cd2

gS
=
gn
+αψ
2
+
β 2
ψ
4
+ ……
（1）
从现在的问题是如何确定 α 和 β，以及 Ψ 2 与热力学参量 Hc 之间有什么关系。我们知道描写
平衡态的有序参量是由自由能最小条件决定：及 ∂gS ∂ψ
=
0和
∂ ∂
2g ψ
S 2
> 0 ，所以
(α + β ψ 2 ) ψ = 0
（2）
此方程有两个解：当考虑到在温度T ≥ Tc 和T < Tc 时的情况有：
§6.1.2 有外加磁场时，g 按ψ 展开式： 由前两章我们知道，因为 λ 与磁场有关，所以 nS ~ ψ 与场有关。当超导体置于磁场中，由
于相干性，磁场将导致ψ 在空间的不均匀性，因此， gs 中不仅主要增加一个抗磁能 H 2 / 8π 2 ， 还要附加一个与梯度以及超导电子运动能有明显关系的额外项。在有磁场时：
A + ∇u
（9）
JS
= − e2 ψ mc
2
⎡ ⎢⎣
A
−
c e
∇φ
⎤ ⎥⎦
（10）
而电流密度与电子速度之间的关系为 Js = nseVS = ψ 2 eVS ，所以
VS
=
1⎛ m ⎜⎝
⋅ ∇φ
−
e c
A
⎞ ⎟⎠
（11）
就超导电子本身而言，超导电子的熵为零，所以自由能等于超导电子的动能，即
δ g1
=
jS
=
−
ie 2m
(ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
*) −
e2 mc
ψ
2
A
G—L 第二方程
（24）
至此，我们推导出了 G-L 方程，下面我们再仔细分析一下 G-L 方程。G-L 第一方程与带 电粒子在势能V (r ) 和磁场 ∇ × A 中运动的薛定谔方程形式上是一致。而第二方程的电流密度公 式也是与量子力学中的完全相同。这种一致性表明，有序度参量可理解为描述超导电子的有效 波函数。同时也表明超导体具有类似于微观现象中的量子效应—超导体的宏观量子效应。
ψ (r ) 来描述这种有序化，指出：
=0
ψ (r ) 2
T ≥ TC
>0 T < TC
ψ (r ) 2 代表超导电子在 r 处的密度。在TC 附近，超导体的 Gibbs 自由能 g 可以写成 ψ 的
级数展开形式，下面对有外场和无外场时两种情况作讨论。
157
§6.1.1 不考虑外加磁场时，g 按 ψ 的展开式：
162
( ) δGS
= ∫ dV
V
⎧⎪ 1
⎨ ⎪⎩
4π
⎡⎣∇ ×
∇× A
⎤⎦ +
1 2m
⎡ ⎢ ⎣
i
e c
(∇ψ
)ψ
*
−
i
eψ c
(∇ ×ψ
*)
+
2e2 c2
ψ
2
⎤ A⎥
⎦
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⋅
δ
A
( ) + 1 4π
∫ dS ⋅ ⎡⎣δ A×
S
∇× A
⎤ ⎦
=
0
（23）
( ) 又∵∇ × H = ∇ × ∇ × A = 4π js / c ，并根据 Maxwell 方程可得：
当略去 (T − TC )2 以上的高次小量，α 为：
α = α (TC ) + α0 (T − TC )
（5）
而 β 是 ψ 4 的系数，故只取 β = β (TC )， ∂2gs / ∂ ψ 2 = 2α + 6β ψ 2 > 0 ，而 α + β ψ 2 = 0 ，所以
158
4β ψ 2 > 0 ，由此可知 β > 0 。因为
ψ =0 α +βψ 2 =0
T ≥ TC T < TC
所以， ψ 2 = − α 。将该式代入（1）式，得： β
gs = gn −α2 2β
（3）
因为
gs
−
gn
=
−
H
2 C
8π
，由此可知
H
2 C
=
4π
α2 β
（4）
下面看α和β 应符合的条件。由于α和β 仅为 T 的函数，在TC 附近，可展成T − TC 的级数，
第六章 Ginzburg-Landau 唯象理论及宏观量子化
引言 仔细分析一下 Pippard 理论的建立，我们发现一个十分有趣的问题，Pippard 研究了 London
理论的不足，因为按 London 理论，某一处的超流密度的变化只与该处的磁场的矢量势有关， 而与其它地方的矢量势无关，因此是一个局域的理论，而且还会导致中间态的无限分层等。为 了克服 London 理论的不足，Pippard 提出超导电子必须是相关的，它们之间存在一个相干长度 ξ P ，即某一处的超流密度的变化不仅与该处的磁场的矢量势有关，而与其它地方的在ξ P 范围 内的矢量势有关，即非定域的。然而这个方程恰不能解决建立理论的前提即 λ 为什么与磁场有 关。其原因是他在建立方程时又没有考虑到 λ 与 H 的关系。
V
（20）
δGS (H ) = δ ⋅ ∫ gS (H )dV
V
( ) =
∫
dV
⎧ ⎨
αψ
+
β
ψ
2
⋅ψ
⎩
δψ
*
+
1 2m
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
−i
∇
−
e c
A
⎞⎟⎠ψ
⎛ ⎜⎝
i
∇
−
e c
A ⎞⎟⎠
δψ
⎤ *⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
0
（21）
应用矢量分析 ∇ ⋅(δψ *∇ψ ) = ∇δψ *⋅∇ψ + δψ *∇2ψ ，以及 ∫ ∇ ⋅ fdV = ∫ f ⋅ dS ，并注意到由于
(∇ψ )⋅ (∇ψ )成正比，即：
160
δg2 (r ) = K (∇ψ )⋅ (∇ψ )
设系数 K = 2 / 2m 。 最后我们还要考虑磁场本身的能量δg3 ： δ g3 = H 2 / 8π 2 所以，由外加磁场而引起的能量是：
（13） （14）
( ) ( ) δ g
=δ
g1
+δ g2
+ δ g3
=
1 2m
ψ
2
⎡ ⎢⎣
⋅ ∇φ
−
e c
A⎤⎥⎦ 2
+
2
2m
∇ψ
⋅ ∇ψ
+ H 2 / 8π
（15）
所以，总的自由能 g 为：
g S (H ) = gn (0) + α ψ
2
+
β 2
ψ
4
+1ψ 2m
2⎡ ⎢⎣
∇φ
−
e c
A⎥⎦⎤ 2
+ 2 (∇ψ )⋅ (∇ψ ) + 1
2m
8π
H2
（16）
考虑到ψ (r) 是复函数，设ψ (r) 形式为ψ (r) = ψ (r)eiφ(r) ，式中φ 为有序数参量ψ (r) 的位相，最
（26）
因为 g(x) << 1，不计 g 得高次项，有
163
2
g′′(x) − 2g(x) = 0 2m α
即，
g(x) ∝ exp(± 2x /ξ (T ))
这里ξ 2 (T ) = 2 / 2m α ，且α = α0 (T − Tc ) 。图 1 表示ψ 随 x 的变化曲线。
ψ
ψ
ξ(T)
（27） （28）
London 理论和 Pippard 理论适用范围： 一般来说，超导电子密度 nS 不仅依赖于温度 T，而且还是位置 r 和磁场 H 的函数。而在 London 和 Pippard 理论中， nS 只是温度 T 的函数，表明这两种理论只有对弱场中的均匀超导 体( nS 与 r 无关)才适用。正是由于它们只是弱场理论，显然 J S 和 A 之间近似于线性关系，从 这一点来说这两种理论仍是局域的。
然而最关键的问题是对于给定的物理问题，如何找出 nS (r) ？这是 G-L 理论的核心问题。
G-L 理论正是考虑到这些因素而建立的。在数学上他们把二级相变理论应用于超导电性的研 究，得到了 G-L 方程。
§6.1 Ginzburg—Landau 方程的求导
一般二级相变理论是在如下三个基本假设的基础上的： 1、存在一个序参量ψ ，这个ψ 在相变时为零； 2、自由能可以按ψ 的幂次展开； 3、展开式的系数是温度的有规律的函数。 Ginzburg—Landau 认为，由于超导态的超导电子密度有某种有序化，他们引进一个序参量
gSH = gs (r ) + δg(r )
（8）
δg(r )由下面三个部分组成： 1、δg1：是由伴随磁场存在的超导电流密度 J S (r )而带来的自由能的增加，是动能项。即，
磁场产生电流——电子运动引起的； 2、δg2 ：伴随着磁场出现的有序参量在空间的变化，可以引起自由能增加：梯度项（实
验指出由于磁场的存在将引起有序度的变化）。即，δg2 是 ψ 的梯度函数； 3、δg3 ：表示所计及的磁场的能量。 下面我们来分析上述各项引起的自由能的变化。首先考虑δg1，即要找出 Js 与磁场的关系，
e c
A
⎞2 ⎟⎠
ψ
+ αψ
+βψ
2ψ
=0
n
⋅
⎛ ⎜⎝
−i
∇
−
e c