2013届高考理科数学第一轮复习测试题05
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)
• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________，叫做从n个不同元素中取 并成一组 出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________，叫做从n个不同元 所有组合的个数 素中取出m个元素的组合数，记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
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题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根，需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个，有 A 4 个； 当c≠0时，b只能取5、7. 2 b取5时，a、c只能取1、3，有 A 2 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这 2n个学生排成前后两排，每排各n个学生 的排法数为y，则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解：第一种排法数为 ，第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ，从而x=y.
25
• 2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元 素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每 两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的 元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列 中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个 元素相邻或不相邻都可以，
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
－ －
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013届高三一轮复习理科数学全能测试(一)集合集合与常用逻辑用语、函数概念与基本初等函数
2013届高三一轮复习理科数学全能测试（一） 集合与常用逻辑用语、函数概念与基本初等函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）1、【2012 浙江理】设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩(C RB)= （ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)2、【2011 浙江理 】若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a ＜或＞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为（ ）A ．y x= B ．sin y x = C ．x x y e e -=+ D ．3y x =-4、若函数()log (2)(0,1)a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[,1)3 B ．2(0,]3 C ．3(1,)2 D ．3[,)2+∞ 5、奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x 的函数解析式是（ ）A ．()(1)f x x x =--B ．()(1)f x x x =+C ．()(1)f x x x =-+D ．()(1)f x x x =-6、函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于（ ）A ．-9B ．9C ．-3D ．07、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则()()222xf x x ⊕=-⊗是（ ）函数． （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数8、已知函数()()()()f x x a xb a b =-->其中的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）9、若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（0，21）C ．（21，1）D ．（0，1）∪（1，+∞）10、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]6,2(-内关于x 的方程0log )()2(=-+x a x f （a ＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（ ）A.(1,2)B.),2(+∞C.)4,1(3D.)2,4(3非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、命题“∃(12)x ∈，时，满足不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围 __________ 12、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________13、函数m x x f +=lg )(关于直线x=1对称，则m= 14、已知函数()()231f x mx m x =+-+的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________。
2013高考数学一轮复习试题 5.3答案
用心 爱心 专心12013高考数学一轮复习试题 5.3答案 一、选择题 D ．－781.解析： a ·(b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．答案： A2.解析： 设P 点坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)， BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴点P 坐标为(3,0)，故选C.答案： C3.解析： 对于A ，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝0，则(a ＋b )⊥(a －b )，A 正确；对于B ， cos 〈a ，b 〉＝ab|a ||b |＝cos(α－β)，a 与b 的夹角等于α－β或β－α，则B 错误；对于C ，|a ＋b |＋|a －b |＝2＋2cos α－β＋2－2cos α－β， ∵－1＜cos(α－β)＜1，∴|a ＋b |＋|a －b |＞2，则C 正确； 对于D ，a 在a ＋b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，a ＋b 〉，b 在a ＋b 方向上的投影为 |b |·cos〈b ，a ＋b 〉，∵cos 〈a ，a ＋b 〉＝cos 〈b ，a ＋b 〉，则D 正确．故选B.答案： B4.解析： 由已知得|m |＝34，|n |＝5，m ·n ＝11， ∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m ·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案： C5.解析： ∵|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2.故选B.答案： B6.解析： 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误； 若AB →·BC →＞0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误． 答案： C 二、填空题7.解析： ∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，∴y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2.答案： 8 28.解析： 由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0， AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案： －259.解析： 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命 10.题②正确．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错 误．答案： ②三、解答题10.解析： (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b|b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22. 11.解析： (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.12.解析： (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2013年高考数学理科一轮复习经典例题——直线与平面的垂直判定和性质
典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线B ．过直线外一点与该直线平行的平面C ．过平面外一点与平面平行的直线D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A ．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B ．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C ．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D ．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A 、平面α，过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α，由于AB 、AC 为相交直线，不妨设AB 、AC 所确定的平面为β，α与β的交线为l ，则必有l AB ⊥，l AC ⊥，又由于AB 、AC 、l 都在平面β内，这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D ．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（ ）．A ．（1）、（2）B ．（2）、（3）C ．（3）、（4）D ．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，∴D B EO 1//．∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．又∵OC AO =，∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出：a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=． ∵21221E D OE O D =+， ∴OE O D ⊥1．∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中，90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ①在Rt △BHD 中有：BH BD=αcos ②在Rt △ABD 中有：BA BD=βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例 6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ．在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ．说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC ∆中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等． 典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥． 证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的． 典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ．∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形．综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥．由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==．在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心． 典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==，∴cm SO 5=． 因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性． 典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒=∠90ACB ，S 为平面ACB 外一点，︒=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．典型例题十五例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ） 解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．典型例题二十例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ， 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b ∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面． ∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'． ∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面． 故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得． 典型例题二十一例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．典型例题二十二例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥∵a PC PB PA ===，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆，∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ∆的外心．∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形，∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=．因此点P 到平面ABC 的距离a 33．说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．典型例题二十三例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂，∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求．过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ，∴111BCD A E B 平面⊥．即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ，∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360．说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．典型例题二十四例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为︒30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ．∵BC AE //，∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，︒=∠30DAE ．∵BC AB ⊥，∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ，∴CDE BC 平面⊥．∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面⊂，∴DE AE ⊥．在AED Rt ∆中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．。
2013年高三第一轮复习理科数学 等差数列与等比数列的综合问题
等差数列与等比数列的综合问题考纲要求1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．命题规律1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；2、利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。
同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。
考点解读等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
符号定义1n na a d+-=；112n nna aa+-+=1(0)nnaq qa+=≠;211(0)n n n na a a a+-=⋅≠分类递增数列：0d>递减数列：0d<常数数列：0d=递增数列：1101001a q a q>><<<，或，递减数列：1101001a q a q<>><<，或，摆动数列：0q<常数数列：1q=通项1(1)()n ma a n d pn q a n m d=+-=+=+-其中1,p d q a d==-11n n mn ma a q a q--==（0q≠）前n 项和211()(1)22nnn a a n n dS na pn qn+-==+=+其中1,22d dp q a==-11(1)(1)1(1)nna qqS qna q⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩中项,,a b c成等差数列的充要条件：2b a c=+,,a b c成等比数列的充要条件：2b ac=主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则m n p qa a a a+=+推论：若2m n p+=则2m n pa a a+=2n k n k na a a+-+=12132n n na a a a a a--+=+=+=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列{}n a若m n p q+=+则m n p qa a a a⋅=⋅推论：若2m n p+=则2()m n pa a a⋅=2()n k n k na a a+-⋅=12132n n na a a a a a--⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相乘，则积相等1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.6相互独立事件和独立重复试验(第2课时)
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题型5 求概率的取值问题 • 2. 一位学生每天骑自行车上学，从他家到 学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇红 灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到 红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红 1 灯的概率均为 .若该学生至多遇到一次红 2 5 灯的概率不超过 ，求p的取值范围 18 • 解：该学生至多遇到一次红灯指没有遇到 红灯(记为事件A)或恰好遇到一次红灯(记 为事件B)，则
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• (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的 零件是一等品的概率； • (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检 验，求至少有一个一等品的概率.
• 解：(1)设A、B、C分别表示甲、乙、丙三台 机床各自加工的零件是一等品的事件，据题意， A、B、C相互独立，且 • • •
P(A B) 1 4 1
5
•
甲、乙两人各射击1次，击中目标的 概率分别是 2 和 3 ，假设两人射击是否击中目 3 4 标，相互之间没有影响，每人各次射击是否击 中目标，相互之间也没有影响. • (1)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次， 且乙恰好击 中目标3次的概率； • (2)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射 击，求乙恰好射击5次后被中止射击的概率.
(1 - x ) x 3 3
1
2
y 3 4
1 3
1 3
2 3
x 1 3
，解得
x y
1
2
.
12
y
x
2 3
题型6 概率在实际问题中的决策作用
• 3. 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队 结算的人数及相应的概率如下： • 排 队 人 0~ 6~1 11~1 16~ 21~2 25 人 以 5 0 5 20 5 数 上 • 0.1 0.25 0.25 0.2 0.05 概率 0.1 5 • (1)每天不超过20人排队结算的概率是多少? • (2)一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15 人排队结算的概率大于0.75,商场就需要增加 结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口？
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.5等可能性事件和互斥事件的概率(第1课时)
2
1
3
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• 15名新生中有3名优秀生， • 随机将15名新生平均分配到3个班级中去. • (1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？ • (2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？
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• 解： (1)每班分配到1名优秀生和4名非优 秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12 1 名非优秀生中任选4名，共有C 142 种方法； C3 乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下 的8名非优秀生中选4名，共有 种方 1 4 C 2C8 法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生 给丙班，有 种方法，将15名新生平 1 4 C1 C 4 均分到甲、乙、丙三个班级共有 5 5 5 C 15 C 10 C 5 种不同的分法. • 所以每班各分配到一名优秀生的概率为 C C C C C C 25 • . P
1 4 1 4 1 4 3 12 2 8 1 4
C 15C 10 C 5
5
5
5
91
21
2 • (2)3名优秀生都分到甲班，共有 C 33 C 12 • 种分法，乙班从剩下的10名之中选5 5 3 名10 ，剩下的5名给丙班，共有C 2 C 5 C 5 C C 3 12 10 5 种不同分法，同理，三名优秀生都分到 乙班、丙班方法数均为2 5 5 . 3 C 3 C 12 C 10 C 5 • 所以3名优秀生都分到同一班级的概率 为 . 6
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• 解：(1)3个景区都有部门选择可能出现 的结果数为 C 42 A33 .4个部门选择3个景区 可能出现的结果数为34.记“3个景区都 有 部 门 选 择 ”( A为 C事 A 件 4 9A1 ， P ) 3 则 . • (2)解法1：恰有2个景区有部门选择可能 2 1 2 2 C 3 ( C 4 A2 C 4 ) 的结 果数为 ，记“恰有 2 个 景C区 有 部C门 选4 择 ” 为 事 件 A2, (C A ) 1 P( 则A ) . 3 27
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A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()．A．正方体的棱长与体积B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.答案 C2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是()．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解析由回归分析的方法及概念判断．答案 C3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是()．A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．答案 D4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()．A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案 A5．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()．A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元解析x＝4＋2＋3＋54＝3.5(万元)，y＝49＋26＋39＋544＝42(万元)，∴a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知x 、y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________. 解析 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，解得x ＝2，y ＝4.5，将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a 可得a ＝2.6. 答案 2.67．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为K 2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________． 答案 5%8．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元． 答案 0.254三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·天津模拟)在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：解以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．10．(12分)某种产品的广告费支出x与消费额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为700万元时的销售额．解(1)散点图如图所示．(3)当x ＝7(百万元)时，y ＝6.5×7＋17.5＝63(百万元)． ∴当广告费支出7百万元时，销售额约为63百万元．B 级(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·合肥二检)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点． 答案 B2．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )．A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·东北四校联考(二))某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数解析 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60， ∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时， y ^＝－2×(－5)＋60＝70(杯)． 答案 704．(2012·石家庄模拟)某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案①三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·佛山模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为2 7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．附K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解(1)(2)k ＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个． 事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P (A )＝836＝29.6．(12分)(2010·辽宁)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果(疱疹面积单位：mm 2)．表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”． 表3：解 (1)注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数． (2)表3：K 2＝200100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。