变分学

•几何光学定律（雅格布.伯努利的答案的 出发点；也用来比较最值）
费马原理(Fermat Principle): 光在任意介质中从一点传播到另一 点时，沿所需时间最短的路径传播;又称 最小时间原理或极短光程原理，法国数 学家--费马于1657年首先提出。
由费马原理推导几何光学定律
反射定律：对于反射，入射角等于反射角。
本文结构

最速降曲线问题 变分原理--Euler方程
一个最值问题光线的反射与折射
泛函的变分算式




重积分泛函的变分问题
一个无解的例子
诸多问题化为优化问题：最简单的优化问题是 求一个实函数的极大或极小问题；一般为所谓 的泛函极值问题。粗略地说，在无穷多个可能 的函数中选取一个在某种意义下最好的一个。
上述第二式积分，得到
x r ( sin ) d
由y(0)=0得d=0.
最速降线问题结论：最速降曲线是一族经过原点
的一段摆线（旋轮线）
x r ( sin ) y r (1 cos )
即圆周：
x y r) r （
2 2
2
沿x轴滚动时，圆周上点(0,0)的运动轨迹.
连续且不等于零，则存在常数 下的Euler方程
' y ' y
d ' ' G y ' ( x, y0 , y0 ) dx

最速降曲线问题的求解：
对于最速降线问题，代入上式(6)，有
1 2 gy(1 y' )
2
C
进一步化简，
1 y(1 y' ) 2r 2 2 gC
2
令 y ' cot

2
，得到
2
y 2 sin

2
r (1 cos )
dy dx r (1 cos )d y'
•等周问题的数学表述
设在ｘ轴上给定两点A(0,0)、 B(a,0),要求 在Ａ、Ｂ间用一定长度（>a）连接一光 滑弧段Ｃ,使得 C与线段AB之间所围面积 最大。
Dido问题化为：求连续可微函数y=y(x),使得积分
S y( x) dx
0
a
达到最大值，同时满足条件

a
0
1 ( y' ) dx l
为了求最小值，我们再求T（x）的导数
1 T ' ( x) ca 1 m 2 x 2 cw 1 dx n 2 (d x) 2
sin sin ca cw
令T’(x)=0, 得
sin sin ca cw
换句话说，正弦之比是一个常数;
ca 其中 cw
是空气中的光速与水中光速之比称为折射率。
一个古老的传说：

追溯到古希腊一个传说:Phoenician (非尼基城) 的公主Dido(迪多)离开家园，在北非地中海沿岸 定居.她花费一定的金钱换来用一张牛皮所能围 起来的土地.她把牛皮切成细条连接成一条绳子 （绳子的长度是固定的）。为了围处尽可能大 的面积，迪多把她的土地选在海边，海岸是一 条直线，无须用绳子界定. 据说迪多决定用整 条牛皮绳沿海岸围成一个半圆，事实上，也确 实是在给定条件下的最大面积。
2
其中l 是由边界周长所界定的常数。
•方法一、化为无条件极值：
引入弧长参数
s 1 ( y' ) 2 dx
0
x
这里 s : 0 s l ,考虑 ds2 dx2 dy2
于是原问题表述为：求y(s)使得积分
Max

l
0
dy 2 y 1 ( ) ds dx
解得y(s)后，可求
n

则有

f ( x) ( x) dx 0, ( x) C（）
2 0
f ( x) 0，x
•泛函(3)的变分的算式：

当函数 y0 ( x) 取得增量 (x) 时，泛函J[y]改 变量为
J J [ y 0 ] J [ y 0 ] [F(x,y 0 , y ' ) - F(x,y 0 , y 0 ' ) ] dx
( x)满足 (0) (a) 0 ，以及任意的实数 ；
y 函数： 1 ( x) y( x) ( x)满足边界值 (2)
因此泛函 T [ y( x) ( x)] 当 0 时, 取得最小值T[y(x)], 从而
d T [ y ( x) ( x)] 0 0 d
其中最后一步用到分布积分法.
将 0 代入上式，于是

a
0
d [ Fy ( y, y ' ) Fy ' ( y, y ' )] dx 0 dx
由于 ( x) 的任意性，所以
d Fy ( y, y ' ) Fy ' ( y, y ' ) 0 (5) dx
上述方程称为该变分问题的欧拉方程
a ' 0 b

b
a
F(x,y 0 , y 0 ' ) F(x,y 0 , y 0 ' ) [ ' ] dx y y'
b a
R( x, y 0 , y 0 ' , , ' ) dx
•如同数值函数，线性主部称为J[y]在y=y(x)处 的变分或一阶变分，记为
d T [ y( x) ( x)] d d a F ( y , y' ' ) dx d 0 [ Fy ( y , y ' ' ) Fy ' ( y , y' ' ) ' ]dx
0 a

a 0
d [ Fy ( y , y ' ' ) Fy ' ( y , y ' ' )] dx dx
y f ( x) (0 x a)
其中：
.
y(0) 0 及 y(a) b
A(0,0)
x
y=f(x) B(a,b) y
一方面由质点运动学，其速度：
1 y' ( x) dx ds v dt dt
即：
2
1 y' ( x) dx dt v
2
另一方面，由于初速度为零，能量守恒定律：
第一个著名变分问题的提出: 1696年, Johann Bernoulli（约翰.伯努利）《教师学报》的公 开问题
17-18世纪， Bernoulli家族三代人中出了8位数学家 和物理学家；有趣的，他们中多个人原职是律师和 医生，然而最终还是投身到数学和物理并取得成就。 Johann Bernoulli时代一种时尚：数学家把他研 究解决了的问题发表在杂志上，只刊问题，不给 答案，从而向其他数学家发出挑战。
b
极值曲线 y0 ( x)满足的必要条件是 J 0
即: 泛函的一阶变分为零，相当于函数极值的 必要条件：全微分为零.
注：二阶变分根据泛函的极大值和极小值而 得到相应的二阶微分不等式
•条件极值（等周问题、悬链线模型）
等周问题的最早提法：在具有相同长的所 有平面闭曲线中，求这样一条曲线，使得 它所围成的面积最大。
•变分法基本引理（单变量）
引理1：设定义在[a,b]上 的连续函数f(x)， 如果对于在[a,b]上两次连续可微，且在a,b 为零的任意函数 (x) ,有

b
a
f ( x) ( x)dx 0, ( x) C [a, b]
2 0
则有
f ( x) 0
•多变量变分法基本引理
引理2：设定义在 R (n 2) 上的连续函数 f(x)，如果对于在 上两次连续可微，且在 为零的任意函数 (x) ,有
利用上述方程,
d [ F ( y, y' ) y' Fy ' ( y, y' )] dx d Fy ( y, y' ) y' Fy ' ( y, y' ) y' ' y' ' Fy ' ( y, y' ) y' Fy ' ( y, y' ) dx 0
所以
F ( y, y' ) y' Fy ' ( y, y' ) C(常数) (6)
1 2 mv mgy 2
所以
即：
v 2gy
dt
则
1 y ' ( x) 2 dx 2 gy
a
T [y]
1 y ' ( x) 2 2 gy

dx
(1)

最速降曲线问题的数学提法：求一条满足
边界条件： y(0) 0及y(a) b
的函数 y f ( x) (0 x a) ，使得泛函
x(s)
s
0
dy 2 1 ( ) dt dt
由此得到所求曲线的参数方程
•方法二、 直接求法
一般的条件变分问题：设 F ( x, y, y' )，G( x, y, y' ) 有 连续的二阶偏导数，泛函 满足
J [ y] F ( x, y, y' ) dx
a b
求上述泛函在函数类D(J)的极值曲线,这里D(J)= {y(x)在[a,b]上有连续的二阶导数，y(a)=c,y(b)=d}
F(x, y, y') 对所依赖的变量有连续的二阶
导数
针对最速降曲线问题, 记
F( y, y') 1 y ' ( x) 2 2 gy