湖北省恩施州利川一中2018届高三上学期9月月考数学理试卷 含解析

2018-2018学年湖北省恩施州利川一中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a7﹣a5的值为（）A．8 B．12 C．16 D．722．设集合A={y|y=1nx，x≥1}，B={y|y=1﹣2x，x∈R}，则A∩B=（）A． C．（﹣∞，1] D． C．（﹣∞，1] D．+≤﹣×2×+=．当10﹣n=时取等号，即取得最大值，y取得最小值．解得n=5，则m=10．则△、Θ的值分别为10，5．故选B．【点评】本题主要考查了代数式向形如x++a（x＞0，a为常数）的代数式的转化方法，注意分子次数必须高于分母次数；同时考查基本不等式的运用条件，特别是取等号时的条件．该题代数运较为繁琐，运算量较大，属于难题．7．（2018•黄冈模拟）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加，让其值等于7a1，根据a1不等于0，消去a1得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．【解答】解：由S3=7a1，则a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，由a1≠0，化简得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，解得q=2或q=﹣3，则数列{a n}的公比q的值为2或﹣3．故选C【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．8．（2018•秦州区校级一模）程序框图如图所示，则输出S的值为（）A．15 B．21 C．22 D．28【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为21．【解答】解：执行程序框图，有n=1，S=0满足条件n≤6，S=1，n=2；满足条件n≤6，S=3，n=3；满足条件n≤6，S=6，n=4；满足条件n≤6，S=10，n=5；满足条件n≤6，S=15，n=6；满足条件n≤6，S=21，n=7；不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为21．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，解题的关键是判断，当n=7时不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为21，属于基本知识的考查．9．（2018•天水校级模拟）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．10．（2018•长沙校级模拟）若a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，则a+b的值为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数相等即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，∴，解得b=，a=．则a+b==．故选：C．【点评】本题考查了复数复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2018秋•邯郸校级期中）设椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，∠F1MF2=2θ，△MF1F2的内心为I，则|MI|cosθ=（）A．2﹣B． C．D．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】综合题．【分析】设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|，由此可得结论．【解答】解：由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2，设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|==2﹣，故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查切线长定理，考查椭圆的定义，属于中档题．12．（2018•延安校级模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．D．（0，1）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意，y′=lnx+1﹣2ax令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数y=xlnx﹣ax2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）（2018秋•利川市校级月考）已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若按照0.618 13．法优选，则第2次试点的加入量为138.2或161.8 g．【考点】优选法的概念．【专题】计算题．【分析】由题知试验范围为，区间长度为100，故可利用0.618法：100+（200﹣100）×0.618=161.8或200+110﹣161.8选取试点进行计算．【解答】解：根据0.618法，试点加入量为x1=100+（200﹣100）×0.618=161.8或x2=200+100﹣161.8=138.2故答案为：138.2或161.8．【点评】本题考查优先法的0.618法，属容易题，解答的关键是对黄金分割法﹣0.618法的了解．14．（2018秋•利川市校级月考）若sin（+α）=，则cos2α= ﹣．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：sin（+α）=，可得cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．15．（2018•黄浦区一模）已知m、n、α、β∈R，m＜n，α＜β，若α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n＜β（用符号“＜”连接起来）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可知α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，从而判断大小关系．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．16．（2018•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n= 3n﹣1．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．三、解答题（70分）17．（12分）（2018秋•利川市校级月考）如图，直二面角A﹣BD﹣C，平面ABD⊥平面BCD，若其中给定 AB=AD=2，∠BAD=90°，∠BDC=60°，BC⊥CD．（Ⅰ）求AC与平面BCD所成的角；（Ⅱ）求点A到BC的距离．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）取BD的中点M，连接AM，CM，则可得AM⊥平面BCD，故∠ACM为所求角；（II）计算AC，BC得出△ABC为等腰三角形，取BC的中点N，则AN⊥BC，利用勾股定理计算AN．【解答】解：（I）取BD的中点M，连接AM，CM，∵AB=AD，∴AM⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AM⊥平面BCD，∴∠ACM为AC与平面BCD所成的角，∵AB=AD=2，∠BAD=90°，∴AM=BD=，∵BC⊥CD，∴CM=BD=，∴∠ACM=45°．（II）∵∠BDC=60°，BC⊥CD，∴∠C BM=30°，∵BM=CM=，∴BC=，∵AB=2，AC=AM=2，∴△ABC是等腰三角形，取BC的中点N，连接AN，则AN⊥BC，BN=BC=．∴AN==．【点评】本题考查了空间距离与空间角的计算，属于中档题．18．（12分）（2018秋•莲湖区校级期中）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n a n（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n；（3）设F n=（4n﹣5）•2n+1，试比较F n与T n的大小．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）依题意可得到关于等差数列的首项与公差的方程组，解之即可；（2）利用错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n；（3）将F n与T n作差，根据结果对n分类讨论即可得到答案．【解答】解：（1）由已知可得（d＞0）解得：．∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3…（4分）（2）∵b n=2n a n=（4n﹣3）•2n，∴T n=1•21+5•22+9•23+…+（4n﹣7）•2n﹣1+（4n﹣3）•2n，①2T n=1•22+5•23+…+（4n﹣11）•2n﹣1+（4n﹣7）•2n+（4n﹣3）•2n+1，②①﹣②得：﹣T n=2+4（22+23+…+2n）﹣（4n﹣3）•2n+1=2+4•﹣（4n﹣3）•2n+1=2+4•2n+1﹣16﹣（4n﹣3）•2n+1=﹣（4n﹣7）•2n+1﹣14∴T n=（4n﹣7）•2n+1+14…（9分）（3）∵F n﹣T n=（4n﹣5）•2n+1﹣（4n﹣7）•2n+1﹣14=2n+2﹣14，∴当n≥2时，2n+2≥24=16＞14，即2n+1﹣14＞0，故F n＞T n；当n=1时，2n+2=23=8＜14，即2n+1﹣14＜0，故F n＜T n．综上所述，当n=1时，F n＜T n；当n≥2时，F n＞T n…（13分）【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，着重考查错位相减法的应用，考查方程思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．19．（12分）（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）（方法一）由题设知，则．从而得：．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而得：．或者由，，得：【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．20．（12分）（2018秋•灌云县校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）若tanA﹣tanB=（1+tanA•tanB），求角B；（Ⅱ）设=（sinA，1），=（3，cos2A），试求•的最大值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形．【分析】（I）利用余弦定理、两角和差的正切公式、正切函数的单调性即可得出．（II）利用数量积运算、倍角公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==．∵C∈（0，π），∴C=．∵tanA﹣tanB=（1+tanA•tanB），∴tan（A﹣B）==，∵A，B，∴，∴A ﹣B=．∴B==，解得B=．（2）•=3sinA+cos2A=﹣2sin2A+3sinA+1=，由（I）可得，∴当sinA=时，•取得最大值．【点评】本题考查了余弦定理、两角和差的正切公式、正切函数的单调性、数量积运算、倍角公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．（10分）（2018秋•黑龙江期末）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．【解答】解：由题意得，命题，命题q：B={x|a ≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．22．（12分）（2018秋•朝阳区期中）已知函数f（x）=2sin cos﹣2cos2．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程．【考点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）f（x）=sinx﹣cosx﹣1=2sin（x﹣）﹣1，然后将x=代入求值；（2）令+2kπ≤x﹣≤+2kπ解出单调递减区间，令x﹣=解得对称轴方程．【解答】解：（1）f（x）=2=sinx ﹣cosx﹣1=2sin（x﹣）﹣1．∴f（）=2sin﹣1=0．（2）令+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得+2kπ≤x≤+2kπ，∴f（x）的单调递减区间是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．令x﹣=，解得x=+kπ，∴f（x）的对称轴方程是x=+kπ，k∈Z．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和性质，化成复合三角函数是解题关键．。