第六章--一阶电路
L
说明iL(0)记忆了- ∞<t<0的作用结果
五、 电感的储能特性
1、线性电感元件吸收的功率
P
ui
iL
di (t) L
dt
2、线性电感元件吸收的能量
1）从-∞到 t时刻，电感吸收的能量
W( L
t
)
t
-
pdt
t
-
i
u
d
t
t -
L
diidt dt
i(t) Lidi
i ( - )
1 2
Li2(t)
1 2
t2 2
)
7.5
i(4) 5 2.5(16 8 7.5) 3.75A
二、练习题1-10 Us(t)=Umcos(ωt), is(t)=Ie-αt, 求UL(t)，ic2(t)
C1 L
(1)i L
i s
Ieαt
is
+ UL- R C2 ic2
+ Us
U L
L di dt
α L I eα t
-
c
（t2）
Wc（t） 1
此时间内，电容吸收能量，反之，电容释放能量
例：电路如图(a)所示, 电容上的电流波形如图 (b)所示，求电压u（t），并画出波形
i
i/A
1）i函数
U 0.5F 图(a)
1
12 图(b)
0
t0
t/s
i(t)
t t
2
0 t 1 1t2
0
2t
2）u(t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(ξ)d(ξ)
0 t 1：
u ( t ) u ( 0 ) 1 ti ( ξ ) d ( ξ ) 1 ξ2 t t2
C0
0.5 2 0
U(1 ) 1 V
1 t 2：
u(t) u(1) 1
t
i(ξ)d(ξ)
C1
u(1) 1
t
(
-
ξ
2
)
d
(
ξ
)
1
2
(ξ2
t 2ξ)
0.5 1
2
1
一般可认为：u（ - ∞）=0，则 Wc（- ） 0 Wc 1 CU（2 t） 2
2）从t1到t2时刻电容吸收的能量：
Wc
t2 t1
u.c
dudt dt
c udu u(t2 ) u ( t1 )
1 cu2(t
2
2
)
1 cu2(t )
2
1
Wc(
t 2
)
W
c(t1
)
电容充电时，
U（t2）
U（
t），即W 1
六、电容的储能特性
iC
1、线性电容元件吸收的功率
+U-
P ui ucdUc(t)
2、电容元件吸收的电场能量
dt
1）若t = - ∞到 t 时刻，电容吸收的能量
Wc
t
-
pd
t
t
-
u
id
t
t
-
u
.
c
d d
ud t
t
cudu u(t) u ( - )
1 2
c
u2(
t
)
1 2
c
u2(
-
)
Wc(t) Wc(-)
若电路换路时刻 t0 =0，则 电容电压的初始值为：Uc（0+） 电感电流的初始值为：iL（0+）
•初始条件：求解电路微分方程所需t0+ 时刻各电流电压值。
初始状态与初始条件的确定：
1、动态元件uc(t0＋) 和iL(t0＋)：
根据换路前的电路求出 uc(t0-) 和 iL(t0-)或uc(0-) 和 iL(0-) 。
(2
)ic 2
C2
dUc dt
C2
dUs dt
C2ω Umsin(ω t)
习题：1-5，1-7，1-8，1-9
答案：1 5
18
Uc(1) 5 V ,Uc(2) 5V ,Uc(4) 5V 4
(1)ic
c
duc dt
,
20~~42mmss,,icic
2mA 2mA
0 ~ 2ms, q 2t (2)q CU , 2 ~ 4ms, q 2t 8
含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路。 （电路方程为高阶常系数微分方程）
1
$ 1-6 电容元件（9）——电容器的理想电路模型
一、电容器的组成：
上下两块金属板，中间是介质
++ i +-
-
（云母、电解质、绝缘纸等）
+-
二、作用原理：极板上加电压，分别聚集等量正负电荷，
并在介质中建立电场，具有电场能量。移去电源后，电
Li2(t 1
)
W (t L2
)
W (t L1
)
电流i增加时，
i(t ) 2
i
(
t 1
)，即W（L t2）
W（t ）
L
1
此时间内，电感吸收能量，反之，电感释放能量
电感器和电容器的几种电路模型：
1、电感器
R
R
L
L
LC
理想电感
2、电容器
C
考虑导线电阻 考虑高频影响
CG
L CG
理想电容
考虑漏电
考虑高频影响
5、初始状态与初始条件 t0+ 和 t0- ：若电路 在 t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的一瞬
间， t0+ 为换路后最初的一瞬间（换路后的初始时刻）。
原始状态： t0- 时刻的电容电压u(t0-)和电感电流i(t0-) 值，它们反映了换路前电路所储存的能量。
•初始状态：t0+ 时刻的电容电压u(t0+)和电感电流i(t0+)值。
i(t)
dq(t) dt
c
du(t) dt
u(t)
1 c
t
i(t)dt
-----微分形式 （1）
1 c
0
i
(
t
)d
t
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
u
(0
)
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
——积分形式 （2）
若
t为 0
时
间
起
点
，
则
u
(
t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(t)dt
五、电容电压的连续性和记忆性（重要性质）
1、连续性
荷继续保留，它是储存电荷或储存电场能量的器件
三、电容器的理想电路模型——电容元件
电容元件的图形符号：
C为电容参数，简称电容，正实常数 C=q(t) / u(t) 单位：法拉，法，F q(t) =Cu (t) 由此得库伏特性：
C
q
u
四、电容的伏安特性（设 I，U参考方向一致）
i (t) + C + u(t) -
• 过渡结束后，电路趋于稳态， L短路，C开路
3、动态电路方程— 因C和L伏安特性是微分或积分关系，
故建立的电路方程一定是动态电路方程（线性常微分方 程），求解线性常微分方程得到所求的变量响应。
(求解微分方程时，会产生积分常数，必须根据电路初始状 态及初始条件确定）
4、换路、暂态与稳态的概念
+
US
(t=t1) (t=0)
R C
uc
-
uc 稳
US 暂态 态
暂态
t
t1
换路：电路结构或参数发生突然变化。
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减 到零。有两类稳态电路：
直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。 正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。 23
根据C和L的连续性
uc(t0＋) = uc(t0-) iL(t0＋)= iL(0-)
t0=0 iL（0+）= iL（0-）
Uc（0+）= Uc（0-）
2、电路中非动态元件的初始电流iL(0+)和电压Uc(0+)
1)画出 t0＋ 时刻的等效电路： 每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0＋)； 每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0＋)； 若独立源为时间函数，则取 t0＋ 时刻的函数值；
t2 4 t 2
U ( 2 ) 2 V
2t
u(t)
u(2)
1 C
t
2
i
(
ξ
)
d
(
ξ
)U
(
2
)
2V
2
3）U(t)波形如图：
1
12
$1-7 电感元件（12）——线圈的电路模型
一、线圈组成：导线绕制的线圈
（空心高频线圈、变压器中铁芯上绕制的线圈等）
二、作用原理：
i
1）当线圈通交流电流i ，产 生交流磁场，磁通链ψ （i
1
-3/2
t（ms）-1
2
t（ms）
$6-1 动态电路方程及其初始条件（123）
一、概念 1、动态电路——指含有电容或电感动态元件的线性电阻电
路。仅含一个电容或一个电感的电阻电路为一阶动态电路
2、动态电路特征——(根据C和L的伏安特性可知）
• 含有电容或电感的电阻电路稳态时， L短路，C开路
• 当电路结构或元件参数发生变化时(换路)，电路中的 C/L 有一个充电或放电过程——过渡过程 。
说明iL(0)记忆了- ∞<t<0的作用结果
五、 电感的储能特性
1、线性电感元件吸收的功率
P
ui
iL
di (t) L
dt
2、线性电感元件吸收的能量
1）从-∞到 t时刻，电感吸收的能量
W( L
t
)
t
-
pdt
t
-
i
u
d
t
t -
L
diidt dt
i(t) Lidi
i ( - )
1 2
Li2(t)
1 2
t2 2
)
7.5
i(4) 5 2.5(16 8 7.5) 3.75A
二、练习题1-10 Us(t)=Umcos(ωt), is(t)=Ie-αt, 求UL(t)，ic2(t)
C1 L
(1)i L
i s
Ieαt
is
+ UL- R C2 ic2
+ Us
U L
L di dt
α L I eα t
-
c
（t2）
Wc（t） 1
此时间内，电容吸收能量，反之，电容释放能量
例：电路如图(a)所示, 电容上的电流波形如图 (b)所示，求电压u（t），并画出波形
i
i/A
1）i函数
U 0.5F 图(a)
1
12 图(b)
0
t0
t/s
i(t)
t t
2
0 t 1 1t2
0
2t
2）u(t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(ξ)d(ξ)
0 t 1：
u ( t ) u ( 0 ) 1 ti ( ξ ) d ( ξ ) 1 ξ2 t t2
C0
0.5 2 0
U(1 ) 1 V
1 t 2：
u(t) u(1) 1
t
i(ξ)d(ξ)
C1
u(1) 1
t
(
-
ξ
2
)
d
(
ξ
)
1
2
(ξ2
t 2ξ)
0.5 1
2
1
一般可认为：u（ - ∞）=0，则 Wc（- ） 0 Wc 1 CU（2 t） 2
2）从t1到t2时刻电容吸收的能量：
Wc
t2 t1
u.c
dudt dt
c udu u(t2 ) u ( t1 )
1 cu2(t
2
2
)
1 cu2(t )
2
1
Wc(
t 2
)
W
c(t1
)
电容充电时，
U（t2）
U（
t），即W 1
六、电容的储能特性
iC
1、线性电容元件吸收的功率
+U-
P ui ucdUc(t)
2、电容元件吸收的电场能量
dt
1）若t = - ∞到 t 时刻，电容吸收的能量
Wc
t
-
pd
t
t
-
u
id
t
t
-
u
.
c
d d
ud t
t
cudu u(t) u ( - )
1 2
c
u2(
t
)
1 2
c
u2(
-
)
Wc(t) Wc(-)
若电路换路时刻 t0 =0，则 电容电压的初始值为：Uc（0+） 电感电流的初始值为：iL（0+）
•初始条件：求解电路微分方程所需t0+ 时刻各电流电压值。
初始状态与初始条件的确定：
1、动态元件uc(t0＋) 和iL(t0＋)：
根据换路前的电路求出 uc(t0-) 和 iL(t0-)或uc(0-) 和 iL(0-) 。
(2
)ic 2
C2
dUc dt
C2
dUs dt
C2ω Umsin(ω t)
习题：1-5，1-7，1-8，1-9
答案：1 5
18
Uc(1) 5 V ,Uc(2) 5V ,Uc(4) 5V 4
(1)ic
c
duc dt
,
20~~42mmss,,icic
2mA 2mA
0 ~ 2ms, q 2t (2)q CU , 2 ~ 4ms, q 2t 8
含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路。 （电路方程为高阶常系数微分方程）
1
$ 1-6 电容元件（9）——电容器的理想电路模型
一、电容器的组成：
上下两块金属板，中间是介质
++ i +-
-
（云母、电解质、绝缘纸等）
+-
二、作用原理：极板上加电压，分别聚集等量正负电荷，
并在介质中建立电场，具有电场能量。移去电源后，电
Li2(t 1
)
W (t L2
)
W (t L1
)
电流i增加时，
i(t ) 2
i
(
t 1
)，即W（L t2）
W（t ）
L
1
此时间内，电感吸收能量，反之，电感释放能量
电感器和电容器的几种电路模型：
1、电感器
R
R
L
L
LC
理想电感
2、电容器
C
考虑导线电阻 考虑高频影响
CG
L CG
理想电容
考虑漏电
考虑高频影响
5、初始状态与初始条件 t0+ 和 t0- ：若电路 在 t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的一瞬
间， t0+ 为换路后最初的一瞬间（换路后的初始时刻）。
原始状态： t0- 时刻的电容电压u(t0-)和电感电流i(t0-) 值，它们反映了换路前电路所储存的能量。
•初始状态：t0+ 时刻的电容电压u(t0+)和电感电流i(t0+)值。
i(t)
dq(t) dt
c
du(t) dt
u(t)
1 c
t
i(t)dt
-----微分形式 （1）
1 c
0
i
(
t
)d
t
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
u
(0
)
1 c
t
0
i
(
t
)
d
t
——积分形式 （2）
若
t为 0
时
间
起
点
，
则
u
(
t)
u(t 0
)
1 c
t
t0
i(t)dt
五、电容电压的连续性和记忆性（重要性质）
1、连续性
荷继续保留，它是储存电荷或储存电场能量的器件
三、电容器的理想电路模型——电容元件
电容元件的图形符号：
C为电容参数，简称电容，正实常数 C=q(t) / u(t) 单位：法拉，法，F q(t) =Cu (t) 由此得库伏特性：
C
q
u
四、电容的伏安特性（设 I，U参考方向一致）
i (t) + C + u(t) -
• 过渡结束后，电路趋于稳态， L短路，C开路
3、动态电路方程— 因C和L伏安特性是微分或积分关系，
故建立的电路方程一定是动态电路方程（线性常微分方 程），求解线性常微分方程得到所求的变量响应。
(求解微分方程时，会产生积分常数，必须根据电路初始状 态及初始条件确定）
4、换路、暂态与稳态的概念
+
US
(t=t1) (t=0)
R C
uc
-
uc 稳
US 暂态 态
暂态
t
t1
换路：电路结构或参数发生突然变化。
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减 到零。有两类稳态电路：
直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。 正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。 23
根据C和L的连续性
uc(t0＋) = uc(t0-) iL(t0＋)= iL(0-)
t0=0 iL（0+）= iL（0-）
Uc（0+）= Uc（0-）
2、电路中非动态元件的初始电流iL(0+)和电压Uc(0+)
1)画出 t0＋ 时刻的等效电路： 每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0＋)； 每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0＋)； 若独立源为时间函数，则取 t0＋ 时刻的函数值；
t2 4 t 2
U ( 2 ) 2 V
2t
u(t)
u(2)
1 C
t
2
i
(
ξ
)
d
(
ξ
)U
(
2
)
2V
2
3）U(t)波形如图：
1
12
$1-7 电感元件（12）——线圈的电路模型
一、线圈组成：导线绕制的线圈
（空心高频线圈、变压器中铁芯上绕制的线圈等）
二、作用原理：
i
1）当线圈通交流电流i ，产 生交流磁场，磁通链ψ （i
1
-3/2
t（ms）-1
2
t（ms）
$6-1 动态电路方程及其初始条件（123）
一、概念 1、动态电路——指含有电容或电感动态元件的线性电阻电
路。仅含一个电容或一个电感的电阻电路为一阶动态电路
2、动态电路特征——(根据C和L的伏安特性可知）
• 含有电容或电感的电阻电路稳态时， L短路，C开路
• 当电路结构或元件参数发生变化时(换路)，电路中的 C/L 有一个充电或放电过程——过渡过程 。
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电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
天津理工电路习题及答案-第六章--一阶电路..
第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。
②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。
③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。
电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。
如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。
②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。
仅取决于电路的结构和元件的参数。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
第六章 一阶电路
第六章 一阶电路例6－1如图所示电路，t =0时闭合开关k ，求 u L (0+)（a ） （b ）解：先求 A i L 24110)0(=+=-由换路定律：i L (0+)= i L (0-) =2A0＋等效电路如图(b)所示，则V u L 842)0(-=⨯-=+。
注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：例 6-2 如图所示电路，t =0时打开开关k ，求)0(+li ，)0(+l u，)0(+R u 。
（a ） （b ）解： （1）30j 60-∠=∠=LE L E I m m Lmωω )30sin( -=t LE i mL ωω LE t L E i m t m L ωωω2)30sin()0(0-=-==- （2） LE i i mL L ω2)0()0(-==-+LE i i t E u m l l o m s ωω2)0()0(V )60sin(-==+=-+（3）0＋等效电路如右图所示，则LRE R i u mL R ω2)0()0(-==++LRE E u mm L ω223)0(--=+例6-3 图示电路在t ＜0时处于稳态，t =0时闭合开关,求电感电压u L (0+)和电容电流i C (0+)（a ） (b) (c)解：(1) 把图(a)t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。
例6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。
（a ） (b) （c ）解：(1) 把图 (a) t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：例6-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
《电路分析基础》第六章：一阶电路
us(t) +
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
信息学院电子系
6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
信息学院电子系
18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
信息学院电子系
6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
信息学院电子系
18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
第 六 章 一 阶 电 路
t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
电路分析第六章 一阶电路
放电结束，电路达到稳态。 放电结束，电路达到稳态。
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
第六章 一阶电路
（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 ）电感的储能只与当时的电流值有关， 表 明 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电感储存的能量一定大于或等于零。 ）电感储存的能量一定大于或等于零。
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，