导数及其应用(文)
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。
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数学论文导数及应用篇一【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。
因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数;新课程;应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。
选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。
在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
(一)利用导数解决函数问题利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
70知识讲解_导数的综合应用题(基础)(文)
导数及其应用》全章复习与巩固学习目标】能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问要点梳理】 要点一：有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： ① 切点在切线上； ② 切点在曲线上；③ 切线斜率等于曲线在切点处的导数值 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程要点二：有关函数单调性的问题要点诠释：则 f '(x) 0.2) f '(x) 0或 f'(x) 0恒成立,求参数值的范围的方法： ① 分离参数法： m g(x)或m g(x).1 )如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为增函数； 2)如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为减函数； 3)如果恒有 f '(x) 0，则函数f (x)在(a, b)内为常数函数.设函数 y f (x) 在区间1. 会利用导数解决曲线的切线的问题2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题组.4. (a, b)内可导,(1)若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f'(X) 0，若函数f(x)在(a, b)内单调递减,② 若不能隔离参数，就是求含参函数 f(x,m) 的最小值 f(x,m)min或是求含参函数 f(x,m) 的最大值 f(x,m)max ，使 f ( x, m)max 0) 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题求方程 f (x) 0 的根；负右正，则 f(x) 在这个根处取得极小值 .( 最好通过列表法 ) 要点诠释： ① 先求出定义域② 一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点; 变正，则该点为极小值点注意：无定义的点不用在表中列出③ 根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值 函数最值的问题若函数y f (x)在闭区间［a,b ］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y f (x)在［a,b ］上的最 大值和最小值的步骤如下：求在(a,b)内所有使f(X) 0的的点的函数值和 f(x)在闭区间端点处的函数值 f (a)， f (b)；y f (x)在闭区间［a,b ］上的最小值.要点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的 函数值进行比较即可 .使f ( x, m)min 01) 确定函数的定义域； 2) 求导数 f (x) ；4) 检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x) 在这个根处取得极大值；如果左若由负1) 求函数f (x)在(a, b)内的导数f(X)； 2) 求方程f(X)0在(a,b)内的根;4) 比较上面所求的值，其中最大者为函数y f(x)在闭区间［a,b ］上的最大值，最小者为函数② 若f （x ）在开区间（a,b ）内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可 用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决 有关函数最大值、最小值的实际问题利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y f （x ）；求函数的导数f '（X ），解方程f '（X ） 0 ； 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大 （小）者为最大（小）值.要点诠释:①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定 函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系 相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:②得出变量之间的关系 y f （X ）后，必须由实际意义确定自变量 X 的取值范围;③ 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值.④ 在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去. 【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题 3X 3X ，过点A （016）作曲线y f （x ）的切线，求此切线方程.(1) .再通过研究f '（X ） 0的情形，如果函数在这点有极大例1.已知函数y【思路点拨】因为点 A 不在曲线上，所以应先设出切点并求出切点. 【解析】曲线方程为 3y X 3X ，点A （016）不在曲线上.3a)点A(016)在切线上，则有16 (X)33x 0)3化简得X o 8，解得X o 2 .所以，切点为 M( 2,2)，切线方程为9xA 是否在曲线上，若点 A 不在曲线上，应先设出切点, 然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值举一反三:【变式1】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 【答案】y 4x1(2,o)且与曲线y -相切的直线方程. X类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例 2.设函数 f(x) -x 32ax 23a 2x b (a,b3【思路点拨】求导后，求导数为零的根，两根大小的判断是确定分类点的依据Q Q【解析】f (x) X 4ax 3a (x a)(x(1 )当 a o 时，f(X) X 2o , f (X)在(设切点为M (X o, y 0),则点M 的坐标满足y o3 c X o 3x o .2因 f(X o ) 3(X o 1), 故切线的方程为y y 023(X o 1)(x X o ).23(x o 1)(o X o ).【变式2】求过点【答案】设P(xo, y o )为切点，则切线的斜率为 y 1X X o1~2X o•••切线方程为y 1 1 y o —(x X o )，即 yX oX o又已知切线过点 (2,0)，把它代入上述方程，得-V(x X o 1 x o ). X o丄(2 X o ).X o解得X o 1, y o—1，即 X y 2 o. X o【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点 R)，求f (x)的单调区间和极值.令 f(X)o 得 X 24ax 3a 2 o 即(x a)(x3a) 0,解得 X a 或 x 3a ,)上单调递减，没有极值;(2)当a o时，由f(X) o得a X 3a，由f (x) o得x a或x 3a ,3a)•••当X a 或X 3a 时，f (x)0 , f (x)单调递减;X 2当a x 3a 时，f(X)0, f(x)单调递增;【总结升华】(1)解决此类题目，关键是解不等式 f '(X) 0或f '(X) 0，若f '(X)中含有参数，须分类讨论.(2)特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域 举一反三:aa0，-r1,XV a X 0 时,4 3--f (X)极小 f (a)— ab , f (X)极大 f (3a) b , ••• f(x)的递减区间为(,a) , (3a, );递增区间为(a,3a);f(X)极小 3 a'f(x)极大b .(3)当a 0时，由f (X) 0 得 3a X a ，由 f (X) 0 得 X 3a 或 x a ,•••当X 3a 或X a 时, f (X) 0 , f(x)单调递减;当3a X a 时,f (X) 0 , f(x)单调递增;••• f(x)极小 f (3a)f (X)极大 f(a) • f(x)的递减区间为3a), (a,递增区间为(3a, a);f (x)极大 4 a'f (x)极小b .【变式1】求函数f (X) X a-(a 0)的单调区间. X【答案】 f '(X) 1令 f'(X)a~2X a 2XX 2a ，(1)J a 或XT a 时,所以, f'(X) 0;(2)1.【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】【变式2】 已知函数f(x)=ax 3+x 2+1 , x€ (0 , 1]若f(x)在(0,1)上是增函数，求实数 a 的取值范围;【答案】••• f(x)在(0, 1)上是增函数,••• x€( 0 , 1)时，f’(x)=3ax 2+2x>0 恒成立, 2即a 一对x €( 0, 1 )恒成立, 3x2•-—在(0, 1)上单调增，3x2 2••• x=1时，—取最大值 -3x 32 2— (a —时也符合题意),则a 3 3(2)又 f(1) a 2 27^ 1.27a所以，f'(x) 0• • f (x)的单调增区间是，单调减区间是J a, 0 , 0, j a .(2) 求f(x)在(0，1)上的最大值.(1) (1) f’(x)=3ax 2+2x,①当a ②当a 2-时，f(x)在(0 ,1)上单调增， 32 2一时，令f '(x) 3ax 2x 0,由x 0 ,得x3 2 一时,f '(x) 0;当3a 2 f(x)max f(1) a 2.23a 2 3a 427a 20,【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】例3.已知函数f (x) ax 3bx c 在x 2处取得极值为c (1)求a 、b 的值；(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在［•- f(x)在(0,1)上的最大值为4 27a 216,3,3］上的最大值.【高清课堂：导数的应用综合370878 例题1】1 12举一反三:(2) 由( 1) 知 f (X) 3 X 12x c ， f (x)23x 12，令f (X) 0 ，得X 1 2,X 2 2当X (J2)时 f(X) 0， 故f(x)在(，2)上为增函数;当X (2,2) 时 f(X) 0， 故 f(x)在(2,2)上为减函数；当X (2,)时 f(X) 0， 故 f (X)在(2, )上为增函数由此可知f(X)在X j2处取得极大值f( 2)16 c ,其导函数 f(X)，且函数f (X)在X 2处取得极小值，则函数【变式1】设函数f(x)在R 上可导, 【解析】 3(1 )因 f(x) ax bx c 故f (x) 3ax 2b 由于f (x)在点x 2处取得极值故有f (2) 0 f (2) c 1612a b 8a 2b cc 16解得f(X)在X 2 2处取得极小值f(2) c 16,由题设条件知16 c 28得c 12，此时 f( 3) 9 c 21, f (3)3 ， f(2) c 164,因此f(x)上［3,3］的最小值为 f(2) 4.【高清课堂：导数的应用综合370878 例题1】x5x y 80.(1)若a 0，当x 变化时，f(X)的正负如下表:xg 旦3a 3a a3a(a,g )f (x)oaa/ 因此，函数f(x)在x-处取得极小值fa ，且f3^a3 ；【答案】C 【变式2】函数f(X)— 2sin x 的图象大致是( )2首先易判断函数为奇函数，排除 A,求导后解导数大于零可得周期性区间, 从而排除 B 、D,故选C.例4.设函数f(x) x(x 、2a) ( x(I)当 a 1时，求曲线 y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (n)当 a 0时，求函数f (x)的极大值和极小值. 【解析】 (I)当a 1时,f (x) x(x 1)2 x 3 2x 2 x ，得 f(2)2，且f (x) 3x 24x 1 , f (2)5.所以，曲线yx(x 21)在点(2, 2)处的切线方程是y 25(x 2)，整理得(n) f(x)x(xa)2 2ax 2 (x)3x 2 4 axa 2(3x a)(x a).由于aa或30，以下分两种情况讨论.f (x) 0，解得x函数f(x)在x a 处取得极大值f(a)，且f(a) 0 .(2)若a 0，当x 变化时，f(X)的正负如下表:因此，函数f (x)在x a 处取得极小值f (a)，且f(a) 0 ；aa a 4 Q函数f(x)在x 3处取得极大值f -，且 f- 护-【总结升华】1.导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法.举一反三:2. 列表能比较清楚的看清极值点3. 写结论时极值点和极大(小) 值都要交代清楚【高清课堂: 导数的应用综合 370878例题2】1【变式1】设函数f(X)-x In 3x(x 0),则 y f(X)(A. 在区间(一,1),(1,e)内均有零点.eB. 在区间(丄⑴门闾内均无零点e '1C. 在区间(一,1)内有零点，在区间e 1D. 在区间(一,1)内无零点，在区间 (1,e)内无零点. (1,e)内有零点.由题得f'(x)13 1 X 3x 3x，令 f'(X) 0 得 x 3 ； 令 f'(x) 0 得 0 x 3 ； f'(x) 0 得x 3，故知函数 f (x)在区间 (0,3)上为减函数，在区间(3,)为增函数，在点 x 3处有极小值1 ln3 0 ；又 f(1) l,f e3 e1 0, f(1) — 3 e 3e1 0,故选择D.每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元.【变式2】(1)试确定a,b 的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间.又对f(x)求导得x 1时，f(X) 0，此时f(x)为减函数; 1时，f(X)0,此时f (x)为增函数.例5.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量X (吨)与每吨产品的价格 P (元/吨)之间的关系式1 2为：P 24200-X ,且生产X 吨的成本为R 50000 200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使 5利润L 达到最大？最大利润是多少？(利润=收入一成本)1【解析】：每月生产X 吨时的利润为f(x) (24200 -X 2)x (50000 200x) 5故它就是最大值点，且最大值为:f (200)1(200)3 24000 2005已知函数 f(x) ax 41nx bx 4C (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c , 其中a,b,c 为常数.【答案】(1)由题意知f(1)C ，从而b3f (x) 4ax ln x 41ax g- X4bx 3 x 3(4a l nx由题意f (1) 0 , 因此a 4b 0，解得 a 12,b(2)由(I)知 f(X)348x In X ( x 0)，令 f(X)0，解得x因此 f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1, g ).类型三:利用导数解决优化问题lx 3 24000 X 50000 (x5 0)3 2由 f(X) -X 24000 0解得X 1200, X 2 200(舍去). 因f (x)在［0,)内只有一个点X 200,使f (X) 050000 3150000(元)【总结升华】禾u用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点举一反三:【变式】某单位用 2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少房•经测算，如果将楼房建为x（ X> 10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X （单位：元）•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用当 X > >15 时，f '（X）0,当 10< X < 15 时，f '（X）因此，当X=15时，f（X）取得最小值f（15）2000 •10层、每层2000平方米的楼购地总费用）建筑总面积【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为f（X），则2160 10000 f（X）（560 48X）——2000Xf'（X）48 10800，令f'（X）0 ,X 560 48x 10, X N）•得x=15•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.。
初中数学知识归纳导数的计算和应用
初中数学知识归纳导数的计算和应用初中数学知识归纳：导数的计算和应用导数是微积分中的重要概念，可以衡量函数在某一点的变化率。
它在数学和实际问题中有广泛应用。
本文将对初中阶段数学中导数的计算和应用进行归纳总结。
一、导数的计算方法导数的计算方法主要包括基本导数公式和导数的四则运算。
1. 基本导数公式在初中阶段，我们主要掌握以下基本导数公式：- 常数函数的导数为0。
- 指数函数 y = a^x (其中a>0且a≠1) 的导数为 y' = a^x * ln(a)。
- 对数函数 y = log_a(x) 的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))。
- 幂函数 y = x^n (其中n为正整数或分数) 的导数为 y' = n * x^(n-1)。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括加减乘除运算。
- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) ± g(x) 的导数为 y' = f'(x) ± g'(x)。
- 若函数 y = f(x) 和 g(x) 都可导，则 y = f(x) * g(x) 的导数为 y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 若函数 y = f(x) 可导，g(x) 不为0且可导，则 y = f(x) / g(x) 的导数为 y' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
二、导数的应用导数在实际生活和学习中有广泛的应用，下面我们分别就函数的极值、函数的图像和函数的平均变化率三个方面进行介绍。
1. 函数的极值对于函数的极值问题，我们可以通过导数来进行分析。
若函数 f(x)在某一点 x0 处可导且导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
我们可以通过导数的正负来判断极值的类型：若导数 f'(x) 在 x0 的左侧为正，在 x0 的右侧为负，那么 x0 是一个极大值点；反之，如果导数 f'(x) 在x0 的左侧为负，在 x0 的右侧为正，则 x0 是一个极小值点。
导数的概念与应用
导数的概念与应用导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在给定点处的变化率。
在数学和实际应用中，导数具有广泛的应用，涉及到诸多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将介绍导数的概念，讨论其应用领域，并探讨导数在实际问题中的重要性。
一、导数的概念导数是函数微分学中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过函数的微分来定义。
对于一个函数f(x)，在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示当变量h无限接近于0时的极限值。
导数表示了函数在给定点处的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
二、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的应用非常广泛，尤其在运动学中发挥着重要作用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来计算物体的速度，进一步求二次导数可以得到加速度。
导数的概念和计算方法为运动学提供了数学工具，使我们能够更好地理解和分析物体的运动轨迹。
2. 经济学中的边际分析经济学中的许多问题都可以通过导数来进行边际分析。
例如，在微观经济学中，边际效用是指每额外消费一单位商品带来的额外满足程度。
通过对边际效用函数求导，我们可以获得边际效用的变化率，帮助经济学家进行决策分析。
3. 工程学中的优化问题导数在工程学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在机械设计中，导数可以用于确定某种结构的最佳参数配置，以实现最佳性能。
通过优化函数的导数，工程师可以找到最优解，提高设计效率和性能。
三、导数在实际问题中的重要性导数在实际问题中具有重要的意义和作用。
它不仅可以提供函数在某一点的变化率，还可以揭示函数曲线的重要特性和行为。
导数的概念及其应用使得我们能够更深入地理解各种现象，并为解决实际问题提供了有效的数学工具。
导数在科学和工程领域的应用非常广泛。
例如在物理学中，我们可以通过对位置函数取导数，求得速度的变化率；通过求速度函数的导数，可以得到加速度的变化率。
专题导数及其应用(解答题)(原卷版)(文科专用)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。
导数及其应用(文)
【课堂小结】
【练习与巩固】 1、(2015· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； 2 (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln . a
人生若没有一段想起来就热泪盈眶的奋斗史，那这一生就算白活了。
热点二 利用导数研究函数的性质 【例 2】(2015· 重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
【变式训练】2．(2015· 大连市双基测试)已知函数 f(x)＝x－eax(a>0)． (1)求函数 f(x)的单调区间； 1 2 (2)求函数 f(x)在 a，a上的最大值．
山东省北镇中学高三年级总复习数学学案
课题：§1.5 导数及其应用
时间：2015 年 12 月 3 日 课型:复习课 设计：孔祥国 审核：王建娥 【考情分析】 高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义． (2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等． (3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．从形式上看，考 查试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现． 【整体呈现】 1．(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝ ________. 2．(2015· 天津卷)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________． 3．(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 )若函数 f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围．
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导数（文）
1.当自变量0x 变到1x 时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A.在区间[]01,x x 上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化率
D.以上结论都不对
2.质点M 按规律223s t =+做直线运动，则质点M 在t=2时的瞬时速度是（ ）
A.2
B.6
C.4
D.8
3.曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线 方程（ ）
A.34y x =-
B.32y x =-+
C.43y x =-+
D.45y x =-
4.曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）
A.030
B.045
C.060
D.0
120
5.已知直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k 的值为（ ） A.e B.e - C.
1e D.1e
- 6.设()f x 在点x 处可导，a,b 为非零常数，则0()()lim x f x a x f x b x x
∆→+∆--∆∆=（ ） A.'()f x B.()'()a b f x + C.()'()a b f x - D.'()2a b f x + 7.过点P (1,2)-且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程为____
8.给出下列四个命题：①若函数()'(0)0f x f ==则；②若函数2()21f x x =+图像上点（1，3）的临近一点为(1,3)x y +∆+∆，则y x
∆∆=42x +∆；③瞬时速度是动点位移函数()s t 对时间t 的导数；④曲线3y x =在点（0，0）处没有切线
其中正确的命题有：_____________
9.设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点P 00(,())x f x 处切线的倾斜角的取值范围是[0,]4π
，则P 到曲
线()y f x =对称轴距离的取值范围是________
10.'()f x 是31()213
f x x x =++的导函数，则'(1)f -的值是_____ 11.已知直线l 过原点且与曲线x y e =相切于点P ，求切点P 的坐标及直线l 的方程
12.已知曲线32
()3610f x x x x =++-，点P (,)x y 在该曲线上移动，过P 的切线设为l
（1）求证：此函数在R 上单调递增
（2）求l 的倾斜角的范围
（3）求斜率最小的切线方程
13.经济学上规定，对于某经济函数()y f x ，称'()()
xf x f x 为该经济函数的弹性，它表示经济变量x 变动1%时，经济变量y 相应变动的百分比，它是进行经济分析的一个重要概念，现有一个企业生产一种商品，年产x 件的总成本为c+dx ，年需求量Q 是价格P 的函数，其关系满足Q=a-bP 。
试求：
（1）利润最大时的产量及最大利润
（2）需求对价格的弹性
（3）需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格。