2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质

课时分层作业(二十) 对数函数及其性质的应用
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞) D ．(2，＋∞)
B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10，
即2<x ≤7，故选B.]
2．函数f (x )＝|log 1
2
x |的单调递增区间是( )
【导学号：37102301】
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]
3．已知log a 13>log b 1
3>0，则下列关系正确的是( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．1<b <a
D ．1<a <b
A [由log a 13>0，log b 1
3>0，可知a ，b ∈(0,1)，
又log a 13>log b 1
3，作出图象如图所示，
结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.
]
4．若a ＝20.2
，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )
【导学号：37102302】
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
A [∵a ＝20.2＞1＞b ＝log 4(3.2)＞0＞c ＝log 2(0.5)，∴a ＞b ＞c . 故选A.]
5．若函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1
2
C ．2
D ．4
B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1
2(舍去)．
当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝1
2.]
二、填空题
6．函数y ＝log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)的值域是________.
【导学号：37102303】
[－2，＋∞) [－x 2
＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋254≤254
，
∴有0<－x 2
＋3x ＋4≤254
，
所以根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象即可得到： log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)≥log 0.4
25
4
＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
7．若log a 2
3<1，则a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式⇔⎩⎪⎨
⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，2
3
<a ，
解得0<a <2
3
或a >1，
故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]
8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.
【导学号：37102304】
(1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－a ＋3≥0，a >1，
a >0且a ≠1，
解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．] 三、解答题
9．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝
⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.
(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．
[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－3
2
t ＋1，
又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.
(2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322
－1
8，1≤t ≤3，
当t ＝32时，y min ＝－1
8
；
当t ＝3时，y max ＝1，∴－1
8
≤y ≤1，
即函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－18，1. 10．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值范围.
【导学号：37102305】
[解] (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
3＋x >0，3－x >0，
解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )＝ln(9－x 2
)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜1
3
或1＜m ＜2.
[冲A 挑战练]
1．函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1x 2
＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 2＋1＋x ＝lg 1x 2＋－x 2＝lg 1＝0，
∴f (x )为奇函数，故选A.]
2．当0＜x ≤12
时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围是( )
【导学号：37102306】
A ．(2，2)
B ．(1，2) C.⎝
⎛⎭⎪⎫
22，1 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，
22 C [当0＜x ≤12
时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4
x
的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x
的图象交于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的
y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足
2
2
＜a ＜1，故选C.]
3．函数f (x )＝log 2x ·log
2
(2x )的最小值为________．
－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝1
2log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122
－1
4(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.]
4．（2018·全国卷Ⅲ）已知函数f (x )＝ln(1＋x 2
－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.
－2 [由f (a )＝ln(1＋a 2
－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2
－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2
＋a )＋1＝－ln
11＋a 2
＋a
＋1＝－ln(1＋a 2
－a )＋1＝－3＋1＝－2.]
5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．
[解] (1)要使函数有意义，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x >0，
x ＋3>0，
解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2
－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2
＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2
＋4≤4.
因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2
＋4]≥log a 4，
即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4
＝4，所以a ＝4－14＝22.。