河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题01动点与函数图象含解析

专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【答案】D.【解析】解：由题意知，AD=DE=CE=BC=4，AE，∴∠AED=∠BEC=45°，∴∠MEN=90°，又∵EN=t，EM t，∴S=12EM EN ⋅⋅=()12t t ⋅-⋅=(2142t -⋅-+，（0≤t ≤）图象为抛物线，开口朝下，当x 时，S 取最大值故答案为D .【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由 A →D →C 运动时，设 DP =x cm ，则△POD 的面积 y （cm 2）随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）A BC D【答案】B .【解析】解：当P 点在AD 上运动时，0<x ≤2时，y =12·PD ×1=12x ，当P 点在DC 上运动时，0<x ≤2，y =12·PD ×1=12x ，故答案为：B .【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝52，BC＝245．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：∵PQ⊥BQ∴S△BPQ＝12PQ•BQ①当点P在BD上（即0s≤t≤2s）BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝12t，PQ＝BP•sin60tS△BPQ＝12PQ•BQ＝1•1t•2tt2该图象是关于t的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线；②当P在DE上时（即2s＜t≤4s）PQ＝BD•sin60BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1S△BPQ＝12PQ•BQ＝12t ﹣1）t ， 该图象为一条线段，由左向右上升； ③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132s ）PQ ＝PC •sin 45t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝245t S △BPQ ＝12PQ •BQ=12（42t ）（245－4+2t ） 通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：14<0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述，答案为D .【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A . 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°，AC ⊥BD ，EB ＝EC ，∵EF ⊥EG ，∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°，∴∠BEF ＝∠CEG ，∴△BEF ≌△CEG ，∴EF ＝EG ，∴∠EFG ＝45°，∴∠CFH ＝∠BEF ，∴△BEF ∽△CFH ， ∴BE BE CH CF=， ∴x y =，∴y ＝﹣x 2（0＜x ），图象为一段开口朝下的抛物线，即答案为：A ．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE【答案】D ．【解析】解：A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而BA ＜BC ，选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，选项D正确；故答案为：D．【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（）图1 图2A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD【答案】A.【解析】解：∵∠APD=60°，△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，∠PDC+∠CPD=120°，∴∠APB=∠PDC，∴△ABP∽△PCD，∴AB BPCP CD=,即：44x x CD =-，∴CD=()45x x-，当x=0时，CD=0，不符题意；∴AD=4－CD=4－()45x x-=()2116255x-+，符合题意，即答案为：A.【例3】（2019·周口二模）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CD BE的值为（ ） A．3 B．2 C．6 D图1 图2 【答案】D .【解析】解：由图象可知，t =8时，P 点与E 点重合；t =10时，P 与D 点重合，∵P 点的运动速度为2cm /s ，∴DE =4，BE =16，S △BCE =12·BC ·CD =8 CD ， 即8 CD，即CD， ∴CD BE, 故答案为：D .【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则 a 的值为图1 图2图1图2【答案】【解析】解：由图可知，Q 点对应的是AK ⊥BC 的位置，即△ABC 边BC 上的高为5，由△ABC 的面积是，得：BC =，由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK 的长度相等，说明AB =AC ，由勾股定理得：AB =即a =故答案为：【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN ⊥AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A ．【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9，设AB ＝m ，则BC ＝9﹣m ，如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣a ，MC ＝9﹣x ，NC ＝y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ，tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即BM CN AB CM =, 即9x m y m x-=-，化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9，当x ＝92m +时，y 取最大值45，即45＝()294m m +﹣9， 解得：m ＝5或m =16.2（舍），∴AM ＝5，BC ＝4， ABCD 的面积为20，故答案为：A ．1. （2019·濮阳二模）如图，点A 在x 轴上，点B ，C 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上．有一个动点P 从点A 出发，沿A →B →C →O 的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，设△POM 的面积为S ，点P 的运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D . 【解析】解：设点P 的运动速度为x ，（1）当点P 在AB 上时，S =12·OA ·AP =12·OA ·at ， 该段函数图象为一条线段，且S 随t 的增大而增大，（2）点P在曲线BC上时，S=1k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；2（3）点P在OC上时，S=1·PM·OM2设∠AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at，则S=1·PM·OM2OPsinβ·OPcosβ=12=1（s－at）2sinβcosβ2函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；综上所述，答案为：D.2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE ∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60°∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；∵∠EDB＝∠DEB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝DB＝2﹣x，在Rt△DEF中，EF ED2﹣x）．ED•EF∴y＝12＝1（2﹣x（2﹣x），2（x﹣2）2，（0≤x≤2），图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；所以答案为：A．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解析】解：由题意知，（1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2），为一次函数，图象为直线；（2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为：y=12AE•AF=12x(6－x)=－12x2+3x,为二次函数，且开口朝下；故答案为：A．4.（2017·预测卷）如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE →ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t 秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=25t2 ②tan∠ABE=34③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③.【解析】解：①过点P作PF⊥BC于F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4，∴∠AEB =∠PBF ，∴sin ∠PBF =sin ∠AEB =45，∴PF =PBsin ∠PBF =45t ，∴当0＜t ≤5时，y =12BQ ·PF=25t 2 即①正确； ②由图知：ED =2， ∴AE =AD ﹣ED =5﹣2=3， ∴tan ∠ABE =34AE AB =，②正确； ③由图象知，在D 点时，出发时间为7s ，由CD =4，得H （11，0），③正确； ④当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，∵tan ∠PBQ =tan ∠ABE =34，∴34PQ BQ =，即11354t -=， 解得：t =294．④错误； 故答案为：①②③．5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，点P 为AB 边上的一个动点，设x AP =，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC 的面积为 .【答案】【解析】解：由垂线段最短可知，当DP ⊥AB 时，y此时，由∠B =60°，得：BDtan 60°=2， ∴BC =4，S △ABC24即答案为：6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）ABCD ．【答案】B .【解析】解：当0≤x ≤1时，重叠部分为△A ’B ’C ’，面积为：2144=，当1<x ≤2时，重叠部分为等边三角形，边长B ’C =2－x ， ())2222x x -=-，为开口朝上的抛物线， 综上所述，答案为：B .7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：当点P在AD上时，S=12AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，S=2，S保持不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变；当点P在GB上时，S=12AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小；故答案为：B．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC 匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=65时，t=35或6．下列结论正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0＜t ≤3时，点P 在AC 上移动， ∴AC =t ×1=3×1=3cm ．故①正确； 在Rt △ABC 中，S △ABC =6，即12BC ×3=6，得：BC =4． 由勾股定理可知：AB =5． （1）当0＜t ≤3时，S =12BC •PC =12×4t =2t ．（2）当3<t ≤4时，PB =AB -AP =5-（t -3）=8-t ，过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，则35PH AC PB AB ==， ∴PH =35PB =35（8-t ），S =12BC •PH =12×4×35（8-t ） =-65t +485， （3）当4＜t ＜8时，过点P 作PH ⊥BC 于H ．同理：S =2324961055t t -+ 当0＜t ≤3时，2t =65，解得t ＝35，当3≤t ≤4时，−65t +485＝65，解得：t =7（舍去），当4＜t ＜8时，232496610555t t -+=，解得t =6或t =10（舍去），∴当t 为35或6时，△PQC 的面积为65．故②正确． 故答案为：A ．9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，∠ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.【答案】S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤+⎨⎪⎪+≤+⎪⎩.【解析】解：（1）当点P 在BC 上运动时，即0≤t ≤2时，过点A 作AH ⊥BC 于H ， ∵AB,∠B =45°， ∴AH =BH =1，S =12BP ·AH =12t ·1=12t ； （2）当点P 在CD 上运动时，即2<t ≤时，BBS =12S 四边形ABCD =1；（3）当点P 在DA 上运动时，即<t ≤时，S =12AP ·AH =12(t －4)·1=12－t )； 综上所述，S =()((10221221(8)242t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪++<≤+⎪⎩10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，∠B =30°，点P 从点B 出发，/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为： .【答案】y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时，即0≤t ≤2，BDBDPB过点Q 作QH ⊥BC 于H ，由题意知，BQ，BP =2t ， ∵∠B =30°， ∴QHt ， y =12·BP ·QH =12×（2t）×2t=2t 2，当点Q 在线段AC 上运动时，即2<t ≤4，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，由题意知，CQ =8t ，BP =2t ， ∵∠C =30°，∴QH（8t ）， y =12·BP ·QH =12×（2t（8t ）（8t2）=232t -+， 综上所述，y=()()220223242t t t ≤≤⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（ ）BPCAB C D【答案】B .【解析】解：过A 作AF ⊥BC 于E ，则四边形ADCF 是矩形， ∴AD =CF =3，CD =AF =4， ∴BF =3，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB =5，P 点从B 运动到A 点需2.5 秒，（1）当0≤t ≤2.5时，过P 作PE ⊥BC 于E ， ∴ PE ∥AF ， ∴BP PEAB AF=, ∴254t PE =，即PE =85t， y =12·BQ ·PE =12t ·85t =245t ， 是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5<t ≤4时，P 点在AD 上运动，y =12·BQ ·CD =2t ，是一条线段；（3）当4<t ≤6时，P 点在CD 上运动，y =12·BQ ·CP =12t (12－2t ) =6t －t 2，函数图象为一段开口朝下的抛物线，综上所述，选项B 符合要求，故答案为：B .12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．D【答案】C .【解析】解：当点Q 在线段BC 上时，即0≤t ≤2时，S =12BQ ·BP ·sin ∠B=12t ·（4－t=)24t t -， 图象为开口朝上的抛物线；当点Q 在线段CD 上时，即2<t ≤4时，S =12·BP ·(BC ·sin ∠B )=12（4－t ）×4)4t -，图象为一条直线，S 随t 的增大而减小；即答案为：C .13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）【答案】A .【解析】解：当点Q 在线段AD 上时，即0≤t ≤1，y =12·AP ·AQ =12（2t ）t =t 2，为开口朝上的抛物线；当点Q 在线段DC 上时，即1≤t ≤3，y =12·AP ·AD =12（2t ）×2=2t ，为一段线段，y 随x 的增大而增大；当点Q 在线段CB 上时，即3≤t ≤4，y =12·AP ·BQ =12（2t ）×(8－2t )=－2t 2+8t ，为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A 符合要求，即答案为：A .14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC 中,BC =6,BC 边上的高为4,直线MN 交边AB 于点M ,交AC 于点N ,且MN ∥BC ,以MN 为边作正方形MNPQ ,设其边长为x (x >0),正方形MNPQ 与△ABC 公共部分的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致是( )A B C D【答案】D .【解析】解：当PQ 在边BC 上时，由题意知，MN ∥BC ，过A 作AH ⊥BC 于H ，交MN 于G ，∴MN AG BC AH =, 即464x x -=，解得：x =2.4， 当0<x ≤2.4时，正方形MNQP 在△ABC 的内部，∴y =x 2，为开口朝上的抛物线，当2.4<x ≤4时，过A 作AH ⊥BC 于H ，交MN 于G ， 则MN AG BC AH=， 即64x AG =，解得：AG =23x ， ∴GH =4-23x ， y =MN ·GH =x (4-23x )，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x =3， 即选项D 符合题意，即答案为：D .15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A (0,1),B ，0)，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上. 若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为（ ）图1 图2A B C D【答案】A .【解析】解：由A (0,1),B 0)，得：∠ABO =30°，∠ADC =∠OAB =60（1）当点A 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为三角形，S =12·（2t ）2，图象为开口朝上的抛物线； （2）当点A 在x 轴上方时，点C 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为梯形，S =12·（t +t -1）t ，图象为一段线段；（3）当点C在x轴下方时，S1（6-2t）（6-2t）t-3)22图象为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A符合要求；故答案为：A.。