第5次课(1.4介质的电磁性质)
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第5次课14介质的电磁性质
引入电位移矢量D，定义为 D 0E P
可以得
D f
b. D和E之间的实验关系
对于一般各向同性线性介质，极化强度和之间有简
单的线性关系
P e0E
e称为介质的极化率。
0E P f
P e0E
D
0
E v
P
v
0
E
e
0
E
v
1 e 0E
于是
D E
r0, r 1 e
v
D f
v E
v B
,
r0, r 1 e
v t
B H,
B 0,
v H
v J
v D
.
t
r0, r 1 M
在导电物质中
v J
v E
σ称为电导率
v E
v E
0
v B
v t
B 0
v B
v
0 J
0 0
v E t
解决实际问题时，除了麦氏方程组，还必须引入
关于介质电磁性质的实验关系
首先讨论非铁磁介质 A、电磁场较弱 Pv与Er，Mv与Hv，Dv与Ev，Bv与Hv 均呈线性关系
a).磁化强度M
分子电流可以用磁偶极矩描述，把分子电流看作载有
电流i的小线圈，线圈面积为a.则与分子电流相应的磁矩为
m ia
介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M，
其定义为，其定义为单位M体积内m的i 磁偶极子数：
V
其中m是i 第i 个环形电流的磁偶极子，即
rr mi iiai
简化模型: 每个分子电流都相等，为 iav
v M
mvi
Nmv
nmv niav
V V
1-4介质的电磁性质要点
p n (P2 P 1)
n为分界面上由介质1指向介质2的法线上的单位矢。
介质中的场方程
在真空中高斯定理的微分形式为▽·E=ρ/ε0，其中的电荷是 指自由电荷。在电介质中， 高斯定理的微分形式便可写为
1 E ( P )
0
将ρP=-▽ · P代入，得
( 0 E P)
这表明，矢量ε0E+P的散度为自由电荷密度。
引入电位移矢量(或电感应强度矢量)， 并记为D，即
D 0E P
于是，介质中高斯定理的微分形式变为
D
与其相应的积分形式为
S
D dS q
介电常数
对各向同性线性介质有
B 0 ( H M ) J E D E B H J E
(4 - 7) (4 - 18)
§4 介质的电磁性质
1 介质的概念
无极分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子电介质：（水、有机玻璃等）
无极分子：分子正负电荷中心重合； 有极分子：分子正负电荷中心不重合。 甲烷分子 CH 4 水分子 H 2O
+
+
H
+
正负电荷 中心重合
+
H C H
+
pe
O +
负电荷 中心
H
H
+
H
pe 0
度M的单位是A/m(安培/米)。如在磁化介质中的体积元ΔV内， 每 一个分子磁矩的大小和方向全相同 (都为m)， 单位体积内分子数
是N， 则磁化强度为
N Vm i M Nmi V
介质的电磁性质
即使在电磁场较弱的情况 ， 表现为频率的函数。
3、导体中的欧姆定律
6、关于磁场的散度、旋度方程
B 0
H
Jf
D t
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四、介质中的麦克斯韦方程
JtDt
D
0
E dl
B
dS
L
S t d
H dl I D dS
L
dt D dS Q
S B dS 0
S
D
0
E
P
B 0(H M )
（3）在两种不同均匀介质交界
面上的一个很薄的层内，由于两
种物质的极化强度不同，存在极
化面电荷分布。
n
P
n
(P2
P1)
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3、电位移矢量的引入
P P
E
f
P
0
(0E P) f
D 0E P
存在束缚电荷的情况下，总电 场包含了束缚电荷产生的场，一 般情况自由电荷密度可知，但束 缚电荷难以得到(即使实验得到极 化强度,他的散度也不易求得)为 计算方便，要想办法在场方程中 消掉束缚电荷密度分布。
介质中的磁场由 J f JP JM JD 共同决定
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0 J f JP JM JD
B
0J f
0
P t
0 M
00
E t
1
0
BM
Jf
0
E t
P t
P
JP
t
JM JD
0
M
E t
B
0
M
Jf
D t
磁场强度
H
chapter1_4
描述变化的磁场激发电场，相关实验 规律是法拉第“电磁感应定律”； 描述电流和变化的电场激发磁场，相 关实验规律是毕奥-萨伐尔定律”； 描述电荷激发电场，相关实验规律是 “库伦定律”； 描述磁场是无源场(磁单极子不存在)， 相关实验规律是“毕奥-萨伐尔定律”；
H
B
0
M
(2) 辅助方程
有外场时 取向趋同＋极化
有极分子的取向极化
E E0 E
-
pi 0
E
+
+
+ + +
F
-
p
F E0
E0
E0
电极化强度矢量：
P
pi V
l
en
dS
P, E
(1) 介质的内部
nql dS np dS P dS 由V内通过界面 S穿出去的正电荷为:
无外场时
pi 0 pi 0
± ± ±
± ± ±
± ± ±
± ± ±
± ± ±
有外场时
一致极化 pi 0
- F -
+
+ +
- - + -+ p - + - + -
+
+ +
- + F - + - +
E0
无外场时 pi 0 取向无规则 pi 0
m ia
mi 0 mi 0
B0
单个分子 微体积元
mi 0 mi 0
B0
取向趋同
定义磁化强度 mi M V • 单位体积内的等效磁偶极矩 • 局域量 由图可知，通过S的总磁化电流IM 等于边界线L所 链环着的分子数目乘上每个分子的电流i. 因为若分子
1-4介质的电磁性质要点
M
N Vmi V
Nmi
磁化电流
设磁介质内部任一曲面，其边界线为L
Im
M dl
l
s jm ds
M ds
s
jm M
极化电流
P • 电场变化时， 发生变化，产生极化电流。
•
设 为
V 内每个带电粒子的位置矢量为
ei
，
则极化强度为：
P
ei
Xi
Xi
，
带电
V
• 极化电流密度为
P t
ei X i V
s
PdV V
V pdV
p P
两介质分界面上的面极化电荷
p n (P2 P1)
n为分界面上由介质1指向介质2的法线上的单位矢。
介质中的场方程
在真空中高斯定理的微分形式为▽·E=ρ/ε0，其中的电荷是 指自由电荷。在电介质中， 高斯定理的微分形式便可写为
E
1
0
(
P
)
将ρP =-▽ ·P代入，得
介质中的麦克斯韦方程组
D
B
E
t
(4.23)
B 0
H J D t
麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
D 0E P (4 - 7)
B 0(H M )
(4 - 18)
J E
对于各向同性的线性媒质， 上列公式可以写为
D E
B
H
J E
E t
P jm M jp t
（4.16）
( B
0
M)
Jf
D t
（4.17）
令
H B M
0
H
介质的电磁性质
介质表面均匀分布着等量异号的极化电荷.
板外：E外 E0
板内：E1 E0 E仍为均匀电场。 A
E1 E1t E1n
利用边值关系 E1t E2t E sin
D1n
D2n
E
cos
E1n
E
cos
E1
E1t2 E2t2
sin2 ( cos )2 E
E1,n的夹角
tg
E1t E1n
些有极分子在电场作用下按一定方向有序排列，从 宏观上来看这两种行为都相当于产生了一个电偶极 矩。在电磁学中，曾引进了极化强度矢量：
pi
P i V
其中 pi是第 i 个分子的电偶极矩，即
求和是对 V体积中所有分子进行的。
pi qili
a) 极化电荷体密度与极化强度的关系
由于极化，正负电荷间发生了相对位移，每处的 正负电荷可能不完全抵消，这样就呈现宏观电荷，
负电荷，即
S
Qp Q P dS S
因为
Qp V pdV
式中V是S所包围的体积，所以
V pdV P dS V PdV S
即
p P
由此可见，负电荷为极化源头，正电荷为极化 尾闾。
b) 极化电流密度与极化强度的关系
当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷 的相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称
由n D2 D1 得：应用于上下极板界面
D1 f , D2 f .
E1
f 1
,
E2
f 2
,
由于 p n P2 P1 , 对两介质分界面：
p
P2 P1
e2 E2
e1
E1
2
1
f
0
左极板： p1 n
§1.4 介质的电磁性质
多数物质(除晶体外)在场不太强时，其对场的反应 是线性的(尤其各向同性)，体现在性能方程上： 有导电物质时 P e 0 E, D E J E M m H , B H
方程组各个式子都有各自的出处， B E 和原有物理含义及其演变； t 第一、二式反映了电磁场的基本 B 0 属性，适用于所有介质(因与介 D 质无关)； H J t 第三、四式引入的辅助量使理论 更简洁，也更容易操作。 D
介质由中性分子(带电粒子)组成。电动力学：各种 介质的电磁性质 → 电磁场与介质的相互作用。
2.电介质的分类与极化 无极分子：正负电中心重合/中性/无偶极矩。外电场 使正负电中心分离(位移极化)，宏观有极； 有极分子：正负电中心分离/非中性/有偶极矩。但分 子无规则运动抵消了电中性，使宏观平均电偶极矩为 零。外电场定向排列偶极矩(取向极化)，宏观有极。
电容率
r 1 e
极化率
相对电容率
3. 介质的磁化
安培：磁现象源于分子电流。
一个分子可等效为右图的电流 环，其分子磁矩(磁偶极矩)为： m ia 当施加外磁场时，这种 分子磁矩将定向排列，在 介质面上产生宏观面电流/ 磁矩 → 磁化。
磁化使介质表面形成宏 观面电流分布，即磁化面 电流(密度)，显磁性。
B 0 D H J t D
0
r0， r 1 M
介质均匀时， 算符不作用
例2 求线性均匀导体内自由电荷密度随时间变化规律。
解：
J E
D J 0 t
D E
显然 J M 0 对比 J 0
磁化电流不引起电 荷的累积，不存在 磁化电流的源头
方程组各个式子都有各自的出处， B E 和原有物理含义及其演变； t 第一、二式反映了电磁场的基本 B 0 属性，适用于所有介质(因与介 D 质无关)； H J t 第三、四式引入的辅助量使理论 更简洁，也更容易操作。 D
介质由中性分子(带电粒子)组成。电动力学：各种 介质的电磁性质 → 电磁场与介质的相互作用。
2.电介质的分类与极化 无极分子：正负电中心重合/中性/无偶极矩。外电场 使正负电中心分离(位移极化)，宏观有极； 有极分子：正负电中心分离/非中性/有偶极矩。但分 子无规则运动抵消了电中性，使宏观平均电偶极矩为 零。外电场定向排列偶极矩(取向极化)，宏观有极。
电容率
r 1 e
极化率
相对电容率
3. 介质的磁化
安培：磁现象源于分子电流。
一个分子可等效为右图的电流 环，其分子磁矩(磁偶极矩)为： m ia 当施加外磁场时，这种 分子磁矩将定向排列，在 介质面上产生宏观面电流/ 磁矩 → 磁化。
磁化使介质表面形成宏 观面电流分布，即磁化面 电流(密度)，显磁性。
B 0 D H J t D
0
r0， r 1 M
介质均匀时， 算符不作用
例2 求线性均匀导体内自由电荷密度随时间变化规律。
解：
J E
D J 0 t
D E
显然 J M 0 对比 J 0
磁化电流不引起电 荷的累积，不存在 磁化电流的源头
§1.4-介质中电磁场的性质解读
V
显然： Q QP
p ( x )dx P dS 所以有： V 套用Gauss公式有： p ( x ) P dx 0 V 由此得： P p ( x )
电动力学
电动力学
电动力学xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzdededede?????????????????????????????????????????????电动力学b?h?je????????而在强场作用下介质的电磁性质一般都不再保持线性关系开始出现非线性项
电动力学
§1· 4 介质中电磁场的性质
S
L
5、极化电流
若外加电场为时变场，则介质内的极化过程也在不停的变 化，由此产生所谓的极化电流。 对于有限体积元V，其总电偶极矩可以表示为： p qi xi i qi xi 则极化强度为： P i V qi vi qi P i i 则： v P v J p t V V
导致介质的极化
电动力学
电动力学
P 0 因而： EP 0 P 0
另外，外加磁场会改变分子电流环的取向，由此导致：
Jm 0 Bm 0 m 0 E E0 EP 所以，在介质中： B B0 Bm
电动力学
电动力学
6、介质中的磁场
根据以上讨论，介质中可能存在三种宏观电流：J f , J p , J m E 则： J J f J p Jm 0 t E 则在介质中有： B 0 J f J p J m 0 t P E 根据前面的讨论有： B 0 J f M 0 t t 1 P 0E 整理得： B M J f t 0 1 D 所以有： B M J f t 0
显然： Q QP
p ( x )dx P dS 所以有： V 套用Gauss公式有： p ( x ) P dx 0 V 由此得： P p ( x )
电动力学
电动力学
电动力学xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzdededede?????????????????????????????????????????????电动力学b?h?je????????而在强场作用下介质的电磁性质一般都不再保持线性关系开始出现非线性项
电动力学
§1· 4 介质中电磁场的性质
S
L
5、极化电流
若外加电场为时变场，则介质内的极化过程也在不停的变 化，由此产生所谓的极化电流。 对于有限体积元V，其总电偶极矩可以表示为： p qi xi i qi xi 则极化强度为： P i V qi vi qi P i i 则： v P v J p t V V
导致介质的极化
电动力学
电动力学
P 0 因而： EP 0 P 0
另外，外加磁场会改变分子电流环的取向，由此导致：
Jm 0 Bm 0 m 0 E E0 EP 所以，在介质中： B B0 Bm
电动力学
电动力学
6、介质中的磁场
根据以上讨论，介质中可能存在三种宏观电流：J f , J p , J m E 则： J J f J p Jm 0 t E 则在介质中有： B 0 J f J p J m 0 t P E 根据前面的讨论有： B 0 J f M 0 t t 1 P 0E 整理得： B M J f t 0 1 D 所以有： B M J f t 0
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量En 、 n 。本节主要是讨论两种不同介质的分界面上 B Maxwell’s equations 的形式，亦即电磁场边值关系。
大家知道, 由于在外场作用下，介质分界面上一
般出现一层束缚电荷和电流分布，这些电荷、电流的
存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量跃变是
面电荷、面电流激发附加的电磁场产生的，描述在两 介质分界面上，两侧场量与界面上电荷、电流的关系，
改写上式为
0 D H J f t
b. B和H之间的实验关系 实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化 强度M和H之间有简单的线性关系 M称为磁化率。 M M H
M M H
H
B
0
M
H M H
B
0
B H , r 0 , r 1 M
磁力矩力图使磁矩转 向磁场的方向
Fab
B
en
介质的磁化（magnetization of dielectric)
介质的磁化说明介质对磁场的反映,介质内部分的电子运动构 成微观环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。在没有外 磁场时，这些磁矩取向是无规则的，不呈现宏观电流效应，一旦 这就是磁化现象。
于是
D E r 0 ,
r 1 e
D f
2、介质的磁化（magnetization of dielectric)
回顾磁场作用于载流线圈的磁力矩
l1 a
d
均匀磁场中有一矩形载流线圈 F 0 M M ab M cd M r F
B H
磁导率张量
D1 11E1 12 E2 13 E3 3 D2 21E1 22 E2 23 E3 合写成 Di ij E j j 1 D3 31E1 32 E2 33 E3
B、电磁场较强时
复习 （1）Maxwell’s equations in Vacuum
E B E t B 0 E B 0 J 0 0 t
0
（2）洛仑兹力
f ( E v B) F Fe Fm q( E v B)
r 0 , r 1 M
在导电物质中 J E
σ称为电导率
作业:P35 习题7 、 8、9
§1.5 电磁场边值关系 Boundary Conditions of Electromagnetic Field
在电动力学中，我们关心的场量 E 、B 是一个矢 量，要想确定区域V中的 E和 B ，必须知道V中每一 点E 、 B 的散度和旋度，以及在边界面上的法线分
3.极化电流JP 当电场变化时，介质的极化强度P 发生变化，这种变化产生另一种电 流，称为极化电流。
P ei xi V P ei vi JP t V
a.定义：
b.表示式
xi是V内每个带电粒子的位置，其电荷为ei 。
4.介质和磁场的相互作用
a.介质与磁场是相互作用、相互制约的。 介质对磁场的作用是通过诱导电流JP+ JM激发
利用
JM M
P JP t
D 0E P
得
B D M J f t 0
D B M J f t 0 B H M 引入磁场强度H，定义为
电位移矢量与电场强度的关系为非线性关系
Di ij j ijk E j Ek ijkl E j Ek El
j jk jkl
i 1,2,3
对于铁磁物质，一般情况不仅非线性，而且非单值
在电磁场频率很高时，情况更复杂，介质会出现色散现象。 即使在电磁场较弱的情况, , 表现为频率的函数。
磁场。因此，麦氏方程中的J包括自由电流密度
JP和介质内的诱导电流密度JP+ JM在内，则在 介质中的麦氏方程为
1 E B J f JM JP 0 0 t
1 E B J f JM JP 0 0 t
在外磁场作用下，环形电流出现有规则取向，形成宏观电流效应，
a).磁化强度M
分子电流可以用磁偶极矩描述，把分子电流看作载有 电流i的小线圈，线圈面积为a.则与分子电流相应的磁矩为 m ia 介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M， 其定义为，其定义为单位体积内的磁偶极子数：
M
由此，
P n P2 P 1
n为分界面上由介质1指向介质2的法线。 所谓面束缚电荷不是真正分布在一个几何面上的 电荷，而是在一个含有相当多分子层的薄层内的效应。
2.介质与场的相互作用 a.介质与场是相互作用的 介质对宏观场的作用就是通过束缚电荷激发电场。 因此，在麦氏方程中的电荷密度包括自由电荷密度和 束缚电荷密度，故有
r 1 e
r 0 , r 1 M
在导电物质中 J E σ称为电导率
0
E
B E t B 0 E B 0 J 0 0 t
解决实际问题时，除了麦氏方程组，还必须引 入关于介质电磁性质的实验关系 首先讨论非铁磁介质 A、电磁场较弱
D 0E P
D f
b. D和E之间的实验关系 对于一般各向同性线性介质，极化强度和之间有简 单的线性关系
P e 0 E
e称为介质的极化率。
0 E P f P e 0 E D 0E P 0 E e 0 E 1 e 0 E
是本节的主要讨论内容。
然而，微分形式的Maxwell’s equations不能应用
到两介质的界面上, 这是因为Maxwell’s equations对
场量而言, 是连续、可微的。只有积分形式的
Maxwell’s equations 才能应用到两介质的分界面上，
这是因为积分形式的Maxwell’s equations对任意不连
0 E f P
在实际问题中,束缚电荷不易受实验条件限制,我 们可以将其消去,得 P P 0 E f P
0 E P f
0 E P f
引入电位移矢量D，定义为 可以得
mi V
其中m是第i 个环形电流的磁偶极子，即 i
mi ii ai
简化模型: 每个分子电流都相等，为
M
mi
ia
Nm nm nia V V
b) 磁化电流密度与磁化强度的关系 由于磁化，引起介质内部环形电流有规则取向，呈 现宏观电流效应，这种由磁化引起的电流称为磁化电流。 设S为介质内部的一个曲面，其边界线 为L，环形电流通过S面有两种情况:
P P
（3）介质的极化
b.两介质分界面上的束缚电荷的概念
非均匀介质极化后，整个介质内部都出现极化电荷。在均
匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。
在介质1和介质2分界面上取一个面元为dS
介质1 介质2
dS
在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄层内。
dS
通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为
在边界线L上取一线元dl ，设环 形电流圈 的面积为 a ，则由图可 见，若分子中心位于体积元a dl 的柱体内，则该环形电流就被dl
a
所穿过。 因此，若单位体积内分子数 为n，则被边界线L穿过的环形电 流数目为
L
na dl
dl
（注意反向电流位于面元内部与积分 线元反向）
1 1 1 M ab L1 Fab sin L1 IBL 2 sin ISB sin 2 2 2
l2 I c
Fcd
B
M cd M ab
M ISB sin
b
M Pm B
M SIen B P SIen 线圈磁矩 m
P与E，M与H，D与E，B与H 均呈线性关系
a 各向同性均匀介质
D E
B H
b 各向异性介质（如晶体）
D E
电容率张量
11i i 12i j 32 k j 33k k
表面上却有电流分布：
M C
为此，要引入面电流密度的概念。面电流实际上是靠近表面 的相当多分子层内的平均宏观效应，对于宏观来说薄层的厚度趋于 零，则通过电流的横截面变为横截线。
电流面密度（或叫电流线密度）的大小定义为垂直通过单位横 截面（现在为线）的电流,它们方向即为该点电流的方向。
m I m / l
此数目乘上每个环形电流i ，即得从S背面流向 前面的总磁化电流：
I m ina dl M dl
L
以 J 表示磁化电流密度，有
m
L
J m dS M dl
S L
M dl ( M ) dS
L S
( J m M ) dS 0
S
对 J m两边 m 0
这就说明磁化电流不引起电荷的积累，不存在磁化
电流的源头。
对于均匀介质，磁化后介质内部的 M 为一常矢量。可 见 J m M 0 ，即介质内部 J 0 。 m
导体中的欧姆定律
J E
电导率
适用于所 有情况
总结本次课的内容: