最新洞穿高考数学YY直播第14期直播课件_第十五讲 数列与不等式的综合
数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件
1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
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【解析】(1)由已知，得 an＋1＝1＋anan， ∴an1＋1＝1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n＝1， ∴数列{a1n}是以a11＝2 为首项，1 为公差的等差数列． ∴a1n＝2＋(n－1)， 即 an＝n＋1 1.
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(2)由已知得 an＋1≤1＋anan，an>0(n∈N*)． ∴an1＋1≥1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n≥1. ∴当 n≥2 时，a1n－a11＝(a12－a11)＋(a13－a12)＋…＋(a1n －an1－1)≥n－1， 即a1n≥(n－1)＋a11＝(n－1)＋2＝n＋1，∴an≤n＋1 1.
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∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
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(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
2025版高考数学全程一轮复习第六章数列高考大题研究课五数列的综合课件
50项和S50.
题型三 数列与不等式的综合 例 3 (12 分 )[2023·新 课 标 Ⅱ 卷 ] 已 知 {an} 为 等 差 数 列 ， bn ＝ ൝an2a−n，6，n为n为偶奇数数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32， T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
巩固训练1
[2024·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等 比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足：cn＝൝bann，，
n为奇数 n为偶数
，中的新定义数列问题的一般步骤
巩固训练2 [2024·河 南 郑 州 模 拟 ] 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 之 积 为 Tn ＝
n n−1
2 2 (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前
题型二 数列中的新定义数列问题 例 2 [2024·河 北 石 家 庄 模 拟 ] 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 记 为 Sn(n∈N*)，满足3a2＋2a3＝S5＋6. (1)若数列{Sn}为单调递减数列，求a1的取值范围； (2)若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比 为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn， 求T95.
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多面体
多面体由多个平面多 边形围成，具有顶点 对称的特点，常见的 多面体有四面体、六 面体等。
空间几何体的表面积和体积
总结词
掌握各类空间几何体的表 面积和体积计算公式，能 够进行相关计算。
球体的表面积公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为 球半径。
球体的体积公式
$frac{4}{3}pi r^{3}$，其 中$r$为球半径。
掌握集合的基本运算规则
详细描述
介绍集合的运算，包括并集、交集、差集等，以及这些运算的性质和规则。
逻辑关系与推理
总结词
理解逻辑关系和推理的基本概念
详细描述
介绍逻辑关系和推理的概念，包括命题、条件语句、推理规则等，以及如何运用逻辑关系和推理解决实际问题。
02
函数与极限
函数的基本性质
函数的定义域和值域
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• 集合与逻辑 • 函数与极限 • 三角函数与三角恒等变换 • 数列与数学归纳法 • 解析几何初步 • 立体几何初步
01
集合与逻辑
集合的基本概念
总结词
理解集合的基本定义和性质
详细描述
介绍集合的基本概念，包括元素、子集、并集、交集等，以及集合的表示方法 。
集合的运算
总结词
01
02
03
数列的定义
数列是一种按照一定顺序 排列的数集。它可以是无 限的，也可以是有限的。
数列的项
数列中的每一个数被称为 一项。
数列的项数
数列中的数的个数称为项 数。
等差数列与等比数列
1 2
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的差 等于同一个常数，则这个数列被称为等差数列。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件1.1第1课时数列的概念
就是数列的解析表达式
定义域特殊
2.数列与函数的关系.从函数的观点看,数列可以看作特殊的函数,关系如下
表:
定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式 数列的_____________
通项公式
值域
自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值
表示方
法
通项公式
列表
(1)__________(解析法);(2)
1 2 3 4 5 6
4.一个数列{an}的图象如图所示,由图象可知,该数列在n=
16
得最大值,该最大值是
.
解析 由图象可知,数列在n=4时取得最大值16.
1 2 3 4 5 6
4
时,取
5.数列{an}的构成如下表所示:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
an
3
7
-1
-5
1
4
3
12
…
则由表格可知a3+a7=
2
,a1+a8=
名师点睛
数列中的项的性质:
(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具
有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异
性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序
有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).
过关自诊
15
.
解析 由列表法表示数列可知a1=3,a3=-1,a7=3,a8=12,因此
a3+a7=2,a1+a8=15.
【高中数学】第1课时数列的概念及通项公式课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例精析
题型二：归纳通项公式
例2
写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1 1
1
(1)1，－ ， ，－ ；
2 3
4
解
1
9
(2) ，2， ，8；
2
2
(1)这个数列的前4项的绝对值都是 (2)数列的项，有的是分数，
序号的倒数，并且奇数项为正，
偶数项为负，
跟踪练习
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(
A.19
B.20
C.21观察数列可得规律
1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21,故选C.
跟踪练习
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为(
解
(3) 各项加1后，
(4)2,0,2,0.
(4) 这个数列的前4项构成一个摆动数列，
变为10,100,1 000,10 000，…，
奇数项是2，偶数项是0，所以，
此数列的通项公式为10n，可得原数列
它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*.
的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
典例精析
(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
新知探索
数列的分类
[提出问题]
问题：观察上面4个例子
中对应的数列，它们的项数分
别是多少？这些数列中从第2
项起每一项与它前一项的大小
关系又是怎样的？
提示：数列1中有6项，数
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.3.1 等比数列及其通项公式
变式训练3
某工厂去年产值为a,计划十年内每年比上一年产值增长10%,若今年作为
第一年,则这个工厂的产值超过2a是( C )
A.从第6年起
B.从第7年起
C.从第8年起
D.从第9年起
解析 由题意知,第一年的产值为a(1+10%)=1.1a,且每年的产值构成以1.1a
为首项,公比为1.1的等比数列,则等比数列的通项公式an=1.1a×1.1n-1
1 2 3 4 5 6
3.已知等比数列{an}的公比q为正数,且2a3+a4=a5,则q的值为( B )
A.-1
B.2
C.-1或2
D.3
解析 由已知得2a3+a3q=a3q2,整理得2+q=q2,解得q=2或q=-1.又因为q>0,所
以q=2.
1 2 3 4 5 6
4.[2024甘肃酒泉高二期中]等比数列{an}中,a3a7a15=6,a8=3,则a9=( A )
面积为an+1,设2023年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则
a1+b1=1,an+bn=1.
依题意,an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分
8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn.所以
4
3
an+1=92%·an+12%(1-an)=5an+25 ,即
1
(方法 1)由已知,得
解得
2
5
= 2,
1 + 1 = 9,
故 a7=a1q =32×
6
1 6
2
=
1
.
高考热点问题10 数列与不等式问题
高考热点问题10:数列与不等式问题数列与不等式有着密切的联系，并具有问题的综合性，思维的灵活性和解法的多样性等特点，需要我们运用观察、归纳、化归等方法，并具备综合运用知识分析问题与解决问题的能力及良好的思维品质。
题56 逐项放缩 各显神通在数列{}n a 中，已知1122,.1n n n a a a a +==+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1(1) 3.ni ii a a =-<∑ 【问题特征】 （1）求递推数列的通项公式问题；（2）数列求和不等式的证明问题【问题的解答】（1）思路 构造辅助数列解（2）思路1 注意到右边3=2+1，左边首项为11(1)2a a -=，所以只需证第二项起至第n 项的和小于1，可逐项放大成等比数列后求和，而和小于1证法1思路2同思路1，只需证第二项起至第n 项的和小于1，逐项放大后可裂项相消求和，而和小于1证法2证法3【注意点】1. 形如1(),+=n n a f a 其中112122122()(0,)+=≠≠+p x q f x p p q p q p x q 的递推式，若方程()=f x x 有两个实根,αβ（,αβ称为()f x 的两个不动点）①当αβ≠时，数列{}αβ--n n a a 为等比数列； ②当αβ=时，数列1{}α-n a 为等差数列。
2. 若等比数列{}n a 的首项10,a >公比(0,1)q ∈，则前n 项和1111n n S a a q a q -=+++<11a q-； 3.常见的数列通项的放缩技巧（1）对21n的放大 21111(1)1n n n n n <=---(2)n ≥；2211111()1211n n n n <=---+(2)n ≥； 2211112()121214n n n n <=--+-(1)n ≥； （2<=>=（3）对121n -的放缩 121n ≤-12122n n -=(1)n ≥，22211121322132n n n n ---=≤-⨯+-⨯(2)n ≥【相关问题】已知数列{}n a 满足112,2(1)(),n n a a S n n N ++==++∈令 1.n n b a =+（1）求证：{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：121111111.22316n n a a a -<+++<⨯题57 转化思想 等化不等已知数列{}n a 满足2*1121,().(1)n n n a a a a n N n +==+∈+ （1）证明：*1211()(1)n n a n N a n +≥+∈+； （2）证明：*12(1)1().3n n a n n N n ++<<+∈+ 【问题特征】递推数列中的不等式证明问题【问题的解答】（1）思路 先得出数列项的符号及单调性，再对准目标进行放缩证明（2）思路 转化为证明111312(1)n n n a n ++<<++，利用第（1）小题，建立数列1{}na 的递推不等式证明【注意点】【相关问题】设数列{}n a 满足2*1121,().3n n n a a a a n N n+==+∈ (1)证明：*11()n n a a n N +<<∈；（2）证明：*().21n n a n N n ≥∈+题58 回归模型 化难为易已知数列{}n a 满足1111,1(2).n n a a n a -==+≥ （1）求证：*12()n a n N ≤≤∈；（2）记21321||||||n n n S a a a a a a +=-+-++-， 求证：*311(1)2(1)().232n n n S n N -≤≤-∈ 【问题特征】递推数列中的不等式证明问题【问题的解答】（1）思路 运用数学归纳法证明（2）思路 建立数列1{||}n n a a +-的递推不等式证明【注意点】【相关问题】设数列{}n a 满足01n a <<，且*11112().n n n n a a n N a a +++=+∈ (1)证明：1n n a a +<；（2）若112a =，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，5 2.2n S <<题59 转化思想 回归模型数列{}n a 定义如下：11211,.n n na a a a +==+证明：（1）当2n ≥时，33n a n >； （2）当*n N ∈时，393 1.n a n <+【问题特征】递推数列中的不等式证明问题【问题的解答】（1）思路 证明数列3{}n a 是公差为3的类等差数列证明（2）思路 只要证3339(1)27n a n -<，又只要证3(1)3n a n -<，又转化为数列3{(1)}n a -是公差为为3的类等差数列证明【注意点】【相关问题】设数列{}n a 满足*1111,().n n na a a n N a +==+∈（1*)n a n N ≤≤∈；（2）求正整数m ，使2017||a m -最小.题60 靠拢目标 层层递进已知数列{}n a 满足2111,.(1)n n n a a a a n n +==++ （1）求证：当2n ≥时，n a n <；（2）(ⅰ)求证：对任意的正整数n ，有5n a <；（ⅱ）求证：不存在4M ≤,使得对任意的正整数n ，有.n a M <【问题特征】递推数列中的不等式证明问题【问题的解答】（1）思路 先得出数列{}n a 的单调性，将{}n a 的递推公式化为1{}n a 的递推不等式，再用累加法。
2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用【课件】
4 3．(角度 3)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是__5______．
【解析】 解法一：由 5x2y2＋y4＝1，可得 x2＝1－ 5y2y4，由 x2≥0，可得 y2∈(0,1]，则
x2＋y2＝1－ 5y2y4＋y2＝1＋5y42y4＝15
4y2＋y12
≥1·2 5
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
2．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( C )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.故选 C.
3．若 x>0，则 2x＋3x的最小值为__2___6___． 【解析】 ∵x>0，∴2x＋3x≥2 2x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝ 32时等号成立
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第四节 基本不等式及其应用
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述 为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等．
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Luminal亚型是乳腺癌的最常见类型， Badve发现，Luminal A亚型患者的生存 预后与FOXA1基因相关，该基因表达者 DFS明显延长(P=0.009)；
Luminal B亚型CK8、CK18表达水平低， 对三苯氧胺(TAM)耐药，而对芳香化酶 抑制剂(AIs)敏感；Elli发现在Luminal B 患者AIs有效率可高达88%；
2000年以来，靶向药物如曲妥珠单抗、拉帕替尼、酪 氨酸激酶抑制剂、EGFR单抗(Cetuximab)等层出不穷， 新的疗法革新面世，如密集化疗、序贯和联合方案改 进、应用生物标志物和基因特征指导化疗方案的选择 等等，乳腺癌辅助化疗的研究迈进了分子医学阶段， 乳腺癌辅助化疗策略进入了个体化治疗时代。
衢州中心医院 郑勤红
激素受体阳性乳腺癌占乳腺癌的75%~80%， 其中ER阳性HER-2阴性(luminal A型)乳腺癌 约占65%~70%。
NCI、NCCN和St.Gallen等世界性权威《指南》 对ER阳性乳腺癌的辅助化疗指导原则不尽相 同，对于ER阳性HER-2阴性(luminal A型)乳 腺癌是否需要辅助化疗以及选择何种化疗方 案，目前尚无统一标准。
PACS-01试验的亚组分析：ER阳性的早 期乳腺癌患者不能从含紫杉类药物的方 案中获益。
洞穿高考数学YY直播第14期直 播课件_第十五讲 数列与不等
式的综合
数列与不等式的综合
名师 简介
组合教育：
• 张永辉 • 著名高考数学研究与辅导专家、洞穿高考
数学辅导丛书主编、组合教育创始人. 具 有扎实的理论基础和丰富的教学经验，发 表数篇数学论文.对历年高考数学命题有 深入研究，准确把握高考数学的命题脉络 和思路，开创了“题型+模型”的全新教 学法；通过对题型的深度把握，培养学生 的数学思维，让学生准确快速地找到解题 途径，获得驾驭数学的能力. • 主要作品：《洞穿高考数学辅导丛书》
《2009年St.Gallen专家共识》中的早期乳腺癌 辅助化疗策略与以往不同，主要根据ER和 HER2状态将乳腺癌分为三组，即HER2阳性 乳腺癌、三阴性乳腺癌和ER阳性HER-2阴性 乳腺癌；
原则上对于HER2阳性乳腺癌采取曲妥株单抗 和化疗联合为主治疗，对于三阴性乳腺癌以 化疗为主，但对于ER阳性HER-2阴性乳腺癌， 《共识》建议要参考临床病理学特征、生物 学特征以及基因表型等特点加以选择治疗方 案，目前尚缺乏标准治疗。
早期乳腺癌辅助化疗的演进
70年代CMF方案--开端，30年的随访结果表明，乳腺 癌辅助化疗组的无病生存和总生存均高于单纯手术组， CMF辅助方案化疗使复发风险降低了34%(P=0.005)， 死亡风险降低了22%(P=0.04)。
80年代的蒽环类--推进一大步，NSABP B-15研究结果 发现乳腺癌术后行AC方案辅助化疗4周期的疗效与 CMF方案化疗6周期的疗效相同；EBCTCG对14000 例的分析结果表明，含蒽环类的化疗方案与CMF方案 化疗比较，复发及死亡危险分别降低了11%及16%， 5年及10年的死亡率绝对值分别降低了3%及4%。
St.Gallen《共识》建议对于早期 Luminal亚型乳腺癌患者可采用单独内 分泌治疗，但是有部分患者早期就发生 复发转移。
luminal A型乳腺癌辅助化疗中存在的问题
2005年早期乳腺癌试验者协作组(EBCTCG)报 告：辅助化疗和内分泌治疗使乳腺癌的年死 亡率下降大约20%。
NCI、NCCN和St.Gallen三大《指南》中对 luminal A型的治疗指导不尽相同:1) ER阳性 乳腺癌单用内分泌治疗就能取得良好效果， 但即便早期，仍有一部分患者早期就出现复 发转移；2) ER阳性乳腺癌应用内分泌治疗基 础上加用化疗能取得更好效果，但其中相当 一部分存在过度治疗。
乳腺癌的分子分型
Luminal A型(ຫໍສະໝຸດ R/PR+, HER-2-，Ki67≤14%) 65%~70%
Luminal B1型(ER/PR+, HER-2-， Ki-67 ＞14%)) 或B2(ER/PR+, HER-2+) 10%
HER-2型(ER-, PR-, HER-2+) 10% Basal-like型(ER-, PR-, HER-2-) 17% Normal-like型5%。
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数列与不等式的综合 方向三：不等式的证明
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ER阳性HER-2阴性(Luminal A型) 乳腺癌的辅助化疗策略
90年代的紫杉类--里程碑，Nowak发表了含紫杉类方 案和与不含紫杉类方案的meta分析结果：20个临床研 究平均随访54.6月，19943例乳腺癌可进行DFS分析， 17056例乳腺癌可进行OS分析，与非紫杉类组比较， 紫杉类组复发风险下降19% (HR=0.81，95%CI： 0.75~0.86，P<0.00001)，死亡风险下降19% (HR=0.81， 95%CI：0.75~0.88，P<0.00001)。