第六章 一阶电路
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第6章 一阶电路
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
第六章 一阶电路
第六章 一阶电路例6－1如图所示电路，t =0时闭合开关k ，求 u L (0+)（a ） （b ）解：先求 A i L 24110)0(=+=-由换路定律：i L (0+)= i L (0-) =2A0＋等效电路如图(b)所示，则V u L 842)0(-=⨯-=+。
注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：例 6-2 如图所示电路，t =0时打开开关k ，求)0(+li ，)0(+l u，)0(+R u 。
（a ） （b ）解： （1）30j 60-∠=∠=LE L E I m m Lmωω )30sin( -=t LE i mL ωω LE t L E i m t m L ωωω2)30sin()0(0-=-==- （2） LE i i mL L ω2)0()0(-==-+LE i i t E u m l l o m s ωω2)0()0(V )60sin(-==+=-+（3）0＋等效电路如右图所示，则LRE R i u mL R ω2)0()0(-==++LRE E u mm L ω223)0(--=+例6-3 图示电路在t ＜0时处于稳态，t =0时闭合开关,求电感电压u L (0+)和电容电流i C (0+)（a ） (b) (c)解：(1) 把图(a)t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。
例6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。
（a ） (b) （c ）解：(1) 把图 (a) t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b ）所示，则：(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：例6-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
《电路分析基础》第六章：一阶电路
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
信息学院电子系
6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
信息学院电子系
18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
第 六 章 一 阶 电 路
t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
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第六章 一阶电路§6-1 动态电路的方程及其初始条件§6-2一阶电路的零输入响应（一）教学目标1． 了解产生过渡过程的电路及原因，2． 掌握“稳态”与“暂态”的概念与分析方法的区别， 3． 掌握换路定理，应用于一阶电路初始值的计算；4． 掌握一阶电路的概念，零输入响应的概念以及求解方法。
（二）教学难点1． 本课程以往的内容全部是稳态电路的分析，本章首先要使学生建立电路中存在“过渡过程（暂态）”的思想及掌握其产生原因（包括外部原因与内部原因）。
2． 一阶电路初始值计算的分析核心为换路定理，学生必须掌握这一分析思路。
3． 一阶电路零输入响应的物理实质为储能元件的放电过程，其响应曲线为按指数衰减的形式。
4． 时间常数反映了电路零输入响应的衰减快慢，它与电路的元件组成有关。
（三）教学思路1． 首先，以自然界中火车的启停需要过渡时间段加减速作类比，强化学生关于特定电路在状态发生改变时同样存在“过渡过程”概念的理解，并引出电路过渡过程的研究变量。
2． 通过对换路和换路定理概念及物理意义的解释，明确电路过渡过程初始值的计算依据。
3． 零输入响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出其数学表达式。
课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。
（四）教学内容和要点一、“稳态”与 “暂态”的概念: 产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程 I 电阻电路I电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。
过渡过程产生的原因1. 内因：电路内部含有储能元件L 、M 、C2. 外因：电路结构发生变化稳态暂态换路发生很长时间换路刚发生i L 、u C 随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路I L 、U C 不变)(LC I U 、稳态分析和暂态分析的区别tCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为：2021cu idt u W tC因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。
i电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：2021Li dt ui W tL因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。
E电感电路求初始值的步骤1. 由换路前电路（稳定状态）求u C (0-) 和i L (0-)。
2. 由换路定律得u C (0+) 和i L (0+)。
3. 画0+等值电路（纯电阻电路）。
电容（电感）用电压源（电流源）替代。
取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。
4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
四、一阶电路的概念： 1．定义：根据电路规律列写电压、电流过渡过程的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件。
） 2．电路状态：换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为零状态 ；反之为非零状态。
电路中无电源激励（即输入信号为零）时，为零输入；反之为非零输入。
4． 电路的响应：零输入响应：在零输入的条件下，由非零初始状态引起的响应，为零输入响应；此时，可以被视为一种“输入信号”。
零状态响应：在零状态的条件下，由激励信号产生的响应为零状态响应。
全响应：储能元件上的储能和电源激励均不为零时的响应，为全响应。
五、RC 电路的零输入响应(放电过程) 1. 定性分析：合上开关后，电容上的初始储能开始通过电阻释放， 能量逐渐减少，最终能量释放完毕，过渡过程结束。
2.由数学分析，其解的形式为指数。
设： 根据电路条件，最后得到C )0( L i )0( c u ptC u Aet-RC c 0u =U e t（五）采用的教学方法和手段教学方法：讲述法、举例类比法教学手段：多媒体投影系统（五）本节课小结§6-3一阶电路的零状态响应§6-4一阶电路的全响应（一）教学目标（包括学科知识性目标，教育目标）5．理解一阶电路零状态响应的物理意义，掌握其求解方法，6．理解一阶电路全响应的物理意义，掌握其求解方法。
7．熟练掌握一阶电路分析的三要素法。
（二）教学难点5．一阶电路零状态响应的物理实质为储能元件的充电过程，状态变量的响应曲线为由零初始值沿指数增加趋于稳态值的形式。
6．一阶微分方程的特解的物理意义为由外加激励决定的电路稳态响应值，通常取换路后的新稳态值作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。
7．一阶微分方程对应的齐次微分方程的通解，其物理意义为反映电路变量初始值与稳态值差异的过渡过程中随时间变化的值，又称为暂态分量或自由分量。
8．一阶电路全响应的分析方法可以采用两种分解方式，要求掌握其不同的意义。
9．根据对所有一阶电路的分析，掌握其求解规律关键在于状态变量的初始值、稳态值及电路的时间常数，因此引入一阶电路分析普遍适用的三要素法。
（三）教学思路5．零状态响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出其数学表达式。
课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。
6．根据学习零输入响应与零状态响应的知识与一阶微分方程分析方法，引入全响应的分析。
7．总结一阶电路零输入响应、零状态响应与全响应的求解，引出一阶电路分析的关键三个要素：状态变量的初始值、稳态值及电路的时间常数，得到普遍适用的三要素法。
通过举例，说明三要素法中各要素求解的方法及注意事项。
（四）教学内容和要点所以该方程的特解为： 其对应的齐次微分方程的通解为： 综上， 二、R -L 电路的零状态响应：解得：要点：暂态过程的快慢取决于时间常数 。
越大，过渡过程曲线变化越慢，状态变量达到稳态所需要的时间越长。
RC 电路 = RC , RL 电路 = L /R 。
三、一阶电路的全响应及其两种分解方式 1. 全响应 = 强制分量(稳态响应)+自由分量(暂态响应)根据对一阶电路全响应微分方程形式的分析，发现它是一个非齐次微分方程。
因此其通解可分为两部分：非齐次微分方程的特解，其意义为外加电源引起的稳态响应；对应齐次微分方程的通解，其意义为状态变量初始值与稳态值差异引起的指数形式的时变过程量。
这种分解方式侧重于从数学概念上加以分析。
2. 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应根据前面关于一阶电路零输入响应与零状态响应的知识，发现引起电路过渡过程可能有两个作用因素：外加电源或者储能元件的非零初始能量。
因此在一阶电路全响CC du RCu E dt由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：方程的特解C u'对应齐次方程的通解C u"即CC C u u t u "')(C一、R -C 电路的零状态响应：这是一个一阶常系数非齐次微分方程+ –u L L +Ri L = U Sdtd L i ()() C C u't u E ()) 1 (0t tRCRC c u E EeE e t tRCCu"Ee (1)R t SL L U i e R应的分析中我们分别考虑这两个因素产生的影响，即分别考虑零状态响应（外加电源引起）与零输入响应（储能元件的非零初始能量引起）。
这种分解方式侧重于从电路响应的因果关系上分解分析。
四、一阶电路暂态分析的三要素法利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。
只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。
三要素法求解过渡过程要点：（五） 采用的教学方法和手段教学方法：讲述法、举例类比法 教学手段：多媒体投影系统（六） 本节课小结RCt C C C CC C eu u u u"u't u )]()0([)()(根据经典法推导的结果：tef f f t f)]()0([)()(Cu 稳态值初始值)0( f )( f 时间常数其中三要素为分别求初始值、稳态值、时间常数；将以上结果代入过渡过程通用表达式；画出过渡过程曲线（由初始值 稳态值）（电压、电流随时间变化的关系）.. .§6-5一阶电路的阶跃响应 §6-6一阶电路的冲激响应（一） 教学目标（包括学科知识性目标，教育目标）8． 理解单位阶跃函数的概念及一阶电路单位阶跃响应的物理意义，掌握其求解方法，9． 理解单位冲激函数的概念及一阶电路单位冲激响应的物理意义，掌握其求解方法。
（二） 教学难点10． 解释清楚单位阶跃函数与单位冲激函数这两个新的数学概念及其物理意义。
11．一阶电路单位冲激响应的物理意义的解释。
（三） 教学思路8． 单位阶跃函数与单位冲激函数是两个新的数学定义，在电路理论学习中要通过相关电路或类比的方法揭示出其物理意义。
9． 通过单位阶跃函数与开关动作加入电源的类比，揭示出单位阶跃响应的实质即电路的零状态响应。
10． 通过将单位脉冲函数取极限得到单位冲激函数，与自然界中闪电这一能量有限、但作用时间极短的物理现象的数学类比表示出其物理意义。
然后引出电路单位冲激响应的物理意义；表示出电路换路一瞬间由单位冲激电源给储能元件充电，之后电路无外加电源的放电过程。
（四） 教学内容和要点二、单位冲激函数与一阶电路的单位冲激响应：一、单位阶跃函数与一阶电路的单位阶跃响应： 1、单位阶跃函数的定义：-+0t 0ε(t)=1t 02. 电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为单位阶跃响应。
因此，对于单位阶跃响应的分析采用零状态响应的分析方法即可。
阶跃函数（开关函数）表示的等效电路：2、单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。
（五） 采用的教学方法和手段教学方法：讲述法、举例类比法教学手段：多媒体投影系统（六） 本节课小结1.单位冲激函数的定义：00()0t t t()1t dt单位冲激函数δ(t )的产生：由单位脉冲函数 f (t ) 取极限得到。
δt1 t 在 0- 0+间1)(0000dt t dt i q c Cu c 1)0()(t Ru dt du Ccc u c 不可能是冲激函数 , 否则KCL 不成立物理解释：分二个时间段来考虑冲激响应 i u C 0- 0+ 0+ t零输入响应u C (0-)=0 电容充电 1)]0()0([c c u u C )0( C u 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变（转移电荷）1)]0()0([ c c u u C。