第6章一阶电路
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电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第六章一阶电路
ucp = U s
所以
uc (t ) = Ke
−
t RC
+Us
由初始状态确定K u 由初始状态确定 ， c (0 ) = K + U s = 0
t − 1 − e RC uc (t ) = U s
， K = −U s
t ≥0
分析上式。（？） 分析上式。（？）
3、零态RL电路 、零态 电路 对图6-10，t＜0，K断开，L = 0 ；t=0，K闭合。 断开， 闭合。 对图 ， ＜ ， 断开 i ， 闭合 列方程： 列方程：
diL L + iL R = U s dt
(t＞0) ＞
定性分析： 定性分析： i (1)K闭合前（t=0-）， L = 0, uL = 0. 闭合前（ 闭合前 ）， i i (2)K闭合后（t=0+），L 不能突变，L = 0, u R = 0, u L = U s 闭合后（ 闭合后 ）， 不能突变， 随t的增长， iL , uR 增大；而 u L 减少。 的增长， 增大； 减少。 的增长 ）： （3）最终（t=∞）： iL = ）最终（
一般认为， 电流或电压已经衰减为0。 一般认为，当 t = 4τ 时，电流或电压已经衰减为 。 5、一阶RL电路 、一阶 电路 如图7-6， 换路。 如图 ，当t=0，开关 1、S2换路。 ，开关S
对图b： 对图 ： 由VCR： u Ro (t ) = Roi (t ) ：
duC ， i (t ) = C dt
du 代入， 代入，得： RoC C + uC = uoc (t ) dt
对图c： 对图 ：
C
duC + GouC = isc (t ) dt
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
第6章 一阶电路
iL(0)= 0
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
第6章 一阶电路总结
第六章 一阶电路◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 三要素法 3．阶跃响应◆ 难点：1． 冲激函数与冲激响应的求取 2．有跃变时的动态电路分析 含有动态元件（电容或电感等储能元件）的电路称为动态电路。
回忆储能元件的伏安关系为导数（积分）关系，因此根据克希霍夫定律列写出的电路方程为微积分方程。
所谓“一阶”、“二阶”电路是指电路方程为一阶或二阶微分方程的电路。
本章只讨论一阶电路，其中涉及一些基本概念，为进一步学习第十五章打下基础。
6.1 求解动态电路的方法6.1.1 求解动态电路的基本步骤在介绍本章其他具体内容之前，我们首先给出求解动态电路的基本步骤。
1．分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2．根据克希霍夫定律列写电路方程； 3．解微分方程，得出待求量。
由上述步骤可见，无论电路的阶数如何，初始值的求取、电路方程的列写和微分方程的求解是解决动态电路的关键。
6.2.1 一阶微分方程的求解一、一阶微分方程的解的分析初始条件为)()0()()(t f t t f δ=δ的非齐次线性微分方程Bw Ax dt dx=-的解)(t x 由两部分组成：)()()(t x t x t x p h +=。
其中)(t x h 为原方程对应的齐次方程的通解，)(t x p 为非齐次方程的一个特解。
二、)(t x h 的求解由齐次方程的特征方程，求出特征根p ，直接写出齐次方程的解pth Ke t x =)(，根据初始值解得其中的待定系数K ，即可得出其通解。
三、)(t x p 的求解根据输入函数的形式假定特解的形式，不同的输入函数特解形式如下表。
由这些形式的特解代入原微分方程使用待定系数法，确定出方程中的常数Q 等。
四、一阶微分方程的解的求取)()()()(t x Ke t x t x t x p pt p h +=+=将初始条件00)(X t x =代入该式：000)()(0X t x Ke t x p pt =+=由此可以确定常数K ，从而得出非齐次方程的解。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
第 六 章 一 阶 电 路
uC = uR= Ri
C u+C
–
+
R uR
–
RC
duC dt
uC
0
uC (0 ) U0
特征根 p 1
RC
特征方程 RCp+1=0
则
uC Ae pt
1 t
Ae RC
1t
uc Ae RC
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
§6-2 阶跃函数和冲激函数
一 单位阶跃函数
(t)
1. 定义
(t
)
0 1
(t 0) (t 0)
1
2. 单位阶跃函数的延迟
0
t
(t-t0)
1
0 t0
t
0
(t t0 ) 1
(t t0) (t t0)
p(t)dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
定义
(
t
)
0 0
(t 0) (t 0)
(t)dt 1
(t) (1)
0
3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t
t0 )dt
1
(t-t0)
（1）
0
t0
t t
4. 函数的筛分性
f (t) (t)dt f(0)(t)
第六章 一阶电路
重点掌握 基本信号 阶跃函数和冲激函数 零输入响应 零状态响应 全响应 稳态分量 暂态分量
§6-1 概述
一. 什么是电路的过渡过程
t=0
i
R+
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LiL
(0 ) u( )d
0
t
10
当u为有限值时
0
0
u( )d 0
磁链守恒
iL(0+)= iL(0-)
L
结论
(0+)=
L
(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 小结 换路定则
q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-) 注意 换路定则成立的条件
1 t uC ( 0 ) i ( )d C 0
q=C uC
当t = 0+时
q q(0 ) i ( )d
0
t
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
i ( )d
q (0+)
=
0
q (0-
)+
0
0
i ( )d
i()为有限值时
28
二、 RL电路的零状态响应 已知 iL(0)=0 求: 电感电流iL(t) S(t=0) R iL di L + uR – + 解 L dt Ri L U S US L uL i (0 ) 0 – L
7.1 动态电路概述
动态电路(dynamic circuit): 用微分方程描述的电路
一、电路的过渡过程 t=0 US
S
i
R R1 S未动作前
i=0 i
R US R1
(稳态)
S接通电源后
i=
US R+R1
(新稳态)
3
开关S动作前后电流 变化是瞬间完成的
US
R+R1
初始状态 0
i(t)
新稳态
t
若以电感L替换电路中的电阻R1，则 R
零输入响应(Zero-input response)：激励(电源)为零， 由初始储能引起的响应。 一、 RC放电电路 S(t=0) 已知 uC (0-)=U0 ，求 uC ，i 。 解 + R
i C duC dt
+
C
uC
–
i
uR
–
uC = uR= Ri
duC uC 0 dt uC ( 0 ) U 0 RC
新稳态
t
i
US
S
R
uC
+
–
S未动作前(稳态) C
i = 0 , uC = 0
5
i
R +
US
uC
–
S接通电源后很长时间(新稳态) C
i = 0 , uC= US i
uC
US
S
R
uC
+
?
C
0 初始状态
过渡状态
US
–
t1
新稳态
t
过渡过程（transient process)： 电路由一个稳态过渡到 另一个稳态需要经历的过程
二、过渡过程产生的原因
6
1. 电路内部含有储能元件 L ，M ， C dw p 能量不能跃变 思考： dt + 2. 电路结构发生变化 uS 合闸 拉闸 参数变化 换路
S
R1 R2 R3
有无过渡过程？ 时域分析法 复频域分析法
时域分析法
三、分析方法
经典法
拉普拉斯变换法 状态变量法 四、一阶电路(First-order Circuit)
+
C
1 2 电容放出能量 CU 0 2
电阻吸收能量
WR i 2 Rdt 0
0
t 2 U0 U 0 RC 2 ( e ) Rd t R R
0
e
2t RC
dt
1 2 CU 0 2
20
二、RL电路的零输入响应
R1 US R i + S(t=0) L i (0+) = i (0-) =
响应，都是一个指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数
RC电路 RL电路
Ae
1 t
= RC = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。
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24
7.4 一阶电路的零状态响应
零状态响应(zero-state response)：储能元件初始能量为零，
定性讨论R、L对过渡过程的影响
设i(0)一定： L大 R小 放电慢 起始能量大 大 放电过程消耗能量小
22
工程上认为，经过 3 ～ 5 的时间过渡过程结束。
例
S(t=0) + 10V
iL
uV V
–
iL (0+)
RV
R=10 L=0.4H
电压表量程为50V t=0时 打开开关S，
电压表坏了,试分析其原因。
+
i
S未动作前 L
US
S
uL
–
i = 0 (稳态)
S接通电源后
i
R
US +
uL
–
L
uS= uL+ Ri
4
因电源电压uS为有限值，故电感电压uL与电阻电压Ri之 和为有限值,即电感电压为有限值。
diL u 因为： L L dt
故 在短时间内电流i 不 能跃变，只能渐变。
iL
?
Uห้องสมุดไป่ตู้ R
0 到达新稳态后，电感 t1 初始状态 uS 过渡状态 相当于短路， i R 若以电容C替换电路中的电阻R1，则
第7章 一阶电路
本章重点
7.1 动态电路概述 7.2 电路的初始条件
7.3 一阶电路的零输入响应
7.4 一阶电路的零状态响应 7.5 一阶电路的全响应
7.6 一阶电路的阶跃响应
1
本章重点：
初始值的确定 一阶电路零输入响应 一阶电路零状态响应 一阶电路全响应 一阶电路阶跃响应
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2
US I0 R1 R
uL
–
di Ri 0 （t 0） L dt
特征根 p =
R L
特征方程 Lp+R=0
i ( t ) Ae pt
由初始值 i(0+)= I0 定待定系数A A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I0 e I0 e R t L
（t 0）
f (0 ) lim f ( t )
t 0 t 0
初始条件(initial condition)为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值
8
二、换路定则(Switching law)
i uC + C
1 t uC i ( )d C
1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0
t
RC 欧法 欧 库 欧 安秒 秒
伏 伏
17
= RC
1 1 p RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 小
过渡过程时间的长 过渡过程时间的短
uC U0 0 储能大 放电时间长 放电电流小
0
i ( )d 0
9
q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-)
结论
电荷量守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 + u L -
iL
di L u L dt
1 t i L u( )d L
1 0 1 t i L u( )d u( )d L L 0 1 t iL ( 0 ) 0 u( )d L
t
US R
i
0
t
27
能量关系： R
电源提供能量一部分消耗在电阻上， 一部分储存在电容中，且wC = wR
w R i 2 Rdt
0 0
U S RC 2 ( e ) Rdt R
2t
t
C
2 RC U S RC e 2 R 0
2 CU S wC 2
充电效率为50%
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
A= - US
26
uC U S U Se
强制分量(稳态)
t RC
U S (1 e
t RC
)
(t 0)
自由分量(暂态)
US 全解 0 -US
uC
uC
稳态分量
uC
t
暂态分量
duC US RC i C e （t 0） dt R
2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3. 画0+等值电路。 a. 换路后的电路
b. t=0+时刻电容电压（电感电流）用电压源（电流源）替代。
方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 c. 独立源取t=0+时刻值。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
14
7.3 一阶电路的零输入响应
t /
10k iL(0)
分析
=
=1A
iL e
（t 0）
uV RV iL 10000e t / （t 0）
uV (0+)=
改进措施
- 10000V 造成 iL S(t=0)