2013届高考数学第一轮专项复习教案22.

9.4两个平面平行

●知识梳理

1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.

●点击双基

1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是

A.经过不同的三点有且只有一个平面

B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D.垂直于同一个平面的两个平面平行

答案：C

2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.

答案：C

3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是

A.α、β都平行于直线a、b

B.α内有三个不共线点到β的距离相等

C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β

D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；

B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；

C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.

答案：D

4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）答案：①④⑤⑥

●典例剖析

【例1】设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N 分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.

剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达

到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC 为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.

证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME 是△BAC的中位线，故ME∥AC，MEα，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE平面α，CFα，∴NE∥α.又ME∩

NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α.

【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.

证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.

∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，

∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.

故它们的对应边平行且相等.

∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD.

∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD.

∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD.

∴A、B、C、D四点共面.

∴ABCD为正方形.

同理，A1B1C1D1也是正方形.

故ABCD—A1B1C1D1是正方体.

易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1.

同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.

证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.

连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，

由三垂线定理知B1D⊥A1C1，

同理可证B1D⊥BA1，

∴B1D⊥平面A1BC1.

同理可证，B1D⊥平面ACD1，

∴平面A1BC1∥平面ACD1.

思考讨论

证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.

【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：

（1）AP⊥MN；

（2）平面MNP∥平面A1BD.

证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.

又B1C∥MN，∴AP⊥MN.

（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，

∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，

∴PN∥平面A1BD.

同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，

∴平面PMN∥平面A1BD.

评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.

●闯关训练

夯实基础

1.（2003年上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

A.α、β都垂直于平面γ

B.α内存在不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

答案：D

2.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS=_____________.

解析：如图（1），由α∥β可知BD∥AC，

∴=，即=，∴SC=68.

如图（2），由α∥β知AC∥BD，∴==，即=.

∴SC=.

答案：68或

3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：

①水的部分始终呈棱柱状；