拉普拉斯变换及逆变换
拉普拉斯变换及反变换
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
第7页
黄河科技学院
（5）指数函数
f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
黄河科技学院
控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
拉普拉斯变换及反变换1
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
第21页 页
黄河科技学院
控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
第19页 页
黄河科技学院
控制工程基础
s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
第24页 页
黄河科技学院
控制工程基础
s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=0)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。
函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。
（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。
为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
函数的拉普拉斯变换与逆变换
函数的拉普拉斯变换与逆变换定义函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：F(s)=∫e−st∞f(t)dt其中s是一个复数变量。
性质拉普拉斯变换具有以下性质：1.线性性：对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有：L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]2.时移性：对于任意常数a，有：L[f(t−a)u(t−a)]=e−as F(s)其中u(t)是单位阶跃函数。
3.微分性：对于任意可导函数f(t)，有：L[f′(t)]=sF(s)−f(0)L[f″(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)4.积分性：对于任意可积函数f(t)，有：L[∫ft0(τ)dτ]=F(s)s5.卷积定理：对于任意两个函数f(t)和g(t)，有：L[f(t)∗g(t)]=F(s)G(s)其中∗表示卷积运算。
应用拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1.微分方程的求解：拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
2.信号处理：拉普拉斯变换可以用于分析和处理信号。
3. 控制理论：拉普拉斯变换可以用于分析和设计控制系统。
4. 电路分析：拉普拉斯变换可以用于分析和设计电路。
逆拉普拉斯变换拉普拉斯变换的逆变换定义为：f (t )=12πi ∫e st γ+i∞γ−i∞F (s )ds 其中 γ 是一个大于所有 F (s ) 的奇点实部的常数。
性质逆拉普拉斯变换具有以下性质：1. 线性性：对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f (t ) 和 g (t )，有：L −1[aF (s )+bG (s )]=aL −1[F (s )]+bL −1[G (s )]2. 时移性：对于任意常数 a ，有：L −1[e as F (s )]=f (t −a )u (t −a )3. 微分性：对于任意可导函数 F (s )，有：L −1[sF (s )]=f′(t )L −1[s 2F (s )]=f″(t )4. 积分性：对于任意可积函数 F (s )，有：L −1[F (s )s ]=∫f t 0(τ)dτ 5. 卷积定理：对于任意两个函数 F (s ) 和 G (s )，有：L −1[F (s )G (s )]=f (t )∗g (t )应用逆拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1. 微分方程的求解：逆拉普拉斯变换可以将代数方程转化为微分方程，从而更容易求解。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉氏变换及反变换
2. f (t) eatu(t) (指数函数)
f
(t)
0
（t 0）
et （t 0）
F(s)= ℒ [eat ] eatestdt 0 ℒ [ejt ] 1 s j
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t) （单位脉冲函数）
(t)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
u(t) t0
lim s 1 s s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
例3
I (s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ eat (t)
（5）作Laplace反变换得
1 R Ls
s
1
a
1 L
s
1 R
L
零状态响应电流
i(t)= ℒ-1[I(s)]
1
(e a t
Rt
e L )
(t)
L ( R a)
L
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
的
拉
t
1/s2
普 拉
n!
tn
sn+1
1
斯
e-at
s+a
变 换
1
te-at
(s+a)2
表
tne-at
n!
(s+a)n+1
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算（12.1）称（(Laplace)0<时，（P 作（例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰ 2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，∞=-=-+=→→1(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。
上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。
例12.4 求指数函数()atf t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]at at pt p a tL e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即)(1][a p a p e L at >-=类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。
性质12.1 (线性性质) 若1a ，2a 是常数，且11[()]()L f t F p =，22[()]()L f t F p =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += （12.2）证明：dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=例12.5 求函数1()(1)atf t e-=-的拉氏变换（12.4）t a <）)()()()]([0)(p F e d e f ed ef a t f L ap p apa p -∞+--∞++-===-⎰⎰ττττττ滞后性质指出：象函数乘以ape -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位。
由于函数()f t a -是当t a ≥时才有非零数值。
故与()f t 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -，所以滞后性质也表示为)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--例12.7 求[()]L u t a -。
解：因为1[()]L u t p =，由滞后性质得1[()]ap L u t a e p--=。
例12.8 求()[()]a t L eu t ττ--。
解：因为1[]at L e p a =-，所以()1[()]a t p L e u t e p aτττ---=-，()p a >例12.9 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，求[()]L f t 。
解： )(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=，于是(12.5)（12.6）(1)(0)'(0)''(0)(0)0n f f f f -====时，有更简单的结果),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n ， （12.7）利用这个性质，可将()f t 的微分方程转化为()F p 的代数方程。
例12.10 利用微分性质求[sin ]L t ω和[cos ]L t ω。
解：令()sin f t t ω=，则2()sin (0)0,'(0),"(0)sin f t tf f f t ωωωω====-，由（12.6）式，得)]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，即ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，移项化简得22[sin ]L t p ωωω=+利用上述结果，1cos (sin )'t t ωωω=及（12.5）式，可得])(sin 1[][cos '=t L t L ωωω}0sin ][sin {1])[(sin 1-='=t pL t L ωωωω2222}0{1ωωωω+=-+⋅=p pp p ．性质12.5（积分性质） 若[()]()L f t F p = (0)p ≠，且设()f t 连续，则=t p F dx x f L )(])([（12.8）（12.9）性质12.7 若[()][]L f t F p =，则)()1()]([)(p F t f t L n n n -= （12.10）性质12.8 若[()][]L f t F p =，且0()limt f t t→存在，则 ⎰∞+=p dpp F t t f L )(])([ （12.11）例12.12 求[sin ]L t t ω。
解：因为22[sin ]L t p ωωω=+，由（12.10）式可得22222)(2()1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L例12.13 求sin [tL t。
解：因为21[sin ]1L t p =+，而且0sin lim 1t tt→=，所以由（12.11）式可得p arctg p arctg dp p t t L p p -==+=⎰∞+∞+2|11]sin [2π即0sin 2pt t e dt arctgp t π+∞-=-⎰。
因此，当0=p 时，得到一个广义积分的值∞+前面我们主要讨论了怎样由已知函数()f t 求它的象函数()F p 的问题．运算法的另一面是已知象函数()F p 要求它的象原函数()f t ，这就是拉斯逆变换问题．在控制工程中，求拉氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。
同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．性质12.9（先行性质）)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--。
性质12.10（平移性质）)()]([)]([11t f e p F L e a p F L at at ==---。
性质12.11（滞后性质） )()()]([1a t u a t f p F e L ap-⋅-=--。
例12.14 求223()25p F p p p +=-+的逆变换。
解：]4)1(5)1(2[]5232[)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f]4)1(2[254)1(1[22121+-++--=--p L p p L]42[25]4[22121+++=--p L e p p L e t t ]2sin 252cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数。
3.2()36F p p =+ 4. ()(1)(2)F p p p p =++5．232()69p F p p p p =++ 6. 221()(1)p F p p p +=-第三节 拉氏变换在电学中的应用一、求解常微分方程例12.16 求微分方程'()2()0x t x t +=满足初值条件(0)3x =的解。
解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设[()]()L x t X p =：]0[)](2)('[L t x t x L =+，0)]([2)]([=+'t x L t x L ， 0)(2)0()(=+-p X x p pX 。
例1=-，231413---++=p p p Y再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为tt t e e e t y 237431)(-+=-用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。
二、电学应用举例例12.18 求图示电路的输入运算阻抗Z in (s )解：由串并联关系得Z in (s ) =()()()2222112121212++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+s s s s s s s 例12.19 求图(a)所示电路中的i (t )、u C (t )。
()()()()106110102+++==s s s s I s s U C j 3j 31321+++-+++=s K s K s K 其中()()2106101 1211=++=+=-=-=s s C s s s s U K()()()()j3j 32j 3110j 3 +-=+-=+++=-+=s s C s s s s U K︒=+-=565.116 /5j21()()︒-=++=--=565.116 /5j 3 j 33s C s s U K则()()[]V )ε( )]565.116(cos e 52e 2[L 31t t s U t u t t C C ︒++==---12. 求图(a)所示电路中的回路电流i 1和i 2.。