导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数的概念及其几何意义(高三理)
导数的概念及其几何意义【考点精讲】（一）导数的概念：1.导函数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即xx f x x f x y x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000。
（二）导数的几何意义：1. 导数的几何意义:设函数()y f x =如图，AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线，由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即：000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率，曲线()y f x =过点00(,())x f x 切线的斜率等于0()f x '。
2.切线的方程：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，求曲线在一点处的切线的一般步骤： ①求出P 点的坐标； ②求点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程（三）常见函数的导数：（高等数学中有证明过程）(1) (2) (3)(4) (5) (6)()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （7） （8）1()2x x '=(9)a x x a ln 1)(log ='（四）导函数的四则运算法则：()'''u v u v +=+，()'''uv u v uv =+ ，2''()'u u v uv v v -= （五）复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则在点处有导数.).)((0'0x x x f y y -=-)(0为常数C C =')(1Q n nx x n n ∈='-）（x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='xx 1)(ln ='xx e e =')()(x u ψ=x )(x u x ψ'=')(u f y =x u )(u f y u '='f y =)]([x ψx x u x u y y '⋅'='（六）如何求函数的导数：（1）由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法:①求函数的变量)()(f x f x x f -∆+=∆; ②求平均变化率xx f x x f x∆-∆+=∆∆)()(f ;③求导数＝xx ∆∆→∆f lim 0。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数及其应用导数的几何意义
2023-10-30
目 录
• 导数的定义 • 导数的应用 • 导数的几何意义 • 导数与物理应用 • 导数的历史与发展
01
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的变化趋势。导数是微积分中的基本概念，用于描述函数在某一点处的局 部变化情况。
05
导数的历史与发展
导数的起源
01
02
03
起源追溯到17世纪，主要涉及微积分 学的发展。
当时，数学家们开始研究变化率的概 念，导数正是变化率的数学表示。
牛顿和莱布尼茨等著名数学家在这一 领域做出了重要贡献。
导数的发展历程
01
02
03
在18世纪和19世纪，导数得到了进 一步的发展和应用。
数学家们通过导数研究了许多实际应 用问题，如速度、加速度、斜率等。
04
导数与物理应用
加速度与导数
• 总结词：导数可以表示物体的加速度。 • 详细描述：在物理学中，加速度是速度的变化率，表示物体在单位时
间内速度的变化量。导数可以用来计算加速度，因为加速度是速度关 于时间的函数，而导数是函数关于变量的变化率。当速度对时间的变 化率越高时，物体的加速度也越大。 • 相关公式：a = ∆v/∆t，其中a是加速度，∆v是速度的变化量，∆t是 时间的变化量。 • 实例：在车辆行驶过程中，如果车辆突然加速，那么加速度就会增加 ，即速度对时间的变化率增加。如果车辆减速，则加速度就会减小。
导数定义的核心是极限概念，它通过计算函数在某一点处的局部极限值来描述函数在该点的变化率。导数的计算需要用到求导 公式和法则。
导数的性质
导数具有线性性质，即对于两个可导函数f和g，它们的和 、差、积和商的导数等于它们各自导数的和、差、积和商 。
导数的基本概念和意义
导数的基本概念和意义尽管导数在我们的日常生活中并不常见，但它在数学和物理学等学科中却扮演着重要的角色。
导数是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
本文将探讨导数的基本概念和意义，并讨论它在实际应用中的重要性。
一、导数的定义导数可以被定义为函数在某一点上的变化率。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果在某一点x上，函数的值发生微小的变化Δx，那么相应的函数值的变化量为Δf。
导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(Δx→0) [Δf/Δx]这个公式可以被解释为：当Δx趋近于0时，函数f(x)在x点上的变化率接近于Δf/Δx。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以被理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
切线是曲线在该点附近的近似直线，而导数正是切线的斜率。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率情况，从而揭示函数曲线的变化趋势。
三、导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，它的导数x'(t)可以表示物体在该时刻的速度。
速度是位置随时间变化的导数，它描述了物体在单位时间内移动的距离。
同样地，加速度可以被定义为速度随时间的导数。
导数的物理意义不仅限于运动学，它还可以应用于其他物理量的研究。
例如，对于一个物体的质量函数m(t)，它的导数m'(t)可以表示物体在该时刻的质量变化率。
导数可以帮助我们理解物体在不同时刻的质量变化情况，从而揭示物体的增长或减少趋势。
四、导数的计算方法计算导数是微积分中的重要内容。
对于简单的函数，我们可以通过求导法则来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = anx^(n-1)对于更复杂的函数，我们可以使用链式法则、乘积法则和商法则等来计算导数。
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
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r O
A． 2 πr 2
8 B． πr 2 3
C． 4 πr 2
D． 6 πr 2
【例20】 lim
x 1
1 2 2 ______． 2 x 3x 2 x 4 x 3
【例21】
若 lim
1 n( n a n)
n
1 ，则常数 a _______．
Go the distance 【例22】 lim
xπ
( x π)cos x x π
_____．
【例23】 lim
n
1 2 3 n2
n
_________
【例24】 lim x 0
1 2 ________． x x( x 2)
【例25】 lim
若 f (a) 2 ，则当 h 无限趋近于 0 时，
f (a h) f (a) ______． 2h
【例11】
已知函数 f ( x) x 2 8 x ，则 lim
x 0
f (1 2x) f (1) 的值为 x
．
【例12】
f (2 x) f (2) 1 已知 f ( x) ，则 lim 的值是（ x 0 x x 1 1 A． B． 2 C． 4 4
求函数 f ( x) x 2 x 在 x 1 附近的平均变化率，在 x 1 处的瞬时变化率与导数． 求函数 f ( x) x 3 2 x 在 x 1 附近的平均变化率，在 x 1 处的瞬时变化率与导数．
1 已知某物体的运动方程是 s 9t t 3 ，则当 t 3 s 时的瞬时速度是_______． 9
f x0 x f x0 3x x C． 3 f x0
【例5】
若 lim
x 1
【例6】
设 f ( x) 在 x0 可导，则 lim A． 2 f x0
x 0
等于（
）
B． f x0
D． 4 f x0 ） D． 2
【例7】
【例2】
）
B．
n 1 π， π n
C． 0 ， 2
π
D．
n 1 n2 π， π n n
【例3】
π ） 2 A． sin(sin ) cos cos(cos )
对于任意 0 ， 都有（
C． sin(cos ) cos cos(sin )
f ( x0 2x) f ( x0 ) 1 ，则 f ( x0 ) 等于（ x 0 3x 2 3 A． B． C． 3 3 2
若 lim
【例8】
b 为非零常数，则 lim 设 f ( x) 在 x 处可导， a ，
A． f ( x)
【例9】
B． (a b) f ( x)
【例4】
B． sin(sin ) cos cos(cos ) D． sin(sin ) cos cos(sin )
若 lim
x 0
f ( x) f (2 x) 1 ，则 lim ________． x 0 x x f (2 2 x) f ( x 1) 1 ，则 lim _______． x 1 x 1 x 1
．
【例40】
） D．8
【例41】
1 一质点做直线运动，由始点起经过 t s 后的距离为 s t 4 4t 3 16t 2 ， 4 则速度为零的时刻是（ ） A．4s 末 B．8s 末 C．0s 与 8s 末 D．0s，4s，8s 末
典例分析
题型一：极限与导数
【例1】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（ ） 180) 60) 90) 180) A． (0 ， B． (0 ， C． (60 ， D． (60 ， 在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ A．
n2 π， π n
Go the distance
板块一.导数的概念 与几何意义
知识内容
1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数 y f ( x) ， x0 ， x1 是其定义域内不同的两点，记 x x1 x0 ， y y1 y0 f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) ， f ( x0 x) f ( x0 ) y 则当 x 0 时，商 称作函数 y f ( x) 在区间 [ x0 , x0 x]（或 [ x0 x , x0 ] ）的 x x 平均变化率． 注：这里 x ， y 可为正值，也可为负值．但 x 0 ， y 可以为 0 ． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数 y f ( x) 在 x0 附近有定义，当自变量在 x x0 附近改变量为 x 时，函数值相应的改变 y f ( x0 x) f ( x0 ) ． y f ( x0 x) f ( x0 ) 如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 l （也就是说平均变化率 x x 与某个常数 l 的差的绝对值越来越小， 可以小于任意小的正数） ， 那么常数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的 瞬时变化率． f ( x0 x) f ( x0 ) “当 x 趋近于零时， 趋近于常数 l ”可以用符号“ ”记作： x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x x) f ( x0 ) “当 x 0 时， 0 或记作“ lim 符号“ ”读作“趋近于”． l ”， l ”， x 0 x x 函数在 x0 的瞬时变化率，通常称为 f ( x) 在 x x0 处的导数，并记作 f ( x0 ) ． 这时又称 f ( x) 在 x x0 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) “当 x 0 时， f ( x0 ) ”或“ lim f ( x0 ) ”． x 0 x x 3．可导与导函数： 如果 f ( x) 在开区间 (a , b) 内每一点都是可导的， 则称 f ( x) 在区间 (a , b) 可导． 这样， 对开区间 (a , b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f ( x) ．于是，在区间 (a , b) 内， f ( x) 构成一个新的函数，我 们把这个函数称为函数 y f ( x) 的导函数．记为 f ( x) 或 y （或 yx ） ． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设 函 数 y f ( x) 的 图 象 如 图 所 示 ． AB 为 过 点 A( x0 , f ( x0 )) 与 B( x0 x , f ( x0 x)) 的 一 条 割 线 ． 由 此 割 线 的 斜 率 是
x
【例30】
如图， 函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ， 其中 A ，B ，C 的坐标分别为 0 ，4 ， 2 ，0 ， 6 ，4 ， f (1 x) f (1) 则 f ( f (0)) ； lim ． （用数字作答） x 0 x
y
4 3 2 1
） D． 2
【例13】
若 f ( x 1) f (1) 2 x 2 x ，则 f (1) _______． 已知函数 f ( x) 在 x x0 处可导，则 lim A． f ( x0 ) B． f ( x0 )
[ f ( x0 x)]2 [ f ( x0 )]2 （ x 0 x C． [ f ( x0 )]2 D． 2 f ( x0 ) f ( x0 )
f ( x ax) f ( x bx) （ x C． (a b) f ( x) D． f ( x)
x 0
） ．
设 f (3) 4 ，则 lim
h 0
A． 1
f (3 h) f (3) ） （ 2h B． 2 C． 3
D． 1
Go the distance 【例10】
【例37】
【例38】
已知某物体的运动方程是 s
2t 3 2t 2 ，则 t 3 时的瞬时速度是_______． t2
【例39】
3 已知物体的运动方程是 s t 2 ，则物体在时刻 t 4 时的速度 v ____，加速度 a t
1 物体运动方程为 s t 4 3 ，则 t 2 时瞬时速度为（ 4 A．2 B．4 C．6
4) ， (2 ， 0) ， (6 ， 4) ，则 B， C 的坐标分别为 (0 ， 如图，函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ，其中 A ， f ( f (0)) ；函数 f ( x) 在 x 1 处的导数 f (1) ．
y
4 3 2 1
【例29】
A
C
O
B
1 2 3 4 5 6
x 1 __________． x 1 x 3x 4
2
【例26】 lim x2
1 4 （ 2 x 4 x 2 1 A． 1 B． 4
） C．
1 4
D． 1
【例27】 lim
x 1
x xx x 1
．
【例28】
设 函 数 f ( x) a1 sin x a2 sin 2x an sin nx ， 其 中 a1 ， a2 ， ， an R ， n N ， 已 知 对 一 切 sin x x R ，有 f ( x) ≤ sin x 和 lim 1 ，求证： a1 2a2 nan ≤ 1 ． x 0 x
y
D B C A
O
x
x0
x
Go the distance
y f ( x0 x) f ( x0 ) ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点 B 沿曲线趋近于点 A x x 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线 AD ，这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线，即 f ( x0 x) f ( x0 ) lim 切线 AD 的斜率． x 0 x 由导数意义可知，曲线 y f ( x) 过点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率等于 f ( x0 ) ．