第六章_一阶电路

uc
R2 L2 u2
IS
i0()= i3()=1A i1()=0A
i0()
i3()
12
+ 36V–
i1() uc()
u3() i2() 6
6
u2()
i2()=4A u2()=0V 3A u3()=0V uc()=24V
§6—2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：
电路在无输入情况下，
仅由储能元件的初始能量 作用于电路而引起的响应。
R0 +
R1
–US C
L3 i3
u3
i2
R2
uc
L2 u2
t<0时
i3(0–)
R1 uc(0–)
i2(0–) R2 6
1：由(t<0)的电路
IS
求出uc(0–)、iL(0–)。 进而得到换路后的
uc(0+)、iL(0+)。
i3(0+)= i3(0–)=0A 3A
i2(0+)=i2(0–)=IS=3A
+
0.6uc(t)
+ i(t) uc(t) 0.1F
–
从t<0电路可以求出：
2 试求零输入响应i(t)。
+ 1、求uc(0+)
5V
–
+ 4 +
2
0.6uc(0–)
uc(0–)
+
–
5V
uc(0+)=uc(0–)=4.17V
2、求
+ 4
0.6U
I
I=
U–0.6U 4
U
Req=
U I
=10
–
3、求t≥0时响应
设：uc=Aept 代入微分方程 RCApept+Aept=0
特征方程 RCp+1=0
p=–
1 RC
由初始条件 uc(0+)=U0 uc=Aept t==0U0
A=U0
RC零输入响应
uc
uc(t)=U0e–
1 RC
t
–
=uc(0+)e
1 RC
t
U0
i
(t)=–C
duc dt
=
U0 R
–
e
1 RC
t
i
第六章 一阶电路
内容提要
本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路， 主要是RC电路和RL电路。介绍一阶电路的经 典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介 绍零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分 量、稳态分量、阶跃响应、冲击响应等重要概 念。
目录
§6—1 动态电路的方程及其初始条件
§6—2 一阶电路的零输入响应
动态电路初始值及稳态值的确定：
i0 S
L3 i3
(t=0) i1 u3
i2
R0 +
R1
–US C
uc
R2 L2 u2
IS
已知:开关S闭合前电路已达稳态， US=36V,R0=12, R1=R2=6,IS=3A。求: 开关闭合瞬间及电路重新达到稳态后各 支路电流及储能元件上的电压值。
i0 S (t=0) i1
一种稳态 过渡过程 另一种稳态
变？
暂态分量 稳态分量
换路定则
i
C=
C
duC dt
uC(t)=uC(t0) +
1 C
tt0iC(t)dt
电路结构变化(换路)瞬间 令：t0=0–，t=0+
uC(0+)=uC(0–)+
1 C
0+
0–
iC(ξ)dξ
因此：
uc(0+)=uc(0–)
即：在换路的瞬间电容两端的电压不会发生跳变， 但流过电容的电流可以发生跳变。
uc(0+)=uc(0–)= i2(0–)R2 =18V
2、把t=0+时的uc(0+)、 iL(0+)分别以电压源、电流 源代替，画出0+等效电路。
i0 S
L3 i3
(t=0) i1
R0 +
R1
–US C
u3
i2
R2
uc
L2 u2
i3(0+)= 0A
IS i2(0+)=3A uc(0+)=18V
i0(0+) S
–
uc(t)=uc(0+)e
t
=4.17e–tV
=ReqC =1s
i
(t)=C
duc dt
=–0.42e–tA
二、RL电路
已知:电路原已达稳
R1
R2
态，t=0时将开关S闭合。
+
S uR
iL
求：t≥0时iL(t)、uL(t)
US–
(t=0)
uL
L
解：iL(0+)=iL(0–)=
US R1+R2
=I0
同理： R1
+
US–
R2
US iL
R1 ?
L
S
S打开时：iL=0
(t=0) S闭合，达到稳态(t)时：
iL
iL=
US R1
t
iL(0+)=iL(0–)
t<0
t
换路的瞬间流过电感的电流不能跳变，电 感两端的电压可以跳变。
全响应=暂态响应+稳态响应
求全响应的电路为动态电路，由动态电路所 列的方程叫动态方程。
一、RC电路
S
+ (t=0)
C –uc
R
已知：uc(0–)=U0，t=0时将S闭合。
i
求：t<0时的uc(t)、ic(t)
uR
解： uc(0+)= uc(0–)=U0
t>0:
i R – uc =0
i
=–C
duc dt
一阶常系数齐 次微分方程
RC
duc dt
+uc=0
解微分方程
RC
duc dt
+uc=0
+
36V
–
i1(0+) 12
6
+
18V
–
i3(0+) u3(0+)6
i2(0+)
3A uc(0+)
u2(0+)
i0(0+)=i1(0+)= 1A
u2(0+)= –9V
3A
u3(0+)=15V
3、画出S闭合后的稳态电路，求电压、电流的稳态值。
i0 S
L3 i3
(t=0) i1 u3
i2
R0 +
R1
–US C
t=5 uc=0.007uc(0+)
RC电路零输入响应的一般表达式：
–
uc(t)=uc(0+)e
t
求RC电路零输入响应的关键是：求电路的 初始值uc(0+)和电路的时间常数。
=RC
R：令换路后电路中独立电源为零时从电容C两 端看进去的等效电阻。
例： 4
S (t=0)
图示电路换路前已达稳态，
–
– –
U0 R
t
t
–
uc(t)=uc(0+)e
1 RC
t
uc以指数形式衰减，其衰减的速度与RC的乘 积有关。
uc 时间常数： =RC 单位：S uc(0+)
可见：越小，曲线衰减越快， 暂态时间越短。
t= uc=0.368uc(0+)
t 1< 2 < 3
t=2 uc=0.135uc(0+) 一般取t=(35)时，电路 t=3 uc=0.05uc(0+) 达到稳定状态。
uL+iLR2 =0
uL=L
diL dt
L
diL dt
+iLR2
=0
令：iL=Aept
代入方程可解出：
p=–
R LHale Waihona Puke 由初始条件可解出：A=I0
iL(t)=I0e–
R L
t
–
uL(t)=–I0R2e
R L
t
RL电路零输入响应的一般表达式：
–
iL(t)=iL(0+)e
t
求RL电路零输入响应的关键是：求电路的 初始值iL(0+)和电路的时间常数。
§6—3 一阶电路的零状态响 应 §6—4 一阶电路的全响 应 §6—5 一阶电路的阶跃响 应
§6—1 动态电路的方程及其初始条件
若 us=U，直流电路，uc=U
+ –uUs 若：
R C
若 uc
us=Umcost，正弦交流电路
uc=
Um
R2+(
1 C
)2
1 C
cos(t+ )
uc
U?
t<0
t t
问题： uc能否发生跳