贵州大学附中2013高考数学一轮复习 三角恒等变换单元练习

2013贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习--三角恒等变换
I 卷
一、选择题
1．已知354sin )6cos(=
+-απ
α，则)67sin(πα+的值是（ ） A
．5- B ．
5 C ．45- D ． 45
【答案】C
2．sin105°＋sin15°等于( )
A ．32
B ．22
C ．
62 D ．64
【答案】C
3．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于( ) A ．225 B ．－225
C ．425
D ．－425
【答案】A
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )
A ．－45
B ．－35
C ．35
D ．45
【答案】B
5．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6
)的值是( ) A ．－235
B ．235
C ．－45
D ．45
【答案】C 6．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值是( ) A ．2－ 3 B ．－2－ 3
C ．2＋ 3
D ．－2
＋ 3 【答案】B
7． 若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则cos sin αα+的值为（ ）
A
．2- B ．12- C ．12 D
．2
【答案】C
8．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )
A ．2
B ．12
C ．3
D ．13
【答案】B
9．计算︒-5.22sin 212的结果等于（ ）
A ． 21
B ． 22
C ． 33
D ． 2
3 【答案】B
10． 把x x sin 3cos +化简后的结果是 ( ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛
-3cos 2πx B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+3cos 2πx C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3cos 21πx D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+3cos 21πx 【答案】A
11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则
cos2θ=（ ）
A ． 45-
B ．35
- C ． 35 D ．45 【答案】B
12．
若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A
． B ．12- C ．12 D
【答案】C
II 卷
二、填空题
13．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x 的最大值为________． 【答案】2＋34
14．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2
＝________. 【答案】－12
15．若13cos(),cos()55αβαβ+=
-=，则tan tan αβ=___________. 【答案】2
1 16．已知α为第三象限的角，3cos 25α=-
，则tan(2)4πα+=___________. 【答案】7
1-
三、解答题
17．已知函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin 32)(22x x x x x f ． (1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；
(2）若0)(=x f ，求
)2
sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值． 【答案】（1
）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226
x x x x f x x x x =--=-=- 当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2. (2）令()0f x =
时，得tan x =
∴sin cos()
sin cos tan 1 2.sin cos tan 1
sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++-
18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别为
a ，
b ，
c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .
(1)求sin A 的值；
(2)求2sin(A ＋π4)sin(B ＋C ＋π4)1－cos2A
的值． 【答案】(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223
． 又0＜A ＜π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13
． (2)原式＝2sin(A ＋π4)sin(π－A ＋π4)1－cos2A
＝2sin(A ＋π4)sin(A －π4)2sin 2A
＝2(22sin A ＋22cos A )(22sin A －22cos A )2sin 2A
＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72
． 19．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图5－3所示．
(1)求ω，φ的值；
(2)设g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π8－1，当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．
【答案】(1)由图象知T ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2. 由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π2
(k ∈Z )， ∵|φ|<π，∴φ＝－π2
． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ， ∴g (x )＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π8－1 ＝22(－cos x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝22cos x ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤22(cos x ＋sin x )－1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1 ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4． ∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]．
20．已知51cos sin ,02=+<<-
x x x π. (I ） 求sin x －cos x 的值； (II ） (Ⅱ）求2
23sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x
-++的值 【答案】(1) .57cos sin -=-x x (2)
125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x (Ⅰ）由,25
1cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=
+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x Θ 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π
Θ
故 .5
7cos sin -=-x x
(Ⅱ） x
x x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2tan 1tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-
=--=x x x x
21．已知函数331sin()cos()tan 224()cos x x f x x
πππ--
+++=． (1）求函数)(x f y =的定义域；
(2）设3
4tan -=α，求()f α的值． 【答案】（1）由0cos ≠x ，得,2x k k ππ≠
+∈Z 所以函数的定义域是{|,}2x x k k ππ≠
+∈Z ； (2）34tan -=α，α为第四象限角，∴54sin -=α，5
3cos =α 31sin()cos()1cos sin 22()cos cos f ππααααααα
--++--== 341()5523
5
---== 22．设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且x 2
－x sin A cos B ＋sin C ＝0的两根为α、β，且α＋
β＝12
αβ，判断△ABC 的形状． 【答案】∵α，β是方程x 2－x sin A cos B ＋sin C ＝0的两根，
∴α＋β＝sin A cos B ，αβ＝sin C .
又α＋β＝12
αβ， ∴2sin A cos B ＝sin C ，
∴2sin A cos B ＝sin π－(A ＋B )，
∴2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，
∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
即sin(A －B )＝0.
又0<A <π，0<B <π，
∴－π<A －B <π，
∴A －B ＝0，即A ＝B ，
∴△ABC 为等腰三角形．。