一元二次方程新题型展示
一元二次方程的应用【十大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
一元二次方程的应用【十大题型】【题型1 传播问题】 (1)【题型2 增长率问题】 (4)【题型3 营销问题】 (7)【题型4 工程问题】 (11)【题型5 行程问题】 (14)【题型6 图表信息题】 (19)【题型7 数字问题】 (21)【题型8 与图形有关的问题】 (24)【题型9 动态几何问题】 (27)【题型10 其他问题】 (36)【题型1 传播问题】【例1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．【答案】(1)11人(2)11元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，根据总利润=每斤的利润销售×数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x(1+x)=144，即(1+x)2=144解得：x1=11，x2=−13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，依题意得：(y−8)[40−10(y−12)]=150，整理，得：y2−24y+143=0，解得：y1=11，y2=13∵最大限度的帮爷爷增加销量，∴小玲应该将售价定位11元，答：小玲应该将售价定为11元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（）A．11B．12C．22D．33【答案】B【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他(x−1)人握手，共握手次数为1x(x−1)，根据一共握了662次手列出方程求解．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：1x(x−1)=66，2整理，得x2−x−132=0，解得x1=12，x2=−11，(舍去)则参加这次会议的有12人．故选：B．【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为1x(x−1)．2【变式1-2】（2023春·黑龙江七台河·八年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出个小分支．【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1+x+x×x=111即x2+x−110=0，(x−10)(x+11)=0解得：x1=10,x2=−11（舍去）故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？【答案】(1)6；(2)y=1x(x−1)2(3)8×4×(4−1)场；【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：12（2）直接根据题意列出函数关系式即可；（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：1×4×(4−1)=6场；2（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y=1x(x−1)；2（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：1x(x−1)=28，2解得：x1=8，x2=−7（舍去），这次比赛共有8个队参加．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．【题型2 增长率问题】【例2】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值.【答案】(1)20%(2)16【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（21200元列出方程，求出a%的值即可【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，依题意得：15(1−x)2=9.6，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．答：商城每次降价的百分率为20%．（2）根据题意得，500×(1+3a%)×[15×80%−8(1+a%)]−500×(9.6−8)=1200整理得，2000a%−12000(a%)2=0，或a%=0（舍去）解得，a%=16故a%的值为16【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元.(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?【答案】(1)20%(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意得：400(1+x)2=576解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去）答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%（2）576×(1+20%)=691.2（万元）∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．【变式2-2】（2023春·河北承德·八年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2请说明理由．【答案】(1)10%(2)不会，理由见解析【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000(1−x)，5月份的房价为5000(1−x)2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，5000(1−x)2=4050(1−x)2=4050 50001−x=±910x1=110=10%，x2=1910（舍）答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%．（2）否，理由如下：∵4050×(1−110)2=3280.5（元）3280.5>3000，∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．【变式2-3】（2023春·山西太原·某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．【答案】(1)20%(2)2750元【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50)台，利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182，整理得：25x2+75x−16=0，解得：x1=0.2=20%，x2=−3.2（不符合题意，舍去）．答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；)台，（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50根据题意得：(y−2500)(8+4×2900−y)=5000，50整理得：y2−5500y+7562500=0，解得：y1=y2=2750．答：每台冰箱的售价为2750元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型3 营销问题】【例3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润=销售价−进货价）(1)水果店第一次用720元购进A B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，由题意得：{x+y=3028x+22y=720，解得{x=10y=20，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果(80−m)件，由题意得：28m+22(80−m)≤2000，∴m≤40，设利润为w元，则w=(42−28)m+(34−22)(80−m)=2m+960，∵2>0，∴w随m的增大额增大，∴当m=40时，w最大值=2×40+960=1040．故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）解：设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为(12−a)元，由题意得：(4+2a)(12−a)=90，解得，a=3或a=7，∵为了尽快减少库存，∴a=7，∴34−7=27，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．×2=14（辆)，【详解】（1）解：∵当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.50.5∴平均每周利润为：(13.5−10)×14=49（万元），答：平均每周的销售利润是49万元；（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，(x−10)(8+15−x×2)=40．0.5化简，得(x−10)(17−x)=10，x2−27x+180=0，解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．【变式3-2】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a(1+x)2=b，列式计算即可；（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：256×(1+x)2=400，解得：x=0.25或x=−2.25（舍）；∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）解：设降价y元，由题意得：(40−y−25)(400+5y)=4250，整理得：y2+65y−350=0，解得：y=5或y=−70（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a450+0.5a300=21解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，x)=40500依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752整理得：x2−6x+45=0Δ=62−4×45<0，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15−13)[9000−x)]=12600−600x2×225−8(225+752∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+75x)+12600−600x=405002解得x1=1,x2=3∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2【题型4 工程问题】【例4】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：32x+32(2x+30)=4800，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，由题意得：32x+32(2x+30)=4800，解得x=40，2x+30=80+30=110米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：40(32+m+25)+(110−3m)(m+32)=4800+1000，解得m=18，m=0（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【变式4-1】（2023春·宁夏中卫·八年级校考期中）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可．（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，根据题意，得x(x+5)=6(x+x+5)，即x2−7x−30=0，解得x1=10，x2=−3（不合题意，舍去）．∴x+5=15．答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．m个月，（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为12m≤1500，由题意得，100m+（100+50）12解得：m≤847∵施工时间为整数，∴m≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．【变式4-2】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个．（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ．【分析】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即可；（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列出方程求解即可．【详解】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时(12−x)400+500x≥5500解得：x≥7答：B 生产线至少生产口罩7小时.（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300 解得：t 1=22,t 2=6 生产时间：6+8=14ℎ答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．【变式4-3】（2023春·重庆合川·八年级校考期中）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖12m 米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m 米，若最终每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，求m 的值．【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米， 依题意，得：8（2000-x ）≥43×6x ， 解得：x ≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依题意，得：（6+m ）（6+12m ）+8（6-14m ）=6×（6+8）+11m -8，整理，得：m 2-8m +16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值为4．【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【题型5 行程问题】【例5】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480m/min；400m/min(2)70min【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，依据题意列方程得，12000x −120001.2x=5，∴12000×1.2−12000=5×1.2x，∴x=400，经检验，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m/min．∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．故答案为：480m/min；400m/min．。
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲
一元二次方程（考题猜想，15种题常考题型）➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一．直接开平方（共3小题）1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程260x -=的解是（ ）A．12x x ==B．1x =2x =C ．126x x ==D ．16x =，26x =-2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程260x -=的根为 .3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：()22910x x --=．二．配方法（共3小题）4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ． ()2310x -=C ．2(3)8x +=D ．2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．【详解】解：2610x x --=Q ，261x x \-=，26919x x \-+=+，()2310x \-=，故选：B ．5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程2810x x ++=时，则方程需变形为()24x += ．【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【详解】解：∵2810++=，x x∴281+=-，x x∴2816116++=．x xx x++=-+，即281615故答案为：156．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程：(1)()224x-=(2)213-=x x三．因式分解法（共3小题）7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-，则2x x +的值为（ ）A ．8B ．2-C ．8或2-D ．8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，把2x x +看成一个整体，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：()()2226160x x x x +-+-=，因式分解得，()()22820x x x x +-++=，∴280x x +-=，220x x ++=，∴28x x +=，22x x +=-（满足此式实数不存在，舍去），故选：A ．8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程232x x =的根为 ．9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四．公式法（共3小题）10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）x）A．2x x2310-+=2310x x++=B．2C．22310x x+-=+-=D．22310x x-的值互为相反数，那么x的值为．2x12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程．(1)2--=；2510x x2五．用适当的方法解方程（共3小题）13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)22410x x -+=（公式法）(2)2926x x -=+（因式分解法）14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程：(1)2540x x -+=；(2)2(1)40x +-=．【答案】(1)11x =，24x =(2)11x =，23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【详解】（1）2540x x -+=，(1)(4)0x x --=，10x \-=或40x -=，解得：11x =，24x =；（2）2(1)40x +-=，2(1)4x +=，12x +=或12x +=-，解得：11x =，23x =-．15.（22-23九年级上·山东济宁·期中）（1）解方程：()24190x --=；（2）解方程：2420x x --=．六．含绝对值的一元二次方程（共2小题）16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2560x x --=．解：分两种情况：（1）当0x ³时，原方程可化为：2560x x --=，解得16x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为：2560x x +-=，解得16x =-，21x =（舍去）．综上所述：原方程的解是16x =，26x =-．任务：请参照上述方法解方程：220x x --=．【答案】12x =，22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时，当0x <时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当0x ³时，原方程可化为220x x --=解得：12x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=解得：12x =-，21x =（舍去）；∴综上所述，原方程的根是12x =，22x =-．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程22||30x x --=．解：①当0x ³时，原方程为2230x x --=，解得11x =-（与0x ³矛盾，舍去），23x =．②当0x <时，原方程为2230x x +-=，解得11x =（与0x <矛盾，舍去），23x =-．所以原方程的根是13x =，23x =-．在上面的解答过程中，我们对x 进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：2||10x x --=．七．换元法（共3小题）18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ¹），则方程()220a x m b +++=的解是（ ）A ．10x =，21x =-B ．10x =，23x =C ．14x =-，21x =-D ．14x =，23x =19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若()()2222260x y x y +-+-=，则22x y +的值为．【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将22x y +看成一个整体计算即可．【详解】解：设22z x y =+，原方程为：260z z --=，解得123,2z z ==-，Q 220³+x y ，223x y \+=．故答案为：3．20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=…①，那么原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =，故原方程的解为1x =，2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：()()22260x x x x +++-=八．判断一元二次方程根的情况（共3小题）21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式24b ac D =-，当0D >时方程有两个不相等的实数根，当0D =时方程有两个相等的实数根，当0D <时方程无实数根．【详解】解：()2246411040b ac D =-=--´´=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k 取何值，关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根，所以不论k 取何值，方程总有实数根九．确定字母的取值或范围（共3小题）24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，则k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程20ax bx c ++=（0a ¹）的根与24b ac -有如下关系：①当240b ac ->时，方程有两个不相等的两个实数根；②当240b ac -=时，方程有两个相等的两个实数根；③当240b ac -<时，方程无实数根．根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=，求出k 即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，\2(4)40k D =--=，解得：4k =．故选：D ．25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根，则c 的取值范围为 ．26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．求实数m 的取值范围．十．根与系数关系的综合应用（共3小题）27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数a ，b 满足 23510a a +-=，2530b b --=，且1ab ¹，则ab的值为（ ）A ．53-B ．1-C ．3-D ．13-28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键．由题意得m ，n 是230x x --=的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：2226n n -=，1m n +=，3=-mn ，变形2222021n mn m -++，为222222021n n mn m n --+++，代入求解即可．【详解】mn Q 是两个不相等的实数，且满足2233m m n n -=-=，，mn \是方程230x x --=的两根，2226n n \-=，1m n +=，3=-mn ，2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=．故答案为：2032．29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时k 的值，若不存在，请说明理由．十一．与几何图形的综合应用（共4小题）30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=，则x x此三角形的周长是()A．11B．19C．20D．11或1931.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程22860x x -+=，则这个等腰三角形的周长为，【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【详解】解：22860x x -+=Q ，(1)(3)0,x x \--=解得：1x =或3x =，∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，∴当1是等腰三角形的腰时，113+<，不能组成三角形，舍去；当3是等腰三角形的腰时，133+＞，则这个三角形的周长为1337++=．故答案为：7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根．(1)当5k =时，求ABC V 的周长．(2)若ABC V 为等边三角形，求k 的值．【答案】(1)10(2)3k =【分析】（1）将5k =代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解；（2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到240b ac D =-=，求解即可．【详解】（1）解：当5k =时，一元二次方程为2680x x -+=，解得2x =或4x =．∴ABC V 是等腰三角形，∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去），∴ABC V 的周长44210=++=．（2）∵ABC V 为等边三角形，∴方程有两个相等的实数根，∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû，解得3k =．【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=，其中a ，b ，c分别为ABC V 三边的长．(1)已知1x =是方程的根，求证：ABC V 是等腰三角形；(2)如果ABC V 是直角三角形，其中90B Ð=°，请你判断方程的根的情况，并说明理由．十二．储蓄问题（共2小题）34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（ ）A ．5%B ．20%C ．15%D ．10%【答案】D【分析】设年利率为x ，根据“两年后的定期本息=本金´（1+年利率）2”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年利率为x ，由题意得：()2500016050x +=，解得120.110%, 2.10x x ===-<（不符题意，舍去），即年利率为10%，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为 ．【答案】24001484x +=（）【分析】本题为复利问题，一般形式为21a x b +（）＝，如果设年利率为x ，那么根据题意可得出方程．【详解】解：设年利率为x ，则根据公式可得：24001484x +=（）；故答案为：24001484x +=（）．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式21a x b +（）＝，其中a 是变化前的原始量，b 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率十三．行程问题（共3小题）36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为212s at =，如 果飞机起飞前滑行距离750m ，其中215m/s a =，则飞机起飞的时间t = s ．故答案为：10．37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s v t =×．现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5m 1.41»）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】（1）根据以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动5m 约用了x 秒，由时间´速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=，十四．工程问题（共1小题）39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？【答案】(1)A 检测队有6人，B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x ，y 的且当天共采样9220份，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人，依题意得：137207009200x y x y +=ìí+=î，分解得：67x y =ìí=î答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样()70010m +人，依题意得：()()()72067001079360m m m +++-=，解得：29140m m -+=，解得：12m =，27m =，由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则7m <故2m =，答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程十五．进制问题（共1小题）40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（-14ICME ）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=，表示-14ICME 的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；（2）小华设计了一个n 进制数120，则n 的值为．【答案】 2022 9【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以08，18，28，38，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：21043120n n n +´+´=，解得19n =，213n =-（舍去）．故n的值是9．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．。
第21章 一元二次方程(六大热考题型)(解析版)
第21章《一元二次方程》分层练习1．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）一元二次方程22350x x -+=的一次项是（ ）A ．3xB ．3x -C ．3D ．3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可．【详解】一元二次方程22350x x -+=的一次项是3x-故选：B ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．2．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程24825x x +=化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．4，8，25B ．4，2，25-C ．4，8，25-D ．1，2，25【答案】C 【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a ，b ，c 的值．【详解】解：将原方程化为一般形式得：24825=0x x +-，∴4a =，8b =，25c =-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式()200ax bx c a ++=¹，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）把一元二次方程231x x -=化为一般形式后，它的常数项为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般式及定义，即可求解．【详解】解：231x x -=转化为一般式得，2310x x --=，∴常数项为1-，故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的定义和形式是解题的关键．4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）一元二次方程22510x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．2，5，1-B ．2，5，1C ．2，5，0D ．22x ，5x ，1-【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：20(,,ax bx c a b c ++=是常数且0)a ¹中，2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项，其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程22510x x +-=，则该方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为1-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．考查题型三 一元二次方程的解1．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）若m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根，则220225m m -+的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【分析】先将m 代入方程中得到252m m -=，再代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根，∴2520m m --=，则252m m -=，∴220225m m-+()220225m m =--20222=-2020=，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．2．（2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习）若关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0，则m 的值为（ ）A ．3B ．0C ．3-D ．3-或3【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0，∴30m -¹且290m -=，解得：3m =-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为20(,,ax bx c a b c ++=为常数且0)a ¹，理解一元二次方程的定义是解题的关键．3．（2023·广东珠海·校考三模）如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2023a b --的值为（ ）A ．2022-B ．2022C ．2023D ．2024【答案】D【分析】由题意知，10a b ++=，则1a b +=-，根据()20232023a b a b --=-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，10a b ++=，∴1a b +=-，∴()202320232024a b a b --=-+=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．4．（2023·福建南平·校联考模拟预测）若关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-，则a 的值为（ ）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【答案】D【分析】根据方程解的定义，把2x =-代入方程求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-，∴()()22260a --´-+=，解得：5a =-．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义．掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．\129x x +=-，1217x x =，2119170x x ++=，2229170x x ++=，\()()22112281653x x x x ++-+12()()171617143x x =--+--+12)141(1)(x x =++1212()141x x x x =´+++)1417(91=´-+126=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．考查题型六 一元二次方程与实际问题1．（2023·广东阳江·统考一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？【答案】(1)10人(2)不超过【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染x 人，根据题意列方程解方程即可；（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染10人，进而得到三轮后患病总人数为1331即可解答．【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染x 人．根据题意得()11121x x x +++=，解得10x =，或12x =-，∵0x >，∴10x =，答：每轮感染中平均一个人传染10人；（2）解：根据题意可得：第三轮的患病人数为()31011331+=，∵13311500<，∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人，答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人；【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．2．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得：()2x+=，1.612.5x==（负值已舍掉）；解得：0.2525%答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：()y+£+，2.12510 2.5125%y£；解得：0.1∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．3．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y （个）与每个售价x （元）之间的函数关系式；(2)如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？【答案】(1)3105y x =-+(2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元【分析】（1）利用第二天起每天的销售量303=+´每个降低的价格，即可解答；（2）利用总利润=每个销售利润´销售数量，结合前两天共获利525元，即可列一元二次方程，解之即可．【详解】（1）解：由题意可得()303253105y x x =+-=-+，\第二天起每天的销售量y （个）与每个售价x （元）之间的函数关系式为3105y x =-+；（2）解：由题意可得()()()251530153105525x x -´+--+=，整理得2506000x x -+=，解得120x =，230x =，当230x =时，不符合题中让更多的消费者拥有“冰墩墩”降价的主旨，\20x =，答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系．4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】(1)当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈；(2)不能，理由见解析．【分析】（1）设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【详解】（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x =，220x =．当16x =时，722723240x -=-=；当20x =时，722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()236432540´=--=-<D ，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16cm AB =，6cm AD =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动．问：(1)P 、Q 两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ 的面积为233cm ？(2)几秒时点P 点Q 间的距离是10厘米？则|162PM x =-22(165)610x -+=解得：85x ==∴P 、Q 出发1.6(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 是10cm ？(2)若点P 沿着AB BC CD ®®移动，点求经过多长时间PBQ V 的面积为212cm【答案】(1)8s 5或24s 5；。
20道一元二次方程
20道一元二次方程一、直接开平方法类型（5道）1. 解方程x^2=9。
2. 求解方程(x - 2)^2=16。
3. 解一元二次方程3(x+1)^2=27。
4. 求方程(2x - 1)^2=4的解。
5. 解方程(1)/(2)(x + 3)^2=8。
二、配方法类型（5道）6. 用配方法解方程x^2+4x - 1 = 0。
7. 求解方程x^2-6x+5 = 0（用配方法）。
8. 用配方法解一元二次方程2x^2-4x - 3 = 0。
9. 解关于x的方程x^2+3x+(9)/(4)=0（配方法）。
10. 用配方法解方程3x^2+8x - 3 = 0。
三、公式法类型（5道）11. 用公式法解一元二次方程x^2-3x - 4 = 0。
12. 求解方程2x^2+5x - 3 = 0（公式法）。
13. 用公式法解3x^2-2x - 1 = 0。
14. 解一元二次方程x^2+2x - 2 = 0（公式法）。
15. 用公式法求方程4x^2-4x+1 = 0的解。
四、因式分解法类型（5道）16. 用因式分解法解方程x^2-x - 6 = 0。
17. 求解方程(x + 1)(x - 3)=0。
18. 用因式分解法解一元二次方程x^2-9 = 0。
19. 解关于x的方程x^2+5x = 0（因式分解法）。
20. 用因式分解法解方程2x^2-x - 1 = 0。
一元二次方程学习资料一、一元二次方程的定义形如ax^2+bx + c = 0(a≠0)的方程叫做一元二次方程，其中a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项。
二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法- 对于方程x^2=k(k≥0)，其解为x = ±√(k)。
- 对于方程(x - m)^2=n(n≥0)，解为x=m±√(n)。
- 例如在方程x^2=9中，k = 9，则x=±3；在方程(x - 2)^2=16中，m = 2，n = 16，解得x = 2±4，即x = 6或x=-2。
一元二次方程20道题
一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程，你能找出这个方程的两个根吗？就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。
2. 方程，这就像一个神秘的小盒子，你得打开它找到里面的答案（也就是方程的根）呢。
3. 对于一元二次方程，先把它化简一下，再求根呀，就像给小宠物梳理毛发一样，先整理好再找问题的关键。
4. 一元二次方程，这个方程看起来很简洁呢，快把它的根找出来，就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。
5. 看这个方程，你可以先提取公因式，然后再求解，就像拆礼物一样，一层一层来。
6. 方程，想象你是一个小侦探，要找到让这个方程成立的那些数字（根）哦。
7. 一元二次方程，这个方程就像一个等待被解开的小谜题，你能解开它求出根吗？8. 对于，你得想办法把这个方程破解了，找到那两个能让等式成立的神秘数字（根）呀。
9. 方程，它在向你求救呢，快用你的数学魔法把它的根找出来吧。
10. 一元二次方程，就像走在一条有宝藏（根）的小路上，你要找到那些宝藏哦。
二、稍复杂型题目（含系数不是1的二次项或者配方相关）11. 看这个有点难的一元二次方程，你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。
12. 方程，这就像一个复杂的拼图，你得把每一块（通过求根的步骤）都放对位置呢。
13. 对于一元二次方程，这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦，就像给蛋糕做漂亮的装饰（配方）然后再享用（求出根）。
14. 一元二次方程，这个方程看起来有点棘手，不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦，就像掌握了魔法咒语一样。
15. 方程，你要想办法把这个方程的根找出来，就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。
16. 对于，先把方程化简一下再求根，就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。
17. 一元二次方程，这个方程很适合用配方来求解呢，就像给小机器人调整零件（配方）让它正常运转（求出根）。
18. 方程，你得动动脑筋，是用求根公式还是先化简再求根呢？就像选择走哪条路去远方（求出根）。
一元二次方程40道题及过程
降
次
∴x+1= 或x+1=- ，
即x1=-1+ ，x2=-1- .
2
【例3】解方程(1)x -4x+4=5；
2
2
(1)分析：x -4x+4 =(x-2) ,
2
(2)(2x-1) =(x-2)2 .
(2)分析：如果把2x-1看成
同样可以用直接开平方法
是(x-2)2的平方根，同样可
求解.
以用直接开平方法求解.
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
则有 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0， x2=-1.
【例1】解下列方程
(1)x2-1.21=0
解：(1)移项，得x2=1.21，
(2)4x2-1=0
(2)移项，得4x2=1，
∵x是1.21的平方根，
2
解:(1) (x-2) =5，
(2)2x-1=± ( − )²,
即 x-2=± ，
即 2x-1=±(x-2),
即x-2= 或x-2=- ，
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,
所以x1=2+ ，x2=2- .
即x1=-1，x2=1.
2.解下列方程：
(1)x2-0.81=0；
解:(1)x²=0.81，
【例1】 用公式法解下列方程：
(1)2x²-x-1=0；
(2) 4x²-3x+2=0；
(3) 2x²-2 x+1=0.
解:(2)a=4,b=-3,c=2,
b²-4ac=(-3)²-4×4×2=-7＜0，
专题01 一元二次方程(四大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 一元二次方程（四大类型）【题型1 判断一元二次方程】【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】【题型3 一元二次方程的一般式】【题型4 一元二次方程的解】【题型1 判断一元二次方程】1．（2023春•洞头区期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2C．D．x2﹣xy+4＝0【答案】A【解答】解：A、由原方程，得x2﹣3x﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；B、由原方程，得3x﹣4＝0，未知数x的最高次数是1；故本选项不符合题意；C、由原方程，得x3+3x2﹣2＝0，未知数x的最高次数是3；故本选项不符合题意；D、未知数x的最高次数是3；故本选项错不符合题意；故选：A．2．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【答案】C【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，A选项不是整式方程，故A不符合题意；B选项，当a＝0时，不是一元二次方程，故B不符合题意；C选项符合题意；D选项是二元二次方程，故D不符合题意，故选：C．3．（2022秋•武侯区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝【答案】B【解答】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；选项B，方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；选项D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B．4．（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0【答案】C【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．5．（2022秋•颍州区期末）下列方程中，二元二次方程是（ ）A．2x2+3x﹣4＝0B．y2+2x＝0C．y（x2+x）＝2D．【答案】B【解答】解：A、方程中含有一个未知数；故本选项错误；B、方程中含有两个未知数，且未知数的次数是2，符合二元二次方程的定义；故本选项正确；C、由原方程，得yx2+yx＝2，该方程的最高次数是3；故本选项错误；D、由原方程，得y2x﹣3y2+1＝0该方程的最高次数是3；故本选项错误．故选：B．【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】6．（2023春•西湖区校级期中）若是关于x的一元二次方程，则m 的值是（ ）A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2【答案】D【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故选：D．7．（2023春•谯城区校级月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足 m≠﹣2 ．【答案】m≠﹣2．【解答】解：根据题意，得m+2≠0，解得m≠﹣2．故答案为：m≠﹣2．8．（2023春•环翠区期中）若（m+1）x m（m﹣1）+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 2 ．【答案】2．【解答】解：∵（m+1）x m（m﹣1）+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1≠0且m（m﹣1）＝2，解得m＝2，故答案为：2．9．（2022秋•保山期末）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是 1 ．【答案】1．【解答】解：由题意知，|m+1|＝2，且m+3≠0．解得m＝1或﹣3且m≠﹣3，∴m＝1．故答案是：1．【题型3 一元二次方程的一般式】10．（2022秋•洪泽区期中）方程x2﹣5x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．1，5，0B．0，5，0C．0，﹣5，0D．1，﹣5，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣5x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，0．故选：D．11．（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（ ）A．2x2﹣7x﹣8＝0B．2x2﹣5x﹣8＝0C．2x2﹣7x+2＝0D．2x2﹣5x+2＝0【答案】B【解答】解：将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得2x2﹣5x+8＝0．故选：B．12．（2022秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（ ）A．x2+6x﹣3＝0B．x2+6x﹣1＝0C．x2﹣6x+1＝0D．x2﹣6x+3＝0【答案】D【解答】解：将方程x2＝3（2x﹣1）转化为一般形式得x2﹣6x+3＝0．故选：D．13．（2022秋•新洲区月考）将一元二次方程2x2﹣3＝x化成一般形式ax2+bx+c＝0后，一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，﹣3B．﹣1，﹣3C．﹣3，﹣1D．﹣3，1【答案】B【解答】解：将一元二次方程2x2﹣3＝x化成一般形式是2x2﹣x﹣3＝0，则一次项系数和常数项分别是﹣1和﹣3．故选：B．14．（2022秋•易县期中）方程2x2﹣3x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A．2、3、1B．2、﹣3、1C．2、3、﹣1D．2、﹣3、﹣1【答案】D【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选：D．15．（2022秋•惠东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【答案】D【解答】解：把x＝2代入可得22+3×2﹣m＝0，解得m＝10，故选：D．16．（2023春•靖西市期中）将一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝12化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中c的值是（ ）A．﹣18B．﹣6C．6D．18【答案】A【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝12，x2+3x﹣2x﹣6﹣12＝0，x2+x﹣18＝0，所以c＝﹣18，故选：A．17．（2023春•崇左月考）把一元二次方程x（x﹣1）＝4（x+1）化为一般形式是 x2﹣5x﹣4＝0 ．【答案】x2﹣5x﹣4＝0．【解答】解：x2﹣x＝4x+4，x2﹣5x﹣4＝0，故答案为：x2﹣5x﹣4＝0．18．（2022秋•铜仁市期末）一元二次方程x2+2x＝1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于 2 ．【答案】2．【解答】解：x2+2x＝1的一般形式为x2+2x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1，2，﹣1，∴1+2﹣1＝2，故答案为：2．19．（2022秋•双牌县期末）将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式 2x2﹣5x+15＝0 ．【答案】2x2﹣5x+15＝0．【解答】解：2x（x﹣1）＝3（x﹣5），去括号，得2x2﹣2x＝3x﹣15，移项，得2x2﹣2x﹣3x+15＝0，合并同类项，得2x2﹣5x+15＝0，故答案为：2x2﹣5x+15＝0．20．（2022秋•颍州区期末）若一个一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，其中一个根为x＝3，则该方程的一般形式为 x2﹣3x＝0 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣3x＝0．故答案为：x2﹣3x＝0．【题型4 一元二次方程的解】21．（2022秋•光山县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，∴1﹣m+3＝0，解得m＝4．故选：C．22．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．23．（2023春•西湖区校级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（ ）A．0B．2C．﹣2D．4【答案】B【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2，故选：B．24．（2022秋•魏都区校级期末）x＝﹣2是关于x的一元二次方程2x2+3ax﹣2a2＝0的一个根，则a的值为（ ）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4【答案】D【解答】解：∵一元二次方程2x2+3ax﹣2a2＝0有一个根为x＝﹣2，∴2×（﹣2）2+3ax﹣2a2＝0，解得，a＝1或﹣4，故选：D．25．（2023春•温州期中）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，则代数式﹣a2﹣2a+8的值为（ ）A．0B．5C．6D．7【答案】D【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个解，∴a2+2a＝1，则﹣a2﹣2a+8＝﹣（a2+2a）+8＝﹣1+8＝7．故选：D．26．（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．27．（2023•陇南模拟）关于x的一元二次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m 的值为（ ）A．9B．8C．6D．4【答案】C【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，可得：a﹣2＝2，2+m＝4，解得：a＝4，m＝2，所以a+m＝4+2＝6．故选：C．28．（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（ ）A．4044B．﹣4044C．2024D．﹣2024【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，∴a2﹣2a﹣2023＝0，即a2﹣2a＝2023，∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044．故选：A．29．（2023•桂林一模）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值为（ ）A．6﹣16B．﹣6C．6D．6+16【答案】C【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝4+2＝6，故选：C．30．（2023•官渡区校级模拟）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a 的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．﹣4或﹣10【答案】A【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一个根，∴a2+3a+2＝0，∴a2+3a＝﹣2，故选：A．31．（2023•襄州区开学）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（ ）A．2013B．2016C．2023D．2021【答案】C【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故选：C．32．（2022秋•铜梁区校级期末）已知m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么2m2+6m的值为（ ）A．﹣4046B．﹣2023C．0D．4046【答案】D【解答】解：∵m为一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的一个根．∴m2+3m＝2023，∴2m2+6m＝2（m2+3m）＝2×2023＝4046．故选：D．33．（2022秋•香洲区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（ ）A．2B．﹣1C．1D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，∴a2﹣2a﹣1＝0，即a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×1＝2．故选：A．34．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2017的值为（ ）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】B∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，故选：B．35．（2022秋•朔城区期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）A．﹣2023B．﹣2022C．﹣4046D．﹣4044【答案】C【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+2023＝0的一个解，∴t2﹣1011t+2023＝0，∴t2﹣1011t＝﹣2023，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣2023）＝﹣4046，故选：C．36．（2022秋•城西区校级期末）若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2022的值为（ ）A．2024B．2023C．2022D．2021【答案】A【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2m2+2m+2022＝2（m2+m）+2022＝2×1+2022＝2024．故选：A．37．（2022秋•孝南区期末）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（ ）A．1B．2C．D．【答案】C∴2a2+4a﹣3＝0，整理得，a2+2a＝，∴a2+2a﹣1＝﹣1＝，故选：C．38．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．39．（2023春•西湖区校级期中）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ﹣23 ．【答案】﹣23．【解答】解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．故答案为：﹣23．40．（2023春•涡阳县期中）若x＝﹣a是一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根，则2029﹣2a2+2a＝ 2023 ．【答案】2023．【解答】解：∵x＝﹣a是一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根，∴（﹣a）2﹣a﹣3＝0，∴a2﹣a＝3，∴2029﹣2a2+2a＝2029﹣2（a2﹣a）＝2029﹣2×3＝2023．故答案为：2023．41．（2023春•义乌市校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为 ﹣10 ．【答案】﹣10．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，则2a2﹣3a＝5，则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故答案为：﹣10．。
一元二次方程新题型展示
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领导 ： 过２人怎样优 惠呢？ 超 ５
导 游 ： 果 超过 ２人 ， 增 加 １ ， 均 旅游 费用 降低 ２ ， 如 ５ 每 人 人 元 但
人均旅游费用 不得低于７元． Ｏ
该单 位按旅行 社 的收费标 准组 团游览 “ 星 竹海 ” 束 后 ， 星 结 共 支 付 给 旅 行 社 ２７０ ．请 你 根 据 上 述 信 息 ，求 该 单 位 这 次 到 “ ０ 元 星
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评 点 ： 题 主要 考 查 我 们 的观 察 、 算 和探 究 能 力 ， 本 计 以及 运 用
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一元二次方程新题型展示
作者：汤慧
来源：《初中生(三年级)》2008年第10期
在中考试题中出现了一些一元二次方程创新题，这些试题设计新颖，别具一格，现略举几例，请赏析.
一、定义新运算型
例1 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc
d=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式. 若x+1 x-11-x x+1=6，则x= .
分析：本题以行列式为起点，以一元二次方程为载体，将整式的四则混合运算与行列式的计算相结合，考查我们的转化能力和计算能力.只要能正确将新的运算符号转化为常规运算符号和熟练掌握多项式乘法法则，问题就不难解决.
简解：根据行列式的运算法则得(x+1)2-(x-1)(1-x)=6，解得x=± .
二、阅读理解题
例2 先阅读，再填空解答：
方程x2-3x-4=0的根是：x1=-1，x2=4，则x1+x2=3，x1x2=-4；
方程3x2+10x+8=0的根是：x1=-2，x2=- ，则x1+x2=- ，x1x2= .
(1)方程2x2+x-3=0的根是：x1= ，x2= ，则x1+x2= ，x1x2= ；
(2)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a，b，c为常数)的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2= ，x1x2= ；
(3)如果x1，x2是方程x2+x-3=0的两个根，根据(2)所得结论，求x2 +x22的值.
分析：认真观察所给方程的两根之和与两根之积，就会发现：两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 求x2 +x22的值可利用关系：x2 +x22=(x1+x2)2-2x1x2求得.
简解：(1)解2x2+x-3=0得x1=- ，x2=1，
∴ x1+x2=- ，x1x2=- .
(2)x1+x2=- ，x1x2= .
(3)根据(2)可知，x1+x2=-1，x1x2=-3，则x2 +x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-3)=7.
评点：本题主要考查我们的观察、计算和探究能力，以及运用所发现的结论迁移到新的情境中解决新问题的能力，其中阅读是基础，理解是关键，应用是难点.
三、规律探索型
例3 探究下表中的奥秘，并完成填空：
将你发现的结论一般化，并写出来.
解：(1)依次填上：- ，-3；，3.
(2)一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
评点：以几个具体的方程为切入点，让我们观察、思考和演算，并探索、发现得出一般性的结论，体现了由特殊到一般、再由一般到特殊的认识规律，能有效地考查归纳总结能力.
四、对话型
例4 某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游，下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话：
领导：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少?
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元.
领导：超过25人怎样优惠呢?
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元.
该单位按旅行社的收费标准组团游览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2 700元. 请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人?
分析：这是一道对话型应用题，信息是通过领导与导游的对话给出的，考查我们搜集、处理信息的能力，求解这类对话信息问题时一定要抓住对话所提供的关键信息，利用这些信息，从中找出等量关系.
简解：设该单位这次到“星星竹海”观光旅游共有x人，依题意有：
[100-2(x-25)]x=2 700.
化简得：x2-75x+1 350=0.
解得x1=45，x2=30.
又因100-2(x-25)≥70，
∴ x≤40.
因此该单位这次到“星星竹海”观光旅游共有30人.
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