八年级下数学讲义-勾股定理
人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
初二数学复习讲义——-勾股定理
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： ， ，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 中， ．
（1）已知 ， ．求 的长
（2）已知 ， ，求 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在 中， ， ， ， 于 ， ＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三： ， ，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
解：（3）∵c为最长边，2＋4＝6， ∴4≤c＜6， ∴16≤c2＜36， a2＋b2＝22＋42＝20， ①a2＋b2＞c2，即 c2＜20， ∴当16≤c2＜20 时，这个三角形是锐角三角形； ②a2＋b2＝c2，即 c2＝20， ∴当c2＝20 时，这个三角形是直角三角形； ③a2＋b2＜c2，即 c2＞20， ∴当20＜c2＜36 时，这个三角形是钝角三角形．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时
D
北 N
A东
间为 3 h．
B
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向
角的定义作答即可．
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形； 当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代 数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
北 N
A东
最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； B
解：（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
M
∴AC CD2 AD2 452 602 75（km）． C
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
人教版八年级数学下册 勾股定理 讲义
c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点一、勾股定理的概念知识概念：勾股定理是指，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为“勾股形”， 因此把这个定理称为“勾股定理”。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，因此这个定理也叫做“毕达哥拉斯定理”在Rt △ACB 中，根据勾股定理：222a b c +=中国古代数学家赵爽的证明方法：将四个全等的直角三角形摆成如图所示的图形4AGB S ∆+S 正方形EFGH =ABCD S 正方形，2214()2ab b a c ⨯+-= 化简可证a 2+b 2＝c 2例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=3， b=4，求c (2)已知a=9，b=40，求c (3)已知a=6，c=10，求b1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=5， b=12，求c (2)已知a=7，b=24，求c (3)已知a=8，c=17，求b2、如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边。
（1）已知c ＝25，b ＝15，求a（2）已知a ＝6，∠A ＝60°，求b 、c知识概念：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数例2、下列属于勾股数的有_________①3，4，5 ②6，8，10 ③9，12，15 ④12，16，20 ⑤5，12，13 ⑥7，24，25 ⑦9，40，41⑧10，24，26 ⑨1，1，2 ⑩0.3，0.4，0.5如果三个数满足勾股定理，那么它们的k 倍也满足勾股定理1、下列哪一组属于勾股数（ ）A 、0.6，0.8，1B 、112，2，122C 、1，2，3D 、15，20，252、在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a:b=3:4，则ab=______3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=______4、已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A、3B、1C、3+2D、3+35、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里6、请用数轴上表示出代表2的数7、如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________例3、已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（）A、a2+b2=c2B、a2+c2=b2C、b2+c2=a2D、a+b=c例4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是________8、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.9、如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.10、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_________11、若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（）A．25 B．7 C．7或25 D．9或1612、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．2013、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？15、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小明头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?16、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?。
免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理
4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
0
1
八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对 ）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒 的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。
八年级下册数学讲义勾股定理
第十七章勾股定理17.1 勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的证明在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．3．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为、a 、，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为a b -a b +A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________；（2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．学_科网11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ；（2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积；（3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ；（5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：．22222()AB AC BD AD +=+13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．。
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a
b
c
图1
c b
a
图2
4、 记住常用的勾股数
能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，∵32
+42
=52
∴3、4、5是一组勾股数 同理 6、8、10是一组勾股数，5、12、13也是一组勾股数； 此外，还可用下面的方法产生无数组勾股数：
①若a =6，c=10，则b 等于多少？
②若a =12，b=5，则c 等于多少？
③若c=15，b=13，则a 等于多少？
（2）Rt△ABC 的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？
（3）已知等边三角形ABC 的边长是6cm ．求：（1）高AD 的长；（2）△ABC 的面积。
（4） 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD⊥AB 于D ，求CD 的长.
a
c
b
A
B
C
补充练习：
1、在△ABC 中，∠C=90°，(1)若a =1，b=2，则c= ；(2)若a =5，c=2
5，则b= ；
(3)若b=4，c=8，则a = 。
2、在Rt △ABC 中，有一边是2，另一边是3，则第三边的长是 。
3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD 是AB 上的高，如果∠A=30°，BC=2cm ，则∠B= °，AB= cm ，AC= cm ，CD= cm ，
S △ABC = cm 2。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则高CD= 。
5、已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，BD ⊥AB ，∠BAD=30°，若AD=8，求AC 的长。
6、在△ABC 中，2
2
BC m n =-，AC=2mn ，2
2
AB m n =+ (m ＞n)。
求证：△ABC 是直角三角形。