2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲指数与指数函数

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年高考第一轮复习数学指数与指数函数

指数与指数函数●知识梳理1.指数（1）n 次方根的定义若 x n =a，则称 x 为 a 的 n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根 .（2）方根的性质①当 n 为奇数时，n a n=a.②当 n 为偶数时，n a na( a0), =|a|=( a0).a（3）分数指数幂的意义m①a n = n a m（a＞0，m、n 都是正整数， n＞1）.m11②a n= m=a n n a m（a＞0， m、n 都是正整数， n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数 y=a x（a＞0 且 a≠ 1）叫做指数函数 .（2）指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象对于y 轴对称 .（3）指数函数的性质①定义域： R.②值域：（0，＋∞） .③过点（ 0，1），即 x=0 时， y=1.④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当0＜a＜1 时，在 R 上是减函数 .●点击双基1. 3a·6 a 等于A. －aB.－aC.aD. a11111分析：3 a ·6 a =a3·（－ a）6 =－（－ a）36=－（－ a）2 .答案： Ax2.（2003 年郑州市质量检测题）函数y=2 3的图象与直线 y=x 的地点关系是x分析： y=23 =（32）x.∵3 2 ＞1，∴不行能选 D.x x又∵当 x=1 时， 2 3＞x，而当 x=3 时， 2 3＜x，∴不行能选 A 、B.答案： C3.（2004 年湖北，文 5）若函数 y=a x+b－1（a＞0 且 a≠1）的图象经过二、三、四象限，则必定有＜a＜1 且 b＞0＞1 且 b＞ 0＜a＜1 且 b＜0＞1 且 b＜ 0分析：作函数 y=a x－的图象.+b1答案： C4.（2004 年全国Ⅱ，理6）函数 y=－e x的图象A. 与 y=e x的图象对于 y 轴对称B.与 y=e x的图象对于坐标原点对称C.与 y=e－x的图象对于 y 轴对称D.与 y=e－x的图象对于坐标原点对称分析：图象法 .答案： D5.（2004 年湖南，文 16）若直线 y=2a 与函数 y=|a x－ 1|（a＞ 0 且 a≠ 1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ___________________.分析：数形联合 .由图象可知 0＜2a＜1，0＜a＜1 . 21答案： 0＜a＜6.函数 y=（1）x22 x 2的递加区间是 ___________. 2分析：∵ y=（1）x在（－∞， +∞）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1 2的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递加区间是（－∞，1］ .答案：（－∞， 1］●典例分析【例 1】以下图是指数函数（ 1）y=a x，（2）y=b x，（3）y=c x，（4）y=d x的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是＜b＜1＜c＜d＜a＜1＜d＜c＜a＜b＜c＜d＜b＜1＜d＜c分析：可先分两类，即（ 3）（4）的底数必定大于1，（1）（2）的底数小于 1，而后再从（ 3）（4）中比较 c、d 的大小，从（ 1）（ 2）中比较 a、b 的大小 .解法一：当指数函数底数大于 1 时，图象上涨，且当底数越大，图象向上越凑近于y 轴；当底数大于0 小于 1 时，图象降落，底数越小，图象向右越凑近于x 轴.得 b＜a ＜1＜ d＜ c.解法二：令 x=1，由图知∴b＜a＜1＜d＜c.答案：Bc1＞d1＞a1＞ b1，【例 2】已知 2 x 2x≤（ 1） x － 2，求函数 y=2x－ 2－x的值域 .4解：∵ 2 x 2 x ≤2－ 2（ x －2），∴ x 2+x ≤ 4－2x ，即 x 2 +3x －4≤0，得－ 4≤ x ≤ 1.又∵ y=2x－2－x是［－ 4，1］上的增函数， ∴ 2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数 y 的值域是［－255，163］.2【例 3】要使函数 y=1+2x +4x a 在 x ∈（－∞， 1］上 y ＞0 恒建立，求 a 的取值范围.x解：由题意，得 1+2x +4xa ＞0 在 x ∈（－∞，1］上恒建立，即 a ＞－12在x ∈（－4x∞，1］上恒建立 .又∵－1 2 x=－（ 1）2x－（ 1） x=－［（ 1）x+ 1］2+ 1，当 x ∈（－4x22224∞， 1］时价域为（－∞，－3］，∴a ＞－3.44评论：将不等式恒建立问题转变为求函数值域问题是解决这种问题常用的方法.●闯关训练夯实基础1.已知 f （ x ）=a x ，g （ x ）=－ log b x ，且 lga+lgb=0，a ≠1，b ≠ 1，则 y=f （x ）与 y=g（x ）的图象A. 对于直线 x+y=0 对称B.对于直线 x － y=0 对称C.对于 y 轴对称D.对于原点对称分析： lga+lgb=0ab=1.∴g （x ）=－log b x=－log a － 1x=log a x.∴f （x ）与 g （ x ）的图象对于 y=x 对称 .答案： B2.以下函数中值域为正实数的是=－5x=（ 1 ）1－ x31 x1= 1 2 x= ( )2分析：∵ y=（ 1）x的值域是正实数，而 1－x ∈R ，∴ y=（ 1）1－x的值域是正实数 .33答案： B化简a 3b 2 3 ab 2 （a ＞0，b ＞0）的结果是 ___________________.3.1 14 3b42 )(a ba3211 3 1 1 10 4 分析：原式 =a 2322 b 2 6363= a.b [( ab )1 ]= aa 7 b= a2 b 7ab 2 ( b) 3a 3b 3a 3b 3 ba答案：ab知足条件m m 2＞（ m m ） 2的正数 m 的取值范围是 ___________________. 4.分析：∵ m ＞ 0，∴当 m ＞1 时，有 m 2＞ 2m ，即 m ＞ 2；当 0＜ m ＜1 时，有 m 2＜2m ，即 0＜m ＜ 1.综上所述， m ＞2 或 0＜ m ＜ 1.答案： m ＞2 或 0＜m ＜15.（2004 年湖北，理 7）函数 f （ x ）=a x +log a （ x+1）在［ 0，1］上的最大值与最小值的和为 a ，则 a 的值为A.1B. 142解析： f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上是单调函数，由已知 f （ 0 ） +f （ 1 ）=a 1+log a 1+a+log a 2=alog a 2=－ 1 a= 1.2答案： B已知x－10·3x≤ ，求函数（ 1）x －1－4（ 1 ） x的最大值和最小值.6.9+9y=+242解：由 9x － 10·3x +9≤ 0 得（3x－1）（3x－9）≤0，解得 1≤3x≤9.∴ 0≤ x ≤2.令（ 1）2x=t，则1 ≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－ 1）2+1.当t= 1即x=1时， ymin=1；当t=1即x=0 422时， y max=2.7.若 a 2x+ 1·a x－ 1≤0（a ＞0 且 a ≠1），求 y=2a 2x －3·a x+4 的值域 . 2 2 解：由 a 2x+ 1·a x－ 1 ≤0（a ＞0 且 a ≠ 1）知 0＜a x≤ 1.222令 a x=t ，则 0 ＜ t ≤ 1，y=2t 2－3t+4.借助二次函数图象知 y ∈［ 3，4）.28.（2004 年全国Ⅲ， 18）解方程 4x +|1－ 2x |=11.解：当 x ≤0 时， 1－2x ≥0.原方程4x －2x － 10=0 2x= 1 ±412x= 1 －41＜0（无解）或 2x= 1+ 41 ＞2 2222 21 知 x ＞0（无解） .当 x ＞ 0 时， 1－2x ＜ 0. 原方程4x x－12=02x － 1 ± 7x －（无解）或x2 （为原方+2=222 =42 =3 x=log 3程的解） .研究创新若对于的方程－|x+1|－|x+1|有实根，求 m 的取值范围 .x 25 －4· 5－m=09.解法一：设 y=5－|x+1|，则 0＜ y ≤1，问题转变为方程 y 2－4y －m=0 在（ 0，1］内有实根 .设 f （ y ） =y 2－ 4y －m ，其对称轴 y=2，∴ f （0）＞ 0 且 f （1）≤ 0，得－ 3≤ m ＜0.解法二：∵ m=y 2－ 4y ，此中 y=5－|x+1|∈（ 0，1］，∴ m=（y －2）2－ 4∈［－ 3，0）.●思悟小结1.利用分数指数幂的意义能够把根式的运算转变为幂的运算，进而简化计算过程 .2.指数函数 y=a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质受a 的影响，要分 a ＞1 与 0＜a ＜1来研究 .13.指数函数的定义重在“形式” ，像 y=2· 3x ，y=2 x ，y=3 x 2 ，y=3x +1 等函数都不切合形式 y=a x （ a ＞ 0， a ≠ 1），所以，它们都不是指数函数 .●教师下载中心1.本小节的要点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式因为自变量的不一样取值而有不一样大小关系时，一定对字母参数或自变量取值进行分类议论.用好用活指数函数单一性，是解决这一类问题的要点.2.对可化为 a2x+b·a x+c=0 或 a2x+b· a x+c≥0（≤ 0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提示学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例1 a b【例 1】若 60a＝3，60b＝5.求 12 2(1 b)的值 .1－b＝1－log605＝ log6012，1－a－b＝1－log603－ log605＝log604，1 a b ＝ log 60 4＝log12，1b log 60 121 a b112 2(1b)＝12 2＝12log12 2＝2.log12 4【例 2】方程 2x=2－x 的解的个数为 ______________.分析：方程的解可看作函数y=2x和 y=2－ x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（以以下图） .由图象得只有一个交点，所以该方程只有一个解.答案： 1评论：没法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形联合的思想.。

2013届高三数学一轮复习同步(8)指数与指数函数A文新人教B版

课时作业(八)A [第8讲指数与指数函数][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．92．下列函数中，值域为{y |y >0}的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 3．下列等式成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝m 17n 7 B.12－4＝3－2 C 4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝334．若a ＝50.2，b ＝0.50.2，c ＝0.52，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a能力提升5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6．定义一种运算：a b ＝⎩⎨⎧ a a ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x －x )，那么函数y＝f (x ＋1)的大致图象是( )图K8－1 7．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )图K8－2 8．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 9.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________.10．已知集合P ＝{(x ，y )|y ＝m }，Q ＝{(x ，y )|y ＝a x ＋1，a >0，a ≠1}，如果P ∩Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．11．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．12．(13分)函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．难点突破13．(12分)(1)已知f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？课时作业(八)A【基础热身】1．B [解析] []－612－(－1)0＝8－1＝7. 2．B [解析] ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数，而1－x ∈R ，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x 的值域是正实数． 3．D [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7·m －7，12－4＝32，4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34. 4．A [解析] a ＝50.2>50＝1,0.52<0.50.2<0.50＝1. 【能力提升】5．B [解析] 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9.所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7.6．B [解析] f (x )＝2x －x )＝⎩⎨⎧ 2x x ，3－x x ，所以f (x ＋1)＝⎩⎨⎧ 2x ＋1x ，2－x x，该函数的图象是选项B ，故选B. 7．D [解析] x >0时，y ＝a x ；x <0时，y ＝－a x .即把函数y ＝a x (0<a <1，x ≠0)的图象在x >0时不变，在x <0时，沿x 轴对称．8．A [解析] 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2535<⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，所以，b <c ；由函数y ＝x 25为增函数知，⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，所以，c <a .故a ＞c ＞b ，选A. 9．2 [解析] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 10．(1，＋∞) [解析] 如果P ∩Q 有且只有一个元素，即函数y ＝m 与y ＝a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象只有一个公共点．∵y ＝a x ＋1>1，且单调，∴m >1.∴m 的取值范围是(1，＋∞)．11．(－2012,2012) [解析] ∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，∴y ＝a x ＋2012＋2011恒过定点(－2012,2012)．12．[解答] 由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．【难点突破】13．[解答] (1)常数m ＝1.(2)y ＝|3x －1|的图象如下．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．。

高考文科数学一轮复习：指数与指数函数

夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
考点
五年考情
素养定位
1．指数幂的运算 5 年 2 考 1．指数幂的运算，提升数学运算素养
2．指数函数的图象
2．指数函数的图象及应用，达成直观想象
5年3考
及应用
和逻辑推理素养
3．指数函数的性质
3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理
5年3考
及应用
和数学运算素养
1．根式
(1)概念：式子n a叫作根根式式，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．
(2)性质：(n a)n＝a(a 使n a有意义)；当 n 为奇数时，n an＝a，当 n 为
偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
2．分数指数幂
夯实双基·自主梳理
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
趋势分析高考中考查内容多以指数函数的图象和性质为主，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题的形式出现
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
夯实双击自主梳理
A．关于 y 轴对称
B．关于 x 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线 y＝x 对称
解析
∵y＝12
x＝2－x，∴它与函数

y＝2x
的图象关于
y
轴对称．
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
4．已知函数 f(x)＝4＋ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是 (A )

2013届高考数学一轮复习课时训练2.6指数与指数函数B

2.6 指数与指数函数B 组专项能力提升题组一、选择题1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x 的值域是 ( )A.RB.(0，＋∞)C.(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( ) A.(－∞，1] B.[2，＋∞)C.(－∞，1]∪[2，＋∞)D.(－∞，1)∪(2，＋∞) 3.若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]二、填空题4.函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.5.函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________.6.关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题7.已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1].(1)求a 的值.(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围.8.已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0，且a ≠1). (1)判断f (x )的单调性；(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围.B 组1.D2.C3.B4.95. 26.－23<a <347.解方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝1222x x -(λ－1222x x -)>0恒成立，即λ<1222x x -恒成立.由于1222x x->20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. 方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2·(－2·2x ＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x 恒成立.所以实数λ的取值范围是λ≤2.8.解 (1)设x 1<x 2，x 1－x 2<0,1＋12x x a+>0. 若a >1，则1x a <2x a ，a a 2－1>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－112()x x a a -·1211x x a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；同理，若0<a <1，则a x 1>a x 2，a a 2－1<0， f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－112()x x a a -·1211x x a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数.综上，f (x )在R 上为增函数.(2)f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )，则f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )，显然f (－x )＝－f (x ).f (1－m )＋f (1－m 2)<0，即f (1－m )<－f (1－m 2)⇔f(1－m)<f(m2－1)，函数为增函数，且x∈(－1,1)，故解－1<1－m<m2－1<1，可得1<m< 2.高。

(最新整理)高三第一轮复习指数及指数函数

2021/7/26
5
指数幂的化简与求值的原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序.
【注意】有理数指数幂的运算性质中，其底数都大
于0，否则不能用性质来运算.
2021/7/26
6
化简下列各式(其中各字母均为正数).
2021/7/26
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.
所以1a＋12＝16，
所以 a＝－15或 a＝13.
2021/7/26
26
又因为 a>0，所以 a＝31.
②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，
此时 f(t)在1a，a上是增函数．所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(a＝－5 舍去)．
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•【典例】设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－ 1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
[解析] 令 t＝ax(a>0 且 a≠1)，则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，
此时 f(t)在a，1a上为增函数．
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12
设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下
列关系式中一定成立的是： ( )
A.3c<3b
B.3c>3b
C.3c＋3a>2
D.3c＋3a<2
【解析】画出f(x)＝|3x－1|的图象如下图：
数形结合法)作f(x)＝|3x－1|的图象如图所

2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第五节指数与指数函数(广东专用)

的大小关系是( )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【解析】法一先比较 b 与 c，构造函数 y＝(25)x. ∵0＜25＜1，∴y＝(25)x 为减函数且35＞25， ∴b＝(25)35＜(25)25＝c.
32 ∵ac＝5252＝(32)25＞(32)0＝1，∴a＞c.
2．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
计算：(1)(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5； (2)(2x14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)(x＞0)．
【解】 (1)原式＝1＋14·(49)12－(1100)12 ＝1＋14×23－110 ＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝4x12－33－4x－12＋1＋4x0 ＝4x12－27－4x12＋4＝－23.
【答案】 B
指数幂的化简与求值
化简：(1)a41ba123b4a23－a31bb213(a＞0，b＞0)； (2)(－287)－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，然后运用幂的运算性质进行运算．
【尝试解答】
n为奇数， n为偶数；
(3)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ __a_r＋__s _(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ __a_rs__(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ __a_rb_r__(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域值域
性质
指数函数的图象与性质

2013届高考数学一轮复习教案2.6指数与指数函数

2.6 指数与指数函数1.根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若x n ＝a ，则x 叫做__________，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做__________，这里n 叫做__________，a 叫做______________.(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号__________表示.正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0).③( n a )n ＝______.④当n 为奇数时，n a n ＝______；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝__________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个 (n ∈N *). ②零指数幂：a 0＝______(a ≠0).③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N *). ④正分数指数幂：a m n＝______(a >0，m 、n ∈N *，且n >1). ⑤负分数指数幂：a －m n＝________＝________ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1). ⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂______________.(2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )；③(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q ).3.指数函数的图象与性质[1.根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程.2.指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论.1.用分数指数幂表示下列各式.(1)3x 2＝________；(2)4(a ＋b )3((a ＋b )>0)＝________；(3)m 3m＝________. 2.化简162[(2)]-－(－1)0的值为________.3.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________.4.若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.5.已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ( )A.5B.7C.9D.11题型一指数式与根式的计算问题例1 计算下列各式的值. (1)382-27（-）＋()120.002-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45；43342()a b a b - (a >0，b >0).探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.计算下列各式的值：(1)131.5-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6(2)4133223384a a ba b -+÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a (a >0，b >0). 题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )(2)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是________________.(3)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为 ( )(2)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及应用例3 设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解.由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.3.方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围.审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1).(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式.也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式.规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a . [4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. [7分](2)方法一由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即()()()()222221221222212221t k t t t t t k -+--+-+-+++-+<0. [9分] 整理得2322t t k -->1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0. [12分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. [14分]方法二由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ).因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分]即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. [14分] 批阅笔记 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立.所以还要注意检验.(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价转化为：t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立.这个转化考生易出错.其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－13.方法与技巧1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线.当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快.2.画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、⎝⎛⎭⎫－1，1a . 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解.失误与防范1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.答案要点梳理1.(1)a 的n 次方根根式根指数被开方数 (2)①n a ②n a － n a ± n a ③a④a ⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a ＜0) 2.(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1a m n1n a m ⑥0 没有意义 (2)①a r ＋s ②a rs ③a r b r 3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数基础自测1.(1)x 23 (2)(a ＋b )34 (3)m 522.73.(－2，－1)∪(1，2)4.35.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式＝23278-⎛⎫-⎪⎝⎭＋121500-⎛⎫ ⎪⎝⎭－105－2＋1 ＝23827⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12500－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝1122323311233b a b a b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝3111111226333a b +-++--＝ab －1. 变式训练1 解 (1)原式＝1323⎛⎫⎪⎝⎭×1＋()1342×142＋(132×123)6－1323⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝2＋4×27＝110.(2)令13a ＝m ，13b ＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝⎛⎭⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 例2 (1)D (2)0<a <1、b <0 (3)1变式训练2 (1)A(2)解函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示.当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 例3 解令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0).①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数. 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13. 又因为a >0，所以a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数.所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去).综上得a ＝13或3. 变式训练3 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1. (2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞).高*考∠试★题ο库。

2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料

2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料DB 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且01且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－11⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x上，∴y ＝(13)2－x＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R)6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e－xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x－1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K(x)＝⎩⎨⎧2－|x|，x≥1或x≤－1，12，－1<x<1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2a x－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．解：f(x)＝a2x＋2a x－1＝(a x＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，(1)当0<a<1时，a≤a x≤1a，∴当ax＝1a时，f(x)取得最大值．∴(1a ＋1)2－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13.(2)当a >1时，1a ≤a x ≤a ，∴当a x＝a 时，f (x )取得最大值．∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13或3.11．已知函数f (x )＝－22x －a ＋1.(1)求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称；(2)若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：设f (x )的图象C 上任一点为P (x ，y )，则y ＝－22x －a ＋1，P (x ，y )关于点M (a ，－1)的对称点为P ′(2a －x ，－2－y )．∴－2－y ＝－2＋22x －a ＋1＝－2·2x －a2x －a ＋1＝－21＋2－(x －a )＝－22(2a －x )－a ＋1，说明点P ′(2a －x ，－2－y )也在函数y ＝－22x －a＋1的图象上，由点P 的任意性知，f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称．(2)由f (x )≥－2x 得－22x －a ＋1≥－2x ，则22x －a ＋1≤2x ，化为2x －a ·2x ＋2x －2≥0，则有(2x )2＋2a ·2x －2·2a ≥0在x ≥a 上恒成立．令g (t )＝t 2＋2a ·t －2·2a ，则有g (t )≥0在t ≥2a 上恒成立．∵g (t )的对称轴在t ＝0的左侧，∴g (t )在t ≥2a 上为增函数． ∴g (2a )≥0.∴(2a )2＋(2a )2－2·2a ≥0，∴2a (2a －1)≥0，则a ≥0.即实数a 的取值范围为a ≥0.12．(2008年高考江苏)若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1、p 2为常数，且f (x )＝⎩⎨⎧ f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x ).(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1、p 2表示)；(2)设a ，b 是两个实数，满足a <b ，且p 1、p 2∈(a ，b )．若f (a )＝f (b )，求证：函数f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a 2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．解：(1)f (x )＝f 1(x )恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|⇔3|x －p 1|－|x －p 2|≤2⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|，当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ p 1－p 2，x p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32. 当p 1p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32.(2)证明：分两种情形讨论．①当|p 1－p 2|≤log 32时，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b ])，则由f (a )＝f (b )及a log 32时，不妨设p 1log 32.于是，当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x <3p 2－x <f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2>3log 32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图象交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32.① 显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎨⎧ f 1(x )，p 1≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，a ≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a ＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32.②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a 2. 综合①、②可知，f (x )在区间[a ，b ]上单调增区间的长度之和为b －a 2.第二节对数函数A组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________.解析：由题意f(x)＝log a x，∴a＝log a a12＝12，∴f(x)＝log12x.答案：log12x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．解析：a＝log3π>1，b＝log23＝12log23∈(12，1)，c＝log32＝12log32∈(0，12)，故有a>b>c.答案：a>b>c3．若函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41xxxx，则f(log43)＝________.解析：0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：34．如图所示，若函数f(x)＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝log a1x＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝ax －1，∴2＝a 4－1，即a ＝213>1. 又1x ＋1是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010)＝4，则f (2010)的值为_．解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x ＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010)－2]＝－2，即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：06．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意知⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2.∴⎩⎨⎧ log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4.∴⎩⎨⎧0<x <1或x >2，－1<x <2.∴0<x <1. B 组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e. 答案：1e5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0)6．(2009年高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2.答案：727．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N)时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2；当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1；当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0；当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1；当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：28．(2010年福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当01时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．答案：②9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：910．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0，即(x －1k)(x －1)>0. ①当0<k <1时，x <1或x >1k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k 或x >1.综上可得当0<k <1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k ，＋∞)；当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k )∪(1，＋∞)．(2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg(k＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)，∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0，又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)． 11．(2010年天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x 1－x>0 ，解得x ∈(－1,1)． (2)f (－x )＝log a 1－x 1＋x＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)若a >1，f (x )>0，则1＋x 1－x>1，解得0<x <1；若0<a <1，f (x )>0，则0<1＋x 1－x<1，解得－1<x <0.12．已知函数f(x)满足f(log a x)＝aa2－1(x－x－1)，其中a>0且a≠1.(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．解：令log a x＝t(t∈R)，则x＝a t，∴f(t)＝a a2－1(a t－a－t)，∴f(x)＝aa2－1(a x－a－x)．∵f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函数．当a>1时，aa2－1>0，a x是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数；当0<a<1，aa2－1<0，a x是减函数，－a－x是减函数，∴f(x)是R上的增函数．综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)． (2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)，∴f (x )－4<f (2)－4，要使f (x )－4的值恒为负数，只需f (2)－4≤0，即a a 2－1(a 2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3，∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.第三节幂函数与二次函数的性质A 组1．若a >1且01的解集为________．解析：∵a >1,01⇔log b (x －3)>0⇔log b (x －3)>log b 1⇔0<x －3<1⇔3<x <4.答案：{x |3<x <4}2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y ＝x 32的是________．解析：y＝x32＝3x2是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，32xx＝x31>1，∴x>x32，∴排除①.答案：④3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．①2x>x21>lg x②2x>lg x>x21③x21>2x>lg x④lg x>x21>2x解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,0<x21<1，lg x<0.答案：①4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：45．(原创题)方程x12＝log sin1x的实根个数是__________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x21和y2＝log sin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：16．(2009年高考江苏卷)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0.由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)记f (x )的最小值为g (a )．则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎨⎧ 3(x －a 3)2＋2a 23，x >a ， ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ， ②(ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.(ⅱ)当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2. 综上，得g (a )＝⎩⎨⎧－2a 2， a ≥0，2a 23， a <0.(3)(ⅰ)当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)；(ⅱ)当a ∈[－22，22)时，解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)； (ⅲ)当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)． B 组1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．解析：设幂函数为y ＝x α，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3＝27，∴x ＝13.答案：132．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2的解集是__________．解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案：{x |－4≤x ≤4}3．(2010年广东江门质检)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R.当k ＝1时，F (x )的值域为__________．解析：当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与幂函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以k ＝1时，F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为__________．解析：由f (－4)＝f (0)，得b ＝4.又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x >0.答案：{x |－3≤x ≤－1或x >0}5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，的图象如图．知f (x )在R 上为增函数．∵f (2－a 2)>f (a )，即2－a 2>a .解得－2<a <1.答案：－2<a <16．(2009年高考江西卷改编)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为__________．解析：由题意定义域D 为不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集．∵ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋b 2a)2＋4ac －b 24a ，∵a <0，∴0≤y ≤ 4ac －b 24a，∴所有点(s ，f (t ))，(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，意味着方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2应满足|x 1－x 2|＝ 4ac －b 24a ，由根与系数的关系知4ac －b 24a ＝b 2a 2－4c a ＝b 2－4ac a 2，∴4a ＝－a 2.∵a <0，∴a ＝－4.答案：－47．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2＋x ，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f (0)＝－2f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为__________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又f (－1)＝－12，∴－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12.当x >0时，g (x )＝－2＋2x ＝0，∴x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋12x ＋1＋x ＝0，∴x 2－32x －1＝0，∴x ＝2(舍)或x ＝－12，所以有两个零点．答案：2 8．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数；b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根．答案：①②③9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．答案：③10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．解：(1)证明：f(1)＝0⇒1＋2b＋c＝0⇒b＝－c＋12.又c<b<1，故c<－c＋12<1⇒－3<c<－13.方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0⇒c≥3或c≤－1.又c<b<1，得－3<c≤－1，由b＝－c＋12知b≥0.(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，∴f (m －4)的符号为正．11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－32c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－30时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2<0， ∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a 2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ (－b a )2－4(－32－b a )＝ (b a ＋2)2＋2.∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；(2)若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.解：(1)由f (x )＝x 得ax 2＋3x ＋b ＝0(a <0，a 、b ∈R)有两个不等实根为α、β，∴Δ＝9－4ab >0，α＋β＝－3a ，α·β＝b a .由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，即(α＋β)2－4αβ＝9a2－4b a ＝1，∴9－4ab ＝a 2，即a 2＋4ab ＝9(a <0，a 、b ∈R)．(2)由(1)得a (a ＋4b )＝9，∵a 、b 均为负整数，∴⎩⎨⎧ a ＝－1a ＋4b ＝－9或⎩⎨⎧a ＝－9a ＋4b ＝－1或⎩⎨⎧ a ＝－3，a ＋4b ＝－3，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有⎩⎨⎧ a ＝－1，a ＋4b ＝－9，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2. 故所求函数解析式为f (x )＝－x 2＋4x －2.(3)证明：由已知得x 1＋x 2＝－4a ，x 1·x 2＝b a ，又由α<1<β<2得α＋β＝－3a <3，α·β＝b a <2，∴－1a <1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1·x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b a －4a ＋1<2＋4＋1＝7，即(x 1＋1)(x 2＋1)<7.第四节函数的图像特征A 组1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．解析：可举实例说明如f (x )＝2x ，依次作出函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象判断．答案：甲2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y ＝x |x |·a x (a >1)的图象的基本形状是_____．解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝⎩⎨⎧ax (x >0)－ax (x <0)，由指数函数图象易知①正确．答案：①3．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．解析：分别作y ＝(15)x 与y ＝log 3x 的图象，如图可知，当0<x 1<x 0时，(15)x 1>log 3x 1， ∴f (x 1)>0.答案：正值4．(2009年高考安徽卷改编)设a b 时，y >0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③5．(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．解析：在2x ·x 2≥1中，令x ＝－t ，由x ≤0得t ≥0，∴2－t ·(－t )2≥1，即t 2≥2t ，由所给图象得2≤t ≤4，∴2≤－x ≤4，解得－4≤x ≤－2.答案：－4≤x ≤－26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]∈，3－，1,2]－[∈，－32x x x x (1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．,(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．B 组1.(2010年合肥市高三质检)函数f (x )＝ln 1－x 1＋x的图象只可能是__________．解析：本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除②③选项．又由于u (x )＝－1＋21＋x在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln(－1＋21＋x)在定义域{x |－1<x <1}是减函数．答案：①2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是解析：运输效率是运输总量Q与时间t的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确．答案：②3．如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y 轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是__________．解析：设C(a,4a)，所以A(a,2a)，B(2a,4a)，又O，A，B三点共线，所以2aa＝4a2a，故4a＝2×2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．答案：(1,2)4．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．解析：f (x )为偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )·g (x )为奇函数，图象关于原点对称，当x →＋∞时，f (x )→－∞，g (x )→＋∞，所以f (x )·g (x )→－∞答案：②5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q 1(吨)，加油机加油箱内余油Q 2(吨)，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与时间t 的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.解析：加油时间10分钟，Q 1由30减小为0.Q 2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为__________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数y ＝f (x )为周期为2的周期函数，作图．答案：67．函数y ＝x m n (m ，n ∈Z ，m ≠0，|m |，|n |互质)图象如图所示，则下列结论正确的是__________．①mn >0，m ，n 均为奇数②mn <0，m ，n 一奇一偶③mn <0，m ，n 均为奇数④mn >0，m ，n 一奇一偶解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证m n<0，即mn <0，有y ＝x m n ＝x －|m ||n |；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n |定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则m 定为奇数．答案：②8．(2009年高考福建卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是①y ＝x 2＋1②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0 ④y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0 解析：∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，且图象C ′关于点(2，－3)对称，则a 的值为__________．解析：∵C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，∴C ′为x (y ＋a ＋1)＝ay ＋a 2＋1.整理得，y＋1＋a ＝1－a x －a. ∵C ′关于点(2，－3)对称，∴a ＝2.答案：210．作下列函数的图象：(1)y ＝1|x |－1；(2)y ＝|x －2|(x ＋1)；(3)y ＝1－|x ||1－x |；(4)y ＝|log 2x －1|；(5)y ＝2|x －1|. 解：(1)定义域{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)． (2)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2－94 (x ≥2)，－(x －12)2＋94 (x <2).其图象如图①所示．(3)函数式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 1－x (x <0)，1 (0≤x <1)，－1 (x >1).其图象如图②所示．(4)先作出y ＝log2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log2x －1|的图象，如图③所示．(5)先作出y ＝2x 的图象，再将其图象在y 轴左边的部分去掉，并作出y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝2|x |的图象，再将y ＝2|x |的图象向右平移1个单位长度，即得y ＝2|x －1|的图象，如图④所示．11．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a.,f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a ax ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a . ∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称． (2)由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.12．设函数f (x )＝x ＋b ax －1(x ∈R ，且a ≠0，x ≠1a )．(1)若a ＝12，b ＝－32，指出f (x )与g (x )＝1x 的图象变换关系以及函数f (x )的图象的对称中心；(2)证明：若ab ＋1≠0，则f (x )的图象必关于直线y ＝x 对称．解：(1)a ＝12，b ＝－32，f (x )＝x －3212x －1＝2x －3x －2＝2＋1x －2， ∴f (x )的图象可由g (x )的图象沿x 轴右移2个单位，再沿y 轴上移2个单位得到，f (x )的图象的对称中心为点(2,2)．(2)证明：设P (x 0，y 0)为f (x )图象上任一点，则y 0＝x 0＋b ax 0－1，P (x 0，y 0)关于y ＝x 的对称点为P ′(y 0，x 0)．由y 0＝x 0＋b ax 0－1得x 0＝y 0＋b ay 0－1.∴P ′(y 0，x 0)也在f (x )的图象上．故f (x )的图象关于直线y ＝x 对称.。

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第九讲指数与指数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·番禺质检)下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②n a n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，所以(a 2)32≠a 3；②中，当n 为奇数时，n a n ＝a ；③中，函数的定义域应为⎣⎡⎭⎫2，73∪⎝⎛⎭⎫73，＋∞；④中，由已知可得2a ＋b ＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.答案：B2．(36a 9)4·(63a 9)4(a ≥0)的化简结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：原式＝(18a 9)4·(18a 9)4＝a 4，选C. 答案：C3．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝4B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a >0，且a ≠1解析：因为“一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数”，所以函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a >0，且a ≠1，解得a ＝4，故选C. 答案：C评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x ，且次数为1，不能为x 2，x 等；(2)指数式a x 的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．4．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x＋1与g (x )＝21－x 图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝2x 左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x ，而y ＝2x 与y ＝2－x 关于y 轴对称．∴f (x )与g (x )关于y 轴对称．答案：C5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19得a 2＝19， ∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a bC ．x 0<cD ．x 0>c解析：如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0，则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾，所以，x 0>c 不可能成立，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案：(－1，－1)8．函数y ＝(13)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值为________．答案：839．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.答案：110．(2010·湖南师大附中期中)设f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e －x 2，计算f (1)g (3)＋g (1)f (3)－g (4)＝________，f (3)g (2)＋g (3)f (2)－g (5)＝________，并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．答案：0 0 f (x )g (y )＋g (x )f (y )－g (x ＋y )＝0三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ② ②÷①得a 2＝4，又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．分析：函数f (x )是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >012a －164a ＝－1，解得a ＝1. 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是a ＝0.评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．13．已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x >0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)．∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。