高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程学案苏教版选修2-1

2．6.1 曲线与方程
[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．
知识点曲线的方程、方程的曲线
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
题型一曲线与方程的概念
例 1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；
②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.
答案③
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
解①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.
反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；
二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 跟踪训练1 判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2
－x 2
； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.
解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2
－x 2
的解，则y 0＝r 2
－x 2
0，即x 2
0＋y 2
0＝r 2
.两边开平方取算术平方根，得x 2
0＋y 2
0＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的
圆上的一点如点(r 2，－32
r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2
的解，这就不满足曲线上的点的坐
标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2
－x 2
，而应是y ＝±r 2
－x 2
.
(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线
例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，
所以可得⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y －5＝0，
x －3≥0，
或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方
程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.
反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪训练2 “(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，
所以可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，
或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方
程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用
例3 若曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围．
解 ∵曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2
＋a 2
＋2a ＋k ＝0.
∴k ＝－2a 2
－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.
∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，1
2
]．
反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1
解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.
(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2
有两个公共点，求b 的取值范围．
解 由方程组⎩⎨
⎧
y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b ，x 2＋y 2
＝1y ≥0.
消去x ，得到2y 2
－2by ＋b 2
－1＝0(y ≥0)．
l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4b 2－8b 2－1>0，
y 1
＋y 2＝b >0，y 1y 2
＝b 2
－12
≥0，
解得1≤b < 2.
所以b 的取值范围为[1，2)．
1．“点M 在曲线y 2
＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分
解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2
＝4x 中y 可正可负，
∴点M 在曲线y 2
＝4x 上时， 点M 不一定在y ＝－2x 上．
反之，点M 在y ＝－2x 上时，点M 一定在y 2
＝4x 上． 2．方程(x 2
－4)2
＋(y 2
－4)2
＝0表示的图形是________． 答案 四个点
解析 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4＝0，
y 2
－4＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝±2，
y ＝±2
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝－2.
3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．(填序号)
答案 ④
解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①； 对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；
对于③，曲线上第三象限的点，由于x <0，y <0，不满足方程，排除③.
4．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2
＋y 2
＝3上，则α的值为________． 答案
π3或5π
3
解析 由(cos α－2)2＋sin 2
α＝3，得cos α＝12.
又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π
3
.
5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点
M 的轨迹方程为______________．
答案 x ＋y －1＝0 解析 设M (x ，y )，如图，
由直角三角形的性质可知
PM ＝MO ，
即(x －1)2
＋(y －1)2
＝x 2
＋y 2
， ∴x ＋y －1＝0.
1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．
3．方程表示的曲线的判断步骤：
4．判断方程表示曲线的注意事项：
(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．。