图形的认识与证明
三角形和四边形的认识与证明
三角形和四边形的认识与证明第五单元平面图形及其位置关系三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一.平面图形及其位置关系1.直线.射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义.角的分类.角的度量以及余角.补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质.垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定)例1.如图,在正方形网格中,∠α.∠β.∠γ的大小关系是( )A.α_gt;β_gt;γB.α=β_gt;γC.α_lt;β=γD.α=β=γ二.三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念.三角形的分类.三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义.性质与判定)例2.下列说法:①等边三角形有三条对称轴;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角形;③等腰三角形的一边长为4,另一边长9,则它的周长为17或22;④一个三角形中至少有两个锐角.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义.性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义.性质与判定)(2)菱形(定义.性质与判定)(3)正方形(定义.性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义.性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质( )A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是( )A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于()A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E.F是AC的三等分点,则△BEF的面积是( )A.8B.12C.16D.24Ⅱ.中考演练一.选择题(每小题4分,共40分)1.如图,已知直线AB.CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )A.30°B.35°C.20°D.40°(第1题图) (第3题图)(第5题图)2.以长为13cm.10cm.5cm.7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )A.1B.2个C.3个D.4个3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠A,且AN⊥BN于点N,AB=10,AC=16,则MN等于( )A.2B.2.5C.3D.3.54.以下不能构成三角形三边长的数组是()A.(1,,2)B.(,,)C.(3,4,5)D.(32,42,52)5.如图,在RtΔABC中,AF是斜边上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为( )A. B. C. D.6.顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连结所得四边形四边的中点得到的图形是 ()A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形7.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是A.B.C.D.8.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )A．50° B．55°C．60° D．65°(第8题图)(第9题图)(第11题图)9.如图,矩形ABCD中,AB=CD=_,AD=BC=y,把它折叠起来,使顶点A与C重合,则折痕PQ的长度为( )A. B. C. D.10.如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要( )A.三个正三角形,两个正方形B.两个正三角形,三个正方形C.两个正三角形,两个正方形D.三个正三角形,三个正方形二.填空题(每小题4分,共40分)11.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是.12.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长,面积是 .13.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60_ordm;,则矩形的两邻边分别长和 .14.已知:□ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,添加适当的条件(1)使它成为菱形.条件:.(2)使它成为矩形.条件:.(3)使它成为正方形.条件: .15.四边形ABCD的两条对角线AC.BD互相垂直,ABCD是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形ABCD的周长为,面积等于.三.(每小题8分,共16分)16.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.17.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,DE⊥BC于E,AE＝BE,BF⊥AE于F,线段BF与图中的哪一条线段相等.先写出你的猜想,再加以证明.猜想:BF＝.证明:四.(每小题9分,共18分)18.如图△ABC中,∠B=2∠A, AB=2BC.求证:∠C=90°.19.已知:△ABC中AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.(2)当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?五.(每小题10分,共20分)20.在矩形ABCD中,AB=16,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,求AF的长.21.如图,AB.CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F.G.H分别是DE.BE.AC的中点.求证:(1)AF⊥DE;(2)FH=GH.六.(本题满分12分)22.我们知道,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形(如图1所示),一个梯形可以剪开拼成一个矩形(如图2所示),一个矩形可以剪开拼成一个三角形(如图3所示).图1图2图3那么任意一个四边形呢?你也可以将它剪开而拼成各种各样的图形. (1)请你仿上用图示的方法把它剪开而拼成平行四边形.矩形.三角形;(2)想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?七.(本题满分12分)23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为〝勾三.股四.弦五〞.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分)(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股.弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(4分,除已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,将酌情另加1_3分)(3)继续观察4,3,5;6,8,10;,8,15,17;……,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m_gt;4)的代数式来表示他们的股和弦.(4分)八.(本题满分12分)24.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察.乐于探索,我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图①).求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。
图形与几何教材分析
莲都区水东小学 包圣华
QQ：810520768
2013年3月22日
课程标准实验稿中，把这部分内容叫做“ 空间与图形”，现在课程标准把它称作为“图 形与几何” 。
图形与几何的课程内容，以发展学生的空间 观念、几何直观、推理能力为核心展开。主 要包括：图形的认识；图形的测量；图形的 运动或变化；图形的性质及其证明；图形的 位置等五个方面。
时 间 人 数
规 律
1
2 4
3
4
5
25
2
8 16 32
23 24
21 22
由上表得出结论： 每增加一分钟， 收到通知的老师和同学的人数是 前一分钟收到通知的老师和同学总数的2倍。有几分钟， 总人数就是几个2连乘（2的几次方）。
案例二《循环赛》
师：如果在我们班要举行小足球赛。同学们平 均分成6个队：分别是a队、b队、c队、d队、 e队、f队，那么按照单循环赛的规则进行比赛， 谁来说说你们队该和哪些队进行比赛? 师：如果我们用不同颜色的圆点代表不同的 球队，6支队伍进行单循环赛共需要赛几场？
图形与几何五大方面内容
图形的认识； 图形的测量； 图形的运动或变化； 图形的位置； 图形的性质及其证明（第三学段为主）。
运用几何直观解决问题
一、图形的认识
（一）认识物体的编排特点 （二）图形的认识内容分析
（三）认识平面图形的用途
（四）图形的认识教学建议
（一）认识物体的编排特点
现在的教材，在图形的认识当中，是先讲 立体，再讲平面，然后再回到立体。过去是按 点线面体的逻辑规律编排的。 先讲立体图形，要求直观认识，然后中间 一段是平面图形，最后再讲立体图形是正式认 识，还有讲它的体积、表面积的计算等等。但 两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第 二学段要求是认识。
苏教版数学中考复习之专题七-图形的初步认识
一. 教学目标1. 了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法．2. 掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”．3. 理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质．4. 理解线段的中点和两点间距离的概念．5. 会用尺规作图作一条线段等于已知线段．6. 理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念．7. 掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分．8. 掌握角的平分线的概念，会画角的平分线．9. 会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理． 10. 灵活运用对顶角和垂线的性质；11. 掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算； 12. 理解和识别方向角13. 建立初步的空间观念，会判断简单物体的三视图， 14. 了解旋转体和多面体的概念．15. 会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积． 二. 教学重点、难点：会画基本几何体（立方体、圆柱、圆锥、球）的三视图．能根据三视图描述基本几何体或实物原型．会解决有关余角、补角的计算． 三. 知识要点：知识点1、生活中的立体图形1. 生活中的常见立体图形有：球体、柱体、锥体，它们之间的关系如下所示⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧球体五棱锥四棱锥三棱锥棱锥圆锥锥体五棱柱四棱柱三棱柱棱柱圆柱柱体立体图形 2. 多面体：由平面围成的立体图形叫做多面体 知识点2、由立体图形到视图1. 视图：（1）直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图）教学准备中考复习之专题六 图形的初步认识（2）简单的几何体与其三视图、展开图（3）由三视图猜想物体的形状2. 通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）．俯视图反映物体的长和宽，主视图反映了它的长和高，左视图反映了宽和高．所以主视图和俯视图的长度相等，且互相对正，即“长对正”主视图与左视图的高度相等，且互相平齐，即“高平齐”俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”知识点3、立体图形的展开图圆柱的侧面展开图是一个矩形，一边长为母线的长，另一边是底面的周长．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长正方形的展开图的形状比较多知识点4、平行投影和中心投影平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．1. 在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．2. 物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化3. 太阳光可以看作是一束平行光线中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．1. 在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．2. 在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何物体上的一点与其影子的对应点的连线一定经过光源所在的点．知识点5、线段、射线、直线（1）连接两点的所有线中，线段最短．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端的距离相等（2）射线、线段可以看作直线的一部分知识点6、角由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角1周角＝2平角＝4直角＝360度互余和互补：如果两个角之和是一个直角，那么这两个角互余如果两个角之和是一个平角，那么这两个角互补知识点7、垂直（1）两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足．（2）在同一平面内，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离．知识点8、平行线1. 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线．2. 两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角．直线m截直线a，b成如图所示的8个角，在图中：同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5．3. 平行公理经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．4. 平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．5. 平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．例题精讲例1. 判断正误，并说明理由①两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点；（）②射线AP与射线PA的公共部分是线段PA；（）③有公共端点的两条射线叫做角；（）④互补的角就是平角；（）⑤经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线；（）⑥连结两点的线段，叫做这两点间的距离；（）⑦角的边的长短，决定了角的大小；（）⑧互余且相等的两个角都是45°的角；（）⑨若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角；（）⑩大于直角的角叫做钝角．（）解：①√．因为两点确定唯一的直线．②√，因为线段是射线的一部分．如图：显然这句话是正确的．③×，因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．④×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量上来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图⑤×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．⑥×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．⑦×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．⑧√，“互余”即两角和为90°．⑨×．“互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角？⑩×，钝角是大于直角而小于平角的角．【注意】1. 第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：图（1）图（2）因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．2. 注意数和形的区分与联系：“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．例2. 如图：是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图．【注意】画三视图的原则是：长对齐，宽相等，高平齐．例 3. 下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）和面A所对的会是哪一面？（2）和B 面所对的会是哪一面？ （3）面E 会和哪些面平行？答：（1）和面A 所对的是面D ；（2）和B 面所对的是面F ；（3）面E 和面C 平行． 例4. 下面是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是 （ C ）例5. 下图是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的（ B ）例6. （1）线段DE 上有A 、B 、C 三个点，则图中共有多少条线段？ （2）若线段DE 上有n 个点呢？DECA解：（1）10条．方法一：可先把点D 作为一个端点，点A 、B 、C 、E 分别为另一个端点构成线段，再把点A 作为一个端点，点B 、C 、E 分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．方法二：5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有5421⨯⨯条，即10条．（2）（n ＋1）＋n ＋（n －1）＋…＋3＋2＋1＝2)2)(1(++n n （条）例7. 计算：（1）37°28′＋44°49′；（2）118°12′－37°37′×2；（3）132°26′42″－41.325°×3； （4）360°÷7（精确到分）． 解：（1）37°28′＋44°49′＝81°77′ ＝82°17′（2）118°12′－37°37′×2＝118°12′－75°14′ ＝117°72′－75°14′ ＝42°58′．（3）法一 132°26′42″－41.325°×3＝132.445°－123.975° ＝8.47°．法二 132°26′42″－41.325°×3＝132°26′42″－123.975° ＝132°26′42″－123°58′30″ ＝131°86′42″－123°58′30″ ＝8°28′12″． （4）360°÷7＝51°＋3°÷7 ＝51°＋25′＋5′÷7 ＝51°＋25′＋300″÷7 ≈51°＋25′＋43″ ≈51°26′．【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也可将小数部分的度数化成“分”“秒”进行计算．例8. 已知∠α与∠β互为补角，且∠β的32比∠α大15°，求∠α的余角． 解：由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠-∠︒=∠+∠1532180αββα解之得⎩⎨⎧︒=β∠︒=α∠11763∴∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°． 答：∠α的余角是27°．例9. 下列语句正确的个数有（ ）个 （1）不相交的两条直线叫做平行线．（ ）（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（ ） （3）两直线平行，同旁内角相等．（ ）（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A （1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”． （2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”． （3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”．（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．例10. 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＝∠BED ．_分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和．如图，过E 点引一条直线EF ∥AB ，则有∠B ＝∠1，再设法证明∠D ＝∠2，需证EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到．证明：过点E作EF∥AB，则∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D＝∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵∠BED＝∠1＋∠2，∴∠BED＝∠B＋∠D（等量代换）．例11. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝360°－（∠B＋∠D）．分析：此题与例10的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例10的结论是一致的．因此，我们模仿例10作辅助线，不难解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠B＋∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B＋∠1＋∠D＋∠2＝180°＋180°（等式的性质）．又∵∠BED＝∠1＋∠2，∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°（等量代换）．∴∠BED＝360°－（∠B＋∠D）（等式的性质）．例12. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠D－∠B．分析：此题与例10的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例10与例11作辅助线的方法，可以解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB＝∠B（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）．∵∠BED＝∠FED－∠FEB，∴∠BED＝∠D－∠B（等量代换）．例13. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠B－∠D．分析：此题与例12类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．证明：过点E作EF∥AB，则∠1＋∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠1＋∠2＋∠D＝180°．∴∠1＋∠2＋∠D－（∠1＋∠B）＝180°－180°（等式的性质）．∴∠2＝∠B－∠D（等式的性质）．即∠BED＝∠B－∠D．例14. 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．求证：∠BFE＝∠FEC．证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF＝∠1（两直线平行，内错角相等）．过E点作EH∥CD ，则∠DCE＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．又∵EH∥CD （已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4（等式的性质）即∠BFE＝∠FEC．证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点．∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠ABF（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF＝∠DCE（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换）．∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．∴∠BFE＝∠FEC（两直线平行，内错角相等）．证法三：（如图12）连结BC．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF＝∠DCE（已知），∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE（等式的性质）．即∠FBC＝∠BCE．∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．∴∠BFE＝∠FEC（两直线平行，内错角相等）．课后练习一. 选择题1. 下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是（）2. 如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（）个不同的点．A. 20B. 10C. 7D. 53. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于（）A. 12B. 16C. 20D. 以上都不对4. 在下列立体图形中，不属于多面体的是（）A. 正方体B. 三棱柱C. 长方体D. 圆锥体5. 图中几何体的主视图是（）6. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A. 南偏西50度方向； B. 南偏西40度方向 ； C. 北偏东50度方向；D. 北偏东40度方向7. 如图，AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有（ ）A. 6个B. 5个C. 4个D. 2个8. 同一平面内的四条直线若满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，则下列式子成立的是（ ） A. a ∥d B. b ⊥d C. a ⊥d D. b ∥c9. 如图，∠1和∠2互补，∠3＝130°，那么∠4的度数是（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°10. 已知：AB ∥EF ，且∠ABC ＝20°，∠CFE ＝30°，则∠BCF 的度数是（ ） A. 160° B. 150°C. 70°D. 50°11. 如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有……（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，已知直线AB ∥CD ，当点E 在直线AB 与CD 之间时，有∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是 （ ）A. ∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE ；B. ∠BED ＝∠ABE －∠CDEC. ∠BED ＝∠CDE －∠ABE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE;D. ∠BED ＝∠CDE －∠ABE13. 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°14. 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依 次是（ ）．A. 0，－2，1B. 0，1，－2C. 1，0，－2D. －2，0，1ABCDEFGH1CCABED15. 如图6，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧-==+14y x 90y xB. ⎩⎨⎧-==+152y x 90y xC. ⎩⎨⎧-==+2y 15x 90y xD. ⎩⎨⎧-==152y x 902x16. 如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体的木块总数应是（ ）A. 25B. 66C. 91D. 120二. 填空题1. 用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是 _________．2. 时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转90°需______分钟，转120°需______分钟，25分钟转______度．3. 已知A 、B 、C 三个点在同一条直线上，若线段AB ＝8，BC ＝5，则线段AC ＝_________4. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________．5. 如图，B 、O 、C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，DO 平分∠AOC ， 则∠EOD ＝_________°6. 如图，AB ∥CD ，BE ，CE 分别平分∠ABC ，∠BCD ，则∠AEB ＋∠CED ＝ ．7. 将点P （－3，y ）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，－1），则xy ＝___________． 8. 已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ，且∠AOC ＝68°，则∠BOE ＝9. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角为_________．10. 如图，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为____．11. 如图，甲、乙两地之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是北偏东︒50，如果甲、ABEDC乙两地同时开工，要使公路准确接通，那么在乙地施工应按β∠为______度的方向开工．12. 将一个底面半径为2cm 高为4cm 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为___________________cm 2；13. 一个圆锥形的蛋筒，底面圆直径为7cm ，母线长为14cm ，把它的包装纸展开，侧面展开图的面积为_________________cm 2（不计折叠部分）．14. 如图所示立方体中，过棱BB 1和平面CDD 1C 1垂直的平面有__ 个．15. 如图，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，∠A ＝118°，则AEC ∠等于_ 度．16. 某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示．按这种表示方式，南偏东60°方向78千米的位置，可用代码表示为 ． 三. 解答题1. 一个角的余角比它的补角的92还多1°，求这个角． 2. 如图，已知AB ∥ED ，∠ABC ＝135°，∠BCD ＝80°，求∠CDE 的度数．3. 已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE ＝AF ．求证：AD 平分∠BAC ．B4. 如图，AB ∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数．5. 如图，已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于E ，F 为EC 上一点，且∠EAF ＝∠C ．求证：（1）∠EAF ＝∠B ；（2）AF 2＝FE ·FB6. 给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2）中，并作简要说明：一. 选择题1. A2. D3. B4. D5. D6. B7. B8. C9. A 10. D 11. B 12. C 13. A 14. A 15. B 16. C 二. 填空题1. 112. 15 20 1503. 13或34. 后面、上面、左面．5. 90°6. 90°7. －10；8. 56°9. 30° 10. 600； 11. 130° 12. 16π 13. 98 14. 1 15. 31° 16. 040078 三. 解答题1. 解：⑴设这个角为x 度，则90－x ＝1)180(92+-x 解得 x ＝63 答：这个角为63度． 2. 解：延长BC 交DE 于F ．由∠ABC ＝135°易得∠BFD ＝45°， 又∠BCD ＝80°，得∠CDE ＝35° 3. 证明：∵AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ∴AD ∥EG ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠E ， ∵AE ＝AF ∴∠E ＝∠3，∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ． 4. 解：∵EG 平分∠AEF ∴∠AEG ＝∠GEF 又∵AB ∥CD ∴∠AEG ＝∠1＝40° ∴∠AEF ＝2∠AEG ＝80°∴∠2＝180°－∠AEF ＝180°－ 80°＝100° 5. 证明（1）∵AB ∥CD （已知），∴∠C ＝∠B 又∵∠EAF ＝∠C ， ∴∠EAF ＝∠B（2）∵∠AFB ＝∠EFA ，∠EAF ＝∠B ∴△EAF ∽△ABF练习答案BF EF AF AFEFBF AF 2⋅=∴=∴6. 解：（1）如图，沿正三角形三边中点连结折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底而下底为正三角形的直三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个三棱柱的上底．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
初中数学图与图形的变换精讲
图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
《数学课程标准》” 图形与几何“领域的解读
第七章图形与几何第一节：总体主线和关键点分析“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。
1.图形的认识正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。
（1）明确认识的对象在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”；“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其中既涉及到了对简单几何体的认识，也涉及到了经过抽象后的三维图形和二维图形。
在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。
在第三学段，除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”，“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等。
与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。
《标准》关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。
（2）明确图形认识的要求图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。
对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。
在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。
第三学段图形与几何
第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。
一、图形的性质：包括 9 个基本事实、探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义、命题、定理等内容。
1．关于“点、线、面、角”这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。
这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”、“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，《标准》不要求进行角的倍、分的计算。
2．关于“相交线与平行线”（ 1 ）两条直线的位置关系有相交、平行两种，《标准》没有把两条直线重合作为第三种位置关系。
（ 2 ）两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。
这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系——两直线相交所成角的大小成为特殊值（ 90 °）时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。
（ 3 ）“两条直线相交，只有一个交点”，《标准》既没有把这个显然的结论作为基本事实（如作为基本事实，它与基本事实（ 1 ）不独立），也没有要求根据基本事实（ 1 ）用反证法加以证明。
（ 4 ）需要指出：《标准》没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。
这样处理一是为了减少“基本事实”的个数；二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解。
这个定理的证明要运用反证法完成（参见《标准》附录 2 例 60 ），只要求学生“了解”。
（ 5 ）认别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。
这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练；而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。
3．关于“三角形”（ 1 ）三角形内角和定理，是一个十分重要的定理。
第二学段要求学生“了解三角形内角和是 180 °”，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。
图形的认识与证明基础复习试题
中考复习——图形的认识与证明基础训练试题一、选择题：1、 △ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝60°，则∠C ＝（ ）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°2、（05年中考）如图，⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于（ ） A 、150° B 、130° C 、120° D 、60°3、（06年中考）如图，在□ABCD 中，对角线交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( ) A 、AC ⊥BD B 、OA=0C C 、AC=BD D 、A0=OD4、（07年中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( ) A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点（第2题图） （第3题图） （第6题图）5、（09年中考）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的）6、（10年中考）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A 、70°B 、100°C 、110°D 、120° 二、填空题7、（08年中考）如图，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A +∠B=120°，则∠AN M= °。
8、（08年中考）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．9、（05年中考）如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ，若∠ADC ＝21∠CAD ，则∠ABC 等于＿＿＿度。
10、（06年中考）如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ． 11、（07年中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC =24，BD =10，则菱形的周长L=A MNB CC ．D ． A ． B ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）12、（08年中考）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________； 13、（09年中考）如图,已知O ⊙的直径8A B =cm ，C 为O ⊙上的一点，30B A C ∠=°， 则BC =__________cm ．14、（10年中考）如图,已知R t △ABC 中,斜边BC 上的高AD ＝4,cosB ＝54,则AC ＝ . 15 、（11年中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ． 若∠A =40º，则∠C =_____．（第13题图） （第14题图） （第15题图）三、解答题16、（05年中考）如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。
平面图形是存在于一个平面上的图形。
立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。
2、性质不同。
根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。
由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。
3、观察角度不同。
平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。
4、具有属性不同。
平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。
立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。
考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
展开图：正方体展开图（难点）。
正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。
⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。
经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。
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图形的认识与证明
作者：周红
来源：《数学金刊·初中版》2009年第05期
■考点分析
图形的认识与证明是中考的热点之一，它要求同学们能根据图形画出三视图，能根据三视图知道原图形的形状；会运用平行线、全等三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行推理及证明；会解决有关圆的计算问题；能运用圆的相关知识解决与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索问题；能综合运用直角三角形、相似三角形、方程、函数、圆等知识解决一些实际问题.
■中考预测
在图形的认识与证明中，试题命题的方向有以下三种：
1. 考查图形的三视图、平行线或者全等三角形性质的简单题，这类题一般会出现在选择或者填空中.解答问题的关键是熟悉平行线和全等三角形的性质及判定定理，能准确运用从图形中得到的信息来解决问题.
2. 对尺规作图、四边形和圆的性质、相似三角形的性质与判定的考查，往往会出现在解答题中. 做尺规作图题时，要注意保留作图痕迹，交代作图结果. 做证明题的时候，要能从条件或结论开始分析，将解题思路整理得有条不紊. 圆的问题千变万化，但总离不开运用与圆有关的性质和基本图形. 同学们做题的时候，一定要善用与圆有关的知识（如切线性质）.
3. 解直角三角形的应用问题一般会出现在填空题或解答题中，同学们要能寻找已知线段和未知线段所在的直角三角形，运用所学习的三角函数知识来解决.
■金题精练
1. 已知一个图形的三视图都是矩形，那么这个图形是 .
2. 如图1，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B=65°，∠F=40°，求∠BCG的度数.
3. 如图2，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，PE⊥AB，
PF⊥AC，垂足分别为E，F，CH⊥AB，垂足为H. 求证：CH=PE+PF.
4. 已知：如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF. 求证：AC=BF.
5. 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点.
（1）如图4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
6. 为了美化环境，某公司计划在一小区内用30 m2的草皮铺设一块一边长为10 m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另外两条边的长度.
7. 如图5，在四边形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求该四边形的面积.
8. 如图6，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，F是AE的中点，求证：
BF⊥FD .
9. 如图7，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=90°，OD∥AC交BC于点E，交弧BC于点D．
（1）请写出三个不同类型的正确结论；
（2）若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
10. 如图8，在⊙O中，AB=2，∠ACB=30°，求⊙O的半径.
11. 求边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径.
12. 如图9所示，大江ED的一侧有甲、乙两个工厂，它们到江边的距离分别为3 km和2 km，两厂的水平距离为4 km，现在要在江边建一个码头，并在码头到两厂之间修通公路，要使公路最短，费用最低，码头应建在哪里（用尺规作出码头应建的地方，保留作图痕迹）？
13. 如图10所示，已知点D在△ABC的AB边上，且DE∥BC交AC于点E，点F在AD 上，且AD2=AF·AB.
求证：△AEF∽△ACD.
14. 如图11，⊙O与⊙O′交于A，B两点，AB既是⊙O的内接六边形的一边，又是⊙O′的内接正方形的一边，且AB=12，求圆心距OO′.
15. 如图12，在半圆中，半径AO=1，CO⊥AB，DB=AB，求图中阴影部分的面积.
16. 如图13，某电信部门计划修建一条连结B，C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B，C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°. 已知C地比A地高200 m，则电缆BC至少多少米？
17. 如图14，在△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F.
1. 长方体2 . 15°
3. 过点P作PD⊥CH，垂足为D. 运用全等三角形以及矩形的性质证明
4. 延长AD到G，使得DG=DF，连结CG. 证明△BDF≌△CDG，得到CG=BF，再证明
△ACG为等腰三角形，得出CG=AC
5. （1）连结AD. 证明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，以及∠EDF=90°
（2）△DEF仍为等腰直角三角形，证法与（1）类似.
16、17）
8. 连结CF，BD，证明△BFD≌△AFC，进而∠BFD=∠AFC=90°
9. （1）不同类型的正确结论有：
?摇①BE=CE；②弧BD=弧CD；③∠BED=90°（或者OE2+BE2=OB2；△BOD是等腰三
角形，△BOE∽△BAC等）
（2）⊙O的半径为5
10. 可以有三种构造方法，如图18、19、20所示，⊙O的半径为2
11. 边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径是1
14. 连结OA，OB，O′A，O′B，OO′，OO′与AB相交于点C，则OO′⊥AB，AC=BC. 分别在两个直角三角形中求出。