2.2 函数的定义域、值域

1 1 1 1 − ∞， 上递增，故 y ≤ − 1 − 2 × = . 2 2 2 2
∴函数的值域为 − ∞，1 . 2

方法二 （换元法） 令 1 − 2 x = t , 则t≥0
1− t2 . ，且x = 2
1 1 ∴ y = − (t + 1) 2 + 1 ≤ (t ≥ 0), 2 2
基础自测 基础自测 1.(2008·全国Ⅰ理，1)函数 为 A.｛x│x≥0｝ C.｛x│x≥1｝∪｛0｝ 解析 要使函数有意义，需 B.｛x│x≥1｝ D. ｛x│0≤x≤1｝
y = x(x −1) + x
的定义域 （C ）
x( x − 1) ≥ 0, 解得 xx ≥ 0.
4.函数 y = x − 1 的值域是
x
（B ） B. 0, 1
2
A. − 1 ，1
2 2
C.
[0,1]
y= −
D. [0,+∞ )
1 1 1 1 1 + = − ( − )2 + x2 x x 2 4
解析
1 1 Q x ≥ 1,∴ 0 < ≤ 1,∴ 0 ≤ y ≤ . x 2
题型二 定 义域.
抽象函数的定义域
设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的
1 y = f ( ); x
1 （1）y=f(3x)； + f ( x − 1 ); (2) y = f (x + ) 3 3 （3）
（4）y=f(x+a)+f(x-a). 【思维启迪 思维启迪】简单复合函数的定义域要用整体代换的思想 思维启迪
1.求下列函数的定义域：
y= （1） lg(2 − x) 12 + x − x 2 x2 y= + (5 x − 4)0 ; （2） lg(4 x + 3) + ( x − 1)0 ;
y = 25 − x 2 + lg cos x; （3）
2分
∴其对称轴为x=1,即［1，b］为f(x)的单调递增区间.4分
∴ f ( x) min = f (1) = a −
1 f ( x) max = f (b) = b 2 − b + a = b 2
1 =1 2
①6分 ②8分 12分
由①②解得
3 a = , 2 b = 3.
探究拓展 本题主要考查一元二次函数的定义域和值域问题， 主要体现了配方法求函数的值域.由于含有字母，在分析时， 要考虑字母的范围.
3 2 ≤ m 故由二次函数图象可知 . m − 3 ≤ 3 − 0 2 2 3
3 25 ∴ f ( ) = − , 又f (0) = −4, 2 4
解得
2
≤ m ≤ 3.
题型一
求函数的定义域
求下列函数的定义域 （1）y
=
3
( x + 1) 0 x −x
;
(2) y =
1 x2 − 3
1 3
1 3
①当 a ≤ 1 − a,
1 − a ≤ 1 + a,
即0≤a≤
−
1 时，定义域为［a,1-a］; 2
a ≤ − a , ②当 − a ≤ 1 + a ,
即
1 ≤ a ≤ 0 时，定义域为［-a,1+a］ 2
综上所述：当 0 ≤ a ≤ 1 时，定义域为［a,1-a］;
列出不等式组
1 2 ⇒ ≤x≤ , 3 3
故 y = f ( x + ) + f ( x − ) 的定义域为 3 , 3 .
1 2
0 ≤ x + a ≤ 1 − a ≤ x ≤ 1 − a ⇒ , （4）由条件得 讨论： 0 ≤ x − a ≤ 1 a ≤ x ≤ 1 + a
∵y=1时，x∈∅ ，∴y≠1. 又∵x∈R, R,∴必须△=（1-y）2-4y(y-1)≥0. R,
1 ∴ − ≤ y ≤ 1. 3
∵y≠1,∴函数的值域为 − 1 ， . 3 1

（2）方法一（单调性法） 定义域
1 x x ≤ , 2
函数y=x, y = − 1− 2 x 均在
而x
2
1 3 3 − x + 1 = ( x − )2 + ≥ , 2 4 4
∴0 <
1 4 ≤ , ∴ − 1 ≤ y < 1,∴ 值域为− 1 ， . 3 1 x2 − x + 1 3 3
方法二 （判别式法） 由
x2 − x y= 2 , 得( y − 1) x 2 + (1 − y ) x + y = 0. x − x +1
题型四
根据定义域、 根据定义域、值域求参数的取值
1 2
（12分）若函数 f ( x) = x 2 − x + a 的定义域和值域均 为［1,b］(b>1),求a、b的值. 【思维启迪 思维启迪】求出f(x)在［1,b］上的值域，根据值域已 思维启迪 知的条件构建方程即可解. 解
1 1 Q f ( x) = ( x − 1) 2 + a − . 2 2
∴函数的定义域为｛x│x≥1｝∪｛0｝
2.（2007·北京理 北京理，2）函数f(x)=3x(0＜x≤2)的反函数的定 北京理 义域为 A.（0,+∞） C.（0，1） B.（1，9］ D.［9，+∞） （D ）
解析 ∵0＜x≤2,∴1＜3x≤9,∴f(x)的值域为(1,9］, ∴f(x)的反函数的定义域为（1，9］. 3.若函数f(x)=loga(x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是 ［0，1］，则a等于 （D ） 1 2 A. 3 B. 2 C. D.2 2 解析 ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a＞1,且loga2=1, ∴a=2.
2
1 ≤ a ≤ 0 时，定义域为［-a,1+a］. 2 探究拓展 对于抽象函数的定义域问题,要注意如下两点：
当− （1）f［g(x)］的定义域为［a,b］指的是x的取值范围为 ［a,b］，而不是g(x)的范围为［a,b］，如：f(3x-1)的定义 域为［1，2］，指的是f(3x-1)中的x的范围是1≤x≤2. (2)若f(x)=g(x)+h(x),则f(x)的定义域为g(x)的定义域和 h(x)的定义域的交集.
+ 5 − x2 ;
(3) y = x + 1· x − 1. 【思维启迪 思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零； 思维启迪 开偶次方根，被开方数大于等于零. 解
x ≠ −1 即 . 故函数的定义域为｛x│x＜0且x≠-1｝. x < 0
x + 1 ≠ 0 (1)由题意得 x − x > 0,
§ 2.2
函数的定义域、值域 函数的定义域、
要点梳理 1.函数的定义域 (1)函数的定义域是指 使函数有意义的自变量的取值范围 . （2）求定义域的步骤是： ①写出使函数式有意义的不等式（组）； ②解不等式组； ③写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出） （3）常见基本初等函数的定义域： ①分式函数中分母不等于零. ②偶尔根式函数、被开方式大于或等于0.
1 列出x满足的条件，再通过解不等式（组）解出x的范围.
解（1）0≤3x≤1,故， . 0 3
0≤ x≤ , 3 1
y=f(3x)的定义域为
（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞）
1 1 f ( x + )与f ( x − ) 定义域的交集. （3）由条件，y的定义域是 3 3
1 2 1 0 ≤ x + ≤ 1 − ≤ x ≤ 3 3 3 ⇒ 0 ≤ x − 1 ≤ 1 1 ≤ x ≤ 4 3 3 3
基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常 考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的 定义域和值域都有必然的联系.
方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且 它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义 域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意 对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际 问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化 范围.利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.
x ≠ −1 化简得 x > x ,
(2)由题意可得
故函数的定义域为 {x −
x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 即 , x − 1 ≥ 0, x ≥ 1
x ≠ ± 3 x2 − 3 ≠ 0 , 解得 . 2 5 − x ≥ 0 − 5 ≤ x ≤ 5
5 ≤ x ≤ 5且x ≠ ± 3 .
}
(3)要使函数有意义，必须有
∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞） 探究拓展 求函数的定义域，实质上是解不等式（组）的过 程，具体来说，求函数定义域的步骤为： ①列出使函数有意义的x适合的不等式（组）； ②解这个不等式（组）； ③把不等式（组）的解表示为集合或区间的形式作为函数的 定义域.
题型三
求函数的值域
求下列函数的值域： （1）
x2 − x y= 2 ; x − x +1
（2） y = x − 1 − 2 x ;
ex −1 （3） y = x . e +1
【思维启迪 思维启迪】（1）是分式型可考虑分离常数，配方法或者 思维启迪 判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性 法.（3）可结合反函数求解. 解（1）方法一 （配方法） 方法一 1 Q y = 1− 2 , x − x +1