高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量学案北师大版必修4课件
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高中数学第2章平面向量1从位移、速度、力到向量课件北师大版必修4
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小．( ) (2)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) (3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (4)向量就是有向线段．( )
向量的有关概念
[小组合作型]
给出下列几种说法： ①温度、速度、位移这些物理量都是向量； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③向量的模一定是正数； ④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量． 其中说法正确的是________．(填序号)
2．共线向量有四种情况 方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模 不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等 向量，而相等向量一定是共线向量．
3．向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向 线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥ l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行． 4．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性 质，使向量与几何图形有机地结合起来．
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根 据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须 确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为 半径的圆．
相等向量与共线向量
[探究共研型]
探究1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有 什么关系？
【提示】 方向相同或相反． 探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？ 【提示】 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个 向量不能比较大小．
高一数学北师大版必修4课件2.1 从位移、速度、力到向量
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变方向, 向东行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量 ������������ , ������������ , ������������; (2)说出向量 ������������ 的大小和方向. 思路分析:作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此 应建立坐标系,然后再根据行驶方向确定有关向量,进而求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)所作向量如图所示. (2)由题意,易知 ������������ 与������������ 方向相反,所以 ������������ 与������������ 共线. ∵ | ������������ |=|������������ |, ∴ 在四边形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=CD. ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. ∴ | ������������ |=|������������ |=200 千米,且 AD∥BC,∴ ������������ , ������������ 同向,即 ������������ 的方向也是西偏北 50° ,且| ������������ |=200 千米.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:(1)错误,只有速度、位移是向量; (2)错误.由|a|=|b|仅说明 a 与 b 的模相等,但不能说明它们方向的关系; (3)错误.0 的模|0|=0; (4)正确.对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动 的,因此相等向量可以起点不同; (5)错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求 两个向量必须在同一直线上. 答案:(4)
2.1从位移、 速度、 力到向量 线上课程课件-北师大版高中数学必修4
如何表示这两次的位移？
用带箭头的线段表示，
箭头的方向表示位移的方向， 线段的长度表示位移的大小.
广州
2.类比“位移”的表示方法，思考如何表示向量呢？
用带箭头的线段表示
上海
二.向量的表示
1.几何表示：向量常用有向线段（带箭头的线段）表示.
有向线段的长度表示向量的大小,
B（终点）
箭头所指的方向表示向量的方向. 2.符号表示：
问题2：向量可以比较大小吗？
不能
B（终点） A（起点）
探究3 特殊向量
1.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作 0 . 思考1：零向量有方向吗？ 零向量有方向，零向量的方向是任意的.
2.单位向量：长度为单位1的向量叫做单位向量. 思考2：单位向量唯一吗? 单位向量有无数个.
探究4 向量间的特殊关系
向量可以在平面内平行移动，起点可以任意选取. 数学中的向量是自由向量
A F
E
探究4 向量间的特殊关系
2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， B
A
向量CB ,AD ,OA, FE有怎样的关系？ C
F O
D
E
表示向量CB, AD,OA, FE的有向线段所在的直线平行或重合.
向量间的特殊关系 2.平行（共线）向量
E
D
F
C
O
A
B
×
(3)若 a 5，b =3，则 a>b ； ×
(4)若 a b ，b c ，则 a c ；√
(5)若a//b ,b//c ，则 a//c . ×
解：(1)a b，只能说明两个向量的模相等， 但方向未必相同；
(2)单位向量的模长为单位1，长度相等， 但对方向没有要求；
高中数学北师大版必修4第2章1《从位移、速度、力到向量》ppt课件
[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、 丙地、丁地，依题意知，△ABC为正三角形，
∴AC＝2000(km)． 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2(km)， ∴△ACD 为直角三角形，即 AD＝1000 2(km)，∠CAD＝ 45°. 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.
D．4
• [错解] D
• [辨析] 认为①正确是忽略了0和0的区别．由|a|＝ 0可知a是零向量，但是a≠0，之所以出现这样的错
• (2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模 型，“数学建模”是今后能力培养的主要方向，需 要在日常学习中不断积累经验．
已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙 地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从 丙地按西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲地的什 么方向？丁地距甲地多远？
_→_______，它的方向与任一向量平行．
0
• (叫2作)与a向 方量向a上_同的_方_单_向_位__向_，量且，长记度作为单_位____1__________．_的向量，
• (3)长度________且方a向0 ________的向量叫作相等向
量，向量a相与等b相等，记作相a同＝b．规定所有的零向量
(2)写出分别与A→B、B→C、A→C、B→D共线的向量． [思路分析] (1)要找出具体相等向量，只需在正方形 ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可； (2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可．
[规范解答] (1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝ |g|＝1，
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
∴AC＝2000(km)． 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2(km)， ∴△ACD 为直角三角形，即 AD＝1000 2(km)，∠CAD＝ 45°. 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.
D．4
• [错解] D
• [辨析] 认为①正确是忽略了0和0的区别．由|a|＝ 0可知a是零向量，但是a≠0，之所以出现这样的错
• (2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模 型，“数学建模”是今后能力培养的主要方向，需 要在日常学习中不断积累经验．
已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙 地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从 丙地按西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲地的什 么方向？丁地距甲地多远？
_→_______，它的方向与任一向量平行．
0
• (叫2作)与a向 方量向a上_同的_方_单_向_位__向_，量且，长记度作为单_位____1__________．_的向量，
• (3)长度________且方a向0 ________的向量叫作相等向
量，向量a相与等b相等，记作相a同＝b．规定所有的零向量
(2)写出分别与A→B、B→C、A→C、B→D共线的向量． [思路分析] (1)要找出具体相等向量，只需在正方形 ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可； (2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可．
[规范解答] (1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝ |g|＝1，
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
高中数学 2.1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向 量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向 线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学 生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关， 但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．
●教学流程
演示结束
1．定义 既有 大小 又有 方向 的量叫作向量． 2．有向线段 具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点 指向终点，以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作A→B，线段 AB 的长度也叫作有向线段A→B的 长度 ．记作|A→B|.
3．向量的长度
|A→B|(或|a|)表示向量A→B(或 a)的大小，即长度(也称模)．
下列说法正确的是( ) A.A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度等于 0 D．共线向量是在同一条直线上的向量
【解析】 A→B∥C→D包含A→B所在的直线与C→D所在的直线 平行和重合两种情况，故选项 A 错；相等向量不仅要求长度 相等，还要求方向相同，故选项 B 错；共线向量可以是在一 条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选 项 D 错．
a0
相等向量
长度相等且 相 重合同的向量
若a等于b， 记作a＝b
表示两个向量的 a与b平行
向量的有关概念
下列说法正确的是( ) A．若向量A→B与C→D是共线向量，则 A、B、C、D 必在同 一直线上 B．若向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 D．单位向量都相等
【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向 量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．
高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就相等，和始点、终点的位置无关． (4)不正确．所有的单位向量的长度均等于 1，但它们的方向不一定相同，所以它们不 一定相等． (5)正确.A→B与B→A的长度均为线段 AB 的长度．
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(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行 或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联 系和区别． (2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段： 只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相 同，就是相等向量，而与起点无关．
D．4 对
答案：B
32
4.在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N、M 分别是 AD、BC 上的点， 且C→N＝M→A，证明：四边形 DNBM 是平行四边形． 解析：∵A→B＝D→C， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD、BC 平行且相等． 又∵C→N＝M→A，∴四边形 CNAM 为平行四边形， ∴AN、MC 平行且相等，∴DN、MB 平行且相等， ∴四边形 DNBM 是平行四边形．
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
16
探究二 向量的表示方法 [典例 2] 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向北偏 西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点． (1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
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高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
1 从位移、速度、力到向量
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(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行 或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联 系和区别． (2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段： 只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相 同，就是相等向量，而与起点无关．
D．4 对
答案：B
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4.在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N、M 分别是 AD、BC 上的点， 且C→N＝M→A，证明：四边形 DNBM 是平行四边形． 解析：∵A→B＝D→C， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD、BC 平行且相等． 又∵C→N＝M→A，∴四边形 CNAM 为平行四边形， ∴AN、MC 平行且相等，∴DN、MB 平行且相等， ∴四边形 DNBM 是平行四边形．
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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探究二 向量的表示方法 [典例 2] 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向北偏 西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点． (1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
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高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
1 从位移、速度、力到向量
北师大高中数学必修第二册2.1从位移、速度、力到向量【教学课件】
状元随笔 1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样 的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个 因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并 且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有 向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定． 3．向量与有向线段的关系 如果有向线段A→B表示一个向量，通常我们就说向量A→B，但有向 线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
有向线段
具有___方_向____和__长 __度____的线段称为有向线段．以 A 为 起点，B 为终点的有向线段记作___A→_B____，线段 AB 的 长度称为有向线段A→B的长度，记作___|A→_B_|___．
向量的模 向量 a 的大小，记作|a|，又称作向量的模．
零向量
长度为__0__的向量称为零向量，记作 0.
单位向量 模等于__1__个单位长度的向量，称为单位向量．
共线向量
两个非零向量 a，b 的方向___相__同___或___相__反___称这两个 向量为共线向量或平行向量，记作 a∥b
规定：零向量与__任__一____向量共线．
相等向量 长度相等且方向__相__同____的向量称为相等向量．
相反向量
解析：A 项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向 线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线 段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故 A 项错误．
由于零向量与任一向量平行，因此，若 a，b 中有一个为零向量时， 其方向是不确定的，故 B 项错误．
2-1 从位移、速度、力到向量 课件高中数学必修4(北师大版)
【训练 1】 下列说法正确的是( A．平行向量不一定是共线向量
)．
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．共线向量都相等 D．模为 0 的向量与任意一个向量平行 解析 由于向量是自由向量，所以对于向量而言平行与共线是
一致的，A 错；有共同终点的向量，由于起点不确定，可能不 共线，B 错；共线向量由于模不相等或方向不相同都可导致它 们不相等，C 错．零向量与任意向量平行．故选 D. 答案 D
4．向量的应用 利用向量可以证明线段的相等，判断图形的形状 (如平行四边 形、等腰三角形等)，证明多点共线等问题，以及解决生活中的 实际问题．
题型一 向量的概念 【例 1】 下列命题： ①向量 A→ B 和向量 B→ A 长度相等；②方向不同的两个向量一定 不平行；③向量 B C 是有向线段；④向量 0＝0，⑤向量 A B 大 于向量 C→ D ；⑥若向量 A→ B 与 C→ D 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上；⑦单位向量相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ；⑧四边形 ABCD 是平行四 边形当且仅当 A→ B ＝D → C ；⑨一个向量方向不确定当且仅当模 为 0；⑩共线的向量，若起点不同，则终点一定不同，其中正 确的是________(只填序号)．
自学导引 1．向量的概念及其表示 (1)定义：既有 大小 ，又有 方向 (2)表示： ①有向线段：具有 方向 和 长度 的线段叫做有向线段，以 A → ，线段 AB 的长度也叫 为起点，B 为终点的有向线段记作 AB → 的长度，记作 |AB →| . 做有向线段AB ②向量的表示： 的量统称为向量．
→
→
[思路探索] 利用零向量、单位向量与平行向量逐一判断即可． 解析 序号 正误 ① ② ③ ④ ⑤ √ × × × × 原因 |A→ B |＝|B→ A |＝AB 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况 向量可以用有向线段来表示， 但不能把二者等同起 来 0 是一个向量，而 0 是一个数量 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别
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2.1 从位移、速度、力到向量
知识梳理
1.概念
（1）向量、数量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，物理学中常称为矢量.
只有大小没有方向的量叫做数量，物理学中常称为标量.
（2）向量与数量的区别
向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.
数量只有一个要素：大小，数量没有方向，可以比较大小.
2.平面向量的表示
（1）有向线段
一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作AB.线段AB的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作|AB|.有向线段包含三要素：起点、方向、长度.
（2）向量的表示
几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.
字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭
,、…；还可用两个大写英文字母表示.
头的小写字母表示如,
3.相等向量与共线向量
（1）向量的长度
向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|.
长度为零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，是任意的.
长度为单位1的向量叫做单位向量.
（2）共线向量(平行向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量是平行向量，记作0∥a.
任一向量与它本身都是平行向量，记作a∥a.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
知识导学
学好本节一定要弄清概念，要用类比的方法学习向量的概念，还要注意向量与数量的区别. 疑难突破
1.为什么两个向量不能比较大小?
剖析：疑点是向量的模有大小，两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.
向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由A向西北逃窜，如果猫由A向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方
向.
2.向量和数量有什么区别和联系？
剖析：难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析.
从定义上看，向量是规定了大小和方向的量，向量不同于数量，数量只有大小，而向量不仅有大小而且还有方向；数量是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向，而方向不能比较大小，因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.。