★★★）求过110l x y -+=：与230l x y +-=：的交点且与直线340x y --=垂直的直线方程。
【答案】：设过1l 与2l 交点的直线方程为
(1)(3)0(*)x y x y λ-+++-=
即(1)(1)310x y λλλ++--+= 因为所求直线与340x y --=垂直 所以(1)3(1)0λλ+--=，解得2λ= 将2λ=代入(*)，得
所求直线方程为350x y +-=
2.（★★★★）直线1:10l ax y ++=、2:10l x ay -+=和3:210l x y ++=交于一点，求a 的值
【答案】：考虑11
1
10121
a
D a =-=，解得1a =或者2a =-
当2a =-时，2l 与3l 重合，舍去；当1a =时符合题意 所以1a =
3.（★★★★）已知直线1:2240l ax y a --+=，22
2:2240l x a y a +--=，其中02a <<，
当1l 、2l 与两坐标轴围成一个四边形，且该四边形的面积最小时，求1l 和2l 的方程； 【答案】：1:460l x y -+=，2:8180l x y +-=。