2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义1

合集下载

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT

向量数量积的物理背景
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已知 |a|6,|b|4， a与 b的夹角为 60，求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时，向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫做向量 b 在 a 方向上的投影；
| a | c o s 叫做向量 a 在 b 方向上的投影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立

241平面向量的数量积的物理背景及其含义

|b|.
特别的a2 =aa = |a|2 | a | a a
4）cos
=
|
ab a || b
|
5） |ab| ≤ |a||b|
6.向量的数量积的运算律：
对向量 a,b, c 及实数，则有:
ab ba
(a) b (a b) a (b) (a b) c a c b c
号“·” 不应省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但在数量积中，a0，且ab=0，不能推出 b=0.因为其中cos有可能为0.
(4)对于实数a、b、c(b0)，可由 ab=bc a=c.但对于向量a、b、c 由ab = bc a = c
3．“投影”的概念：
求：(a 2b)(a 3b)
变式：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当:①ａ∥ｂ， ②ａ⊥ｂ， ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
例4 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
作业： 1）书P108.A组--1，2， 3，6，7，8 2）作业本相关内容
(ab)c a(bc)成立吗？
例题讲解：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角
θ=120o，求a·b.
例2对任意向量 a , b,是否有结论:
(1)
(a
b)2

2
a
2
2a b b
(2)
2
2
(a b)(a b) a b
例3已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o
定义：|b|cos叫做向量b 在向量a方向上的投影

向量数量积的物理背景与定义

2.3.1向量数量积的物理背景与定义具体要求：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

为实现在整个学科课程价值中的作用，本课教材的教学突出向量的物理背景与几何背景，强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用，通过向量数量积的运算与数的乘法运算的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。

教学设计:一、物理背景引入引言：数学是一门高度抽象的学科，这也使得它的应用非常广泛。

比如对物理中的矢量的研究就产生了数学中的向量，力的合成与分解就是向量的加法、减法和数乘运算。

类比实数的运算，我们思考一个问题：【问题1】两个向量能否相乘呢？思考：在物理中，大家遇到过两个矢量确一个量的问题吗？活动：学生思考回答问题。

[设计意图]选择贴近学生实际生活的问题来展开探究，激活学生的已有相关经验，从物理背景迁移到数学概念中来，很容易引起学生的兴趣，感受数学来源于生活，又服务于生活。

二、物理背景分析【问题2】物理上如何计算“功”？活动：学生回答问题。

如图所示，一个力F 作用于一个物体，使该物体产生位移S ，由于力与位移的夹角为θ，力F 所做的功为：θW =引导：功可以看作是力与位移进行某种运算的结果。

[设计意图] 因为学生已经有“功”的概念,这是平面向量的数量积的知识增长点。

教师设置问题引导学生思考，并类比地定义操作性很强的向量夹角定义,达到水到渠成的效果。

探究1：影响功的大小有哪几个因素？活动：学生回答。

引导：计算公式涉及到力与位移的夹角，我们看两个向量夹角的定义：已知两个非零向量b a ,，在平面任取一点O ，做a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做两个向量b a ,的夹角，记作><,，并规定π>≤≤<b a ,0（在这个条件下，任意两个向量的夹角是确定的）探究2：力作功的最大值及最小值是多少？活动：学生回答向量夹角的范围。

平面向量数量积的物理背景及其含义

例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意（2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|

(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)

思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
功的概念：如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是什么量？在数学中F和S又是什么量？与这两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b

3,

【评课】《平面向量数量积的物理背景及其含义(1)》

评课《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》
本节课是概念数学课，教师应用多媒体辅助教学，设计了从物理和数学两个角度创设情景，注重概念产生背景及概念深化的过程，使学生认识了数量积的数学模形。

通过问题形式引导学生自主探究数量积的性质及运算律，培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力，通过练习使学生掌握了数量积的计算，最后教师通过知识技能、思维方法两个方面加以总结，使学生深化对数量积的认识，形成了良好的认知结构。

数量积的性质在解题中有许多应用，同时也应是本节课的重、难
点，如何突破，教师在教学设计中似乎“单薄”些。

如重要性质ab a b
v v v v 应配备练习来加以巩固。

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

2.3.1向量数量积的物理背景与定义一、教学内容分析从教材体来看，平面向量的数量积是继向量定义、向量的线性运算之后的又一重要概念和运算，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的模型抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质及其应用。

因而数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

由于数量积的性质在证垂直、求长度、求角中经常用到，因而数量积的性质是本节课的又一教学重点。

二、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了力的分解、矢量、功等物理知识，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点很难接受；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，因而本节课教学的难点是数量积定义及性质的理解和应用。

三、教学目标分析1、知识与技能目标：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2）知道平面向量的数量积与向量投影的关系（3）掌握平面向量数量积的重要性质，了解用平面向量的数量积的初步应用2、过程与方法目标：（1）通过向量数量积物理背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过功的实际模型抽象出定义，通过具体问题总结性质，渗透由特殊到一般的思维方法3、情感、态度与价值观目标：通过探究性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生探究问题、归纳概括的能力四、教学方法分析1、制作高效实用的多媒体课件，主要作用是通过模型以问题引领学生探究。

2、设计科学合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

五、教学过程设计(一)创设问题情景问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2:在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么如图力F 所做的功：θcos F s W =，设计意图：问题1在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算问题2在于使学生了解数量积的物理背景，为抽象数量积的概念做好铺垫。

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点，求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2、向量在轴上的正射影
分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1 、 A 1 ，则向量 O 1A 1
叫做向量 a 在轴 l 上的正射影.
A
a
O x
A1 al
O1
l
3、向量的数量积的定义
数量积定义： a b cos a, b 叫做向量 a 和 b 的数
量积（或内积），记作 a b ，即：
周一完成本节课学习并做练习册问题：观察讨论功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？θ表示什么？
W F s cos
如何给出两个向量的数量积的运算？
1、两个向量的夹角
两向量夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b ，在
平面上任取一点 O ，作 OA a ， OB b ，则
③ a a a ，即 a
④ cos a, b
2
aa
⑤ a b ≤ a b
a b ab
【例 1】判断下列各题是否正确
（1）若 a 0 ，则对任意向量 b ，有 a b 0
（√ ）
Χ Χ Χ
（2）若a 0，则对任意非零向量 b ，有 a b 0 （
-3
0
-6或6
【例 3】如图，△ABC 为等腰直角三角形，且直角边
AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
A
0
B
45°
C
练习 1、已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，② a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a· b ①a∥b时， a· b =±18；
②a⊥b时，a· b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a· b=9.
练习2、判断正误，并简要说明理由:
① a· 0＝0；② 0· a＝０；③0 －AB ＝ BA ；
④ |a · b|＝|a||b|； ⑤若a≠0，则对任一非零b有a· b≠０； ⑥ a· b＝０，则a与b中至少有一个为0； ⑦对任意向量a，b，c都有(a· b)· c＝a· (b· c)； ⑧ a与b是两个单位向量，则a2=b2.
（3）若a 0，且a b 0 ，则b 0 （（（（
）））））
（4）若 a b 0 ，则a 0 或b 0
（5）对任意向量 a 有 a a
2 2
√
Χ
（6）若a 0，且a b a c ，则b c
【例 2】已知|a|=2，|b|=3，且分别满足下列条件，求 a·b. (1) <a, b>=120°; (2) a⊥b; (3) a//b
a b a b cos a, b .
规定：0 a 0
探究1：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别?
探究 2：两个向量的数量积的值与夹角之间有什
么关系？你能从图中说出 b cos 的几何图形吗？
a b a b cos a, b .
正确： ①②③⑧
错误：④⑤⑥⑦
作业：练习册
AOB 0 叫做向量 a 与 b 的夹角．
a b
记作： a, b
探究：你能指出下列图中两向量的夹角吗？
BC 练习、在等边三角形ABC中 AB、
的夹角为_________. ∠ABC的补角
B
A
C
定义：已知向量 a 和轴 l，作 OA a ，过点 O，A
a b 0
a b 0
a b 0
合作探究：
思考数量积的如下性质，并给出证明：
①若 e 是单位向量，则 a e e a a cos a, e
② a b a b 0 ，且 a b 0 a b