第六章 一阶电路
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电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第六章 一阶电路-讲稿
第六章一阶电路第一节电路中的过渡现象一、过渡现象及产生的原因：前面讲的稳态电路。
稳态电路的最大特点是当电路中的激励为恒定或作周期性变化时，电路中的响应也为恒定或作周期性变化。
在一定的条件下,电路有一种稳定状态，但当电路结构、电路参数或电源发生变化时，电路就会从一种稳态变化到另一种稳态。
在某些电路中，电压、电流的变化不会在一瞬间完成，要有一个变化的过程，称为过渡过程。
如图6-1-1（a）中电流的变化、(b)中电容的电压的变化。
过渡过程产生的原因：是由于惯性元件L、C的存在。
而电感中磁场能量的不能跃变，导致了电感中电流的连续变化；电容中电场能量的的不能跃变，导致了电容中电压的连续变化即过渡过程的产生。
二、一阶电路：由于L、C中电压、电流的约束关系是通过导数、或积分的关系来表示的，因此描述电路性状的方程将是以电压或电流为变量的微分方程或积分方程来表示的。
如果电路中只有一个储能元件，则微分方程是一阶的，相应的电路称为一阶电路。
如果有两个储能元件，则微分方程是二阶的，相应的电路称为二阶电路。
第二节换路定律及初始条件的确定一、关于换路：为了叙述方便，把引起过渡现象的电路参数、电路结构、电源的变化统称为换路。
二、换路定律解决的问题：求解微分方程必须知道初始条件，数学中的初始条件是给定的，而在电路理论中，是待定的。
必须通过换路前的电路状态得到换路后的初始时刻的电路状态，就要建立起换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
为了表达方便，把换路的瞬间记为t=0，换路前的终了时刻记为t=0_，换路后的初始时刻记为t=0+，因此换路定律解决的是换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
三、换路定律：有两条。
（1）对于线性电容：选择电容的端电压u（电荷q）、电流i之间满足关联参考方向，则：(2)对于线性电感：选择电感的电流i 与端电压u 之间满足关联参考方向或电流与磁链之间满足右螺旋关系，用同样的方法可以证明：结论：在换路的瞬间，如果电容的电流保持为有限值，则电容的电荷、电压保持换路前终了时刻的数值而不能跃变；如果电感的电压保持为有限值，则电感的磁链、电流保持换路前终了时刻的数值而不能跃变。
天津理工电路习题及答案-第六章--一阶电路..
第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。
②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。
③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。
电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。
如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。
②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。
仅取决于电路的结构和元件的参数。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
第6章 一阶电路
iL(0)= 0
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
第 六 章 一 阶 电 路
t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
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t
Rcd C 12 1 12s
uC (0 ) 10V
t 12
uC (t ) 10e
V
用电压为 uC (t ) 的电压源替代电容后，得 到电路如图（b）。
由电路（b）可算得：
10e i (t ) 12
Hale Waihona Puke t 125 e 6
t 12
A
4 5 i1 (t ) e 12 4 6
(t 0)
为常系数齐次一阶微分方程。
diL L Ri L 0 dt
通解： iL (t )
(t 0)
Ae
t
(t 0)
R L L
(t 0)
特征方程：
L R 0
R t L
通解： iL (t ) Ae
这个微分方程与电容放电时的微分方程相似， R 其通解为 t
i(0 ) i(0 ) 185.52 A
(3) 按
i i (0 ) e
t
t
可得
12560t
i i(0 )e
185.52e
A
电压表处的电压为
uV RV i 5 10 185.52e
3
12560t
V
926e
12560t
kV
(4) 开关刚断开时，电压表处的电压为
图 7－ 1
含一个电感加上一些电阻元件和独立电源 组成的线性一阶电路，可以将连接到电感的 线性电阻单口网络用诺顿等效电路来代替。
图 7－ 2
所以我们先把重点放在一个电压源与电 阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感 并联的一阶电路上。
6.2.1 一阶RC电路的零输入响应
电路的开关原来连接在 1 端，电压源 U0 通过 电阻 Ro 对电容充电，开关转换以前，电容电压 已经达到U0 。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。 已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联。
课堂练习
在图示电路中，开关闭合前电容C上 无电荷，求 t 0 时 uc 及各支路的电 流值。
解：已知换路前电容 无电荷，
qc (0 ) 0 则有 uc (0 ) 0
根据换路定则
u c (0 ) u c (0 ) 0
用短路线替代电容，得到换路后的电路，如 图，解电路； U
第 6章
一阶电路
重点 三要素法计算一阶电路响应
第 6章
一阶电路
6.1 动态电路的方程及其初始条件 6.2 一阶电路的零输入响应 6.3 恒定电源作用下一阶电路的零状态 响应 6.4 一阶电路全响应(4、5两节合并）
含有动态元件的电路称为动态电路。 分析动态电路的方法之一是： 根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述 电路的方程，此方程是线性常系数微分方程， 求解微分方程，求得电路中各变量。
duC ( t ) 在上式中代入: i ( t ) C dt
得到
d uC ( t ) uC ( t ) RC ＝ uS ( t ) dt
（ 7－ 1 ）
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是 一阶电路。
对于图(b)所示RL并联电路，KCL可以写出以 下方程 1
iS (t ) iR (t ) iL (t )
看9.4.1 三相电动势
求（1）电阻、电感回路的时间常数； （2）电流i的初始值； （3）电流i和电压表处的电压uv； （4）开关刚断开时，电压表处的电压。
解：（1）时间常数为
L 0.398 79.6S 3 R RV 0.189 5 10
(2) 电流的初始值：
U 35 i (0 ) 185.52 A R 0.189
在换路时，由于 uc、i L 连续，
uc (0 ) uc (0 )
i L (0 ) i L (0 )
电感用一个电流为 i L (0 ) 的电流源替代， 电容用一个电压为 uc (0 ) 的电压源替代。
等效电路如图（b)
由图（b）可求出：
U0 ic (0 ) iL (0 ) R1 R2 R2U 0 u R 2 (0 ) R2iL (0 ) R1 R2 u L (0 ) 0
例4 图示电路中，直流电压源电压 为U0。当电路中电压和电流恒定不变时打 开开关S。试求 uc (0 )、i L (0 )、ic (0 )、uL (0 )和uR 2 (0 ) 。
解：开关长期闭会， 电容开路，电感短路， 等效电路如图。
R2 uc (0 ) U0 R1 R2 U0 i L (0 ) R1 R2
uV (0 ) 926kV
这里存在一个什么严重的问题？怎么解 决？
uV (0 ) 926kV
励磁绕组存储的能量为
WL (0 ) 6829 J 1 2 W LI L 2
两个问题
（1）开关S不能很快断开，断开间隙中起弧。 （2）人身安全和设备安全。
（1）加续流二极管D
i2 (0 ) 0 i1 (0 ) ic (0 )
s
R1
郁 金 香
6.2 一阶电路的零输入响应
重点：直流电源驱动的含一个动态元
件的线性一阶电路的分析。
难点：分析动态电路的数学工具－解
微分方程。
简单的动态电路
含一个电容加上一些电阻元件和独立电源 组成的线性一阶电路，可以将连接到电容线性 电阻单口网络用戴维宁等效电路来代替。
R1 R2 R Ro R3 R1 R2 u s (t ) uoc R2 uS R1 R2
duC (t ) R1 R2 R2 ( R3 )C uC (t ) uS R1 R2 dt R1 R2
二，求初始值
解微分方程，确定初始值的是十分重要的。 确定初始值的步骤： 1，根据换路前的电路，确定 uc (0 )和i L (0 ) 。 2，依据换路定则确定 uc (0 )和i L (0 ) 。 3，根据已求得的 uc (0 )和i L (0 ) ，用替代定理 画出t=0+ 时的等效电路，及初始等效电路。求 出所需的初始值。
书100页 图6－3有错误， 用此图讲解。
物理描述
我们先定性分析t≥0后电容电压的变化过 程。当开关倒向2端的瞬间，由于电容电压的 记忆性，电容电压不能跃变，即
uC (0 ) uC (0 ) U 0
由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电 容电压相同，即 u (0 ) u (0 ) U
(t 0)
其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按 指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。
图8-7
特例： （替代例6－3,请自学例6－3） 图示电路是一台300kW汽轮发电机的励磁回 路，已知励磁绕组的电阻R=0.198Ω，电感 L=0.398H，直流电压U=35V，电压表的量程50V， 内阻Rv=5kΩ。开关未断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。
综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的 初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。 与能量变化过程相应的是各电压电流从初始 值，逐渐减小到零的过程。
列出KCL方程
uR i R iL iL 0 R 代入电感VCR方程
得到以下微分方程
diL uR uL L dt
L d iL iL 0 R dt
iL (t ) Ae
L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得
设时间常数
R t L
L/ R
t τ R t L
A I0
最后得到电感电流和电感电压的表达式为
iL (t ) I 0e I 0e (t 0) RI 0e
t τ
diL uL (t ) L RI 0e dt
我们以图示电路为例来说明RL电路零输 入响应的计算过程。
电感电流原来等于电流I0，电感中储存一 定的磁场能量，在t=0时开关由b端倒向c端， 换路后的电路如图(b)所示。
在开关转换瞬间，由于电感电流的连续性， 电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ， 这个电感电流通过电阻R 时引起能量的消耗， 这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为 零为止。
图7-3
解：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维 宁等效电路代替，得到图(b)所示电路，其中
R1 R2 Ro R3 R1 R2 R2 uoc uS R1 R2
图7－3(b)电路与图7－1(a)相同，
图7-3
duC (t ) RC uC (t )＝uS (t ) dt
图7-1（a）
任务十分明确： 1，求初始值 2，建立微分方程 3，解微分方程
6.1 动态电路的方程及其初始条件
本节的任务： 1，建立微分方程 2，求初始值
1， 如何列出微分方程？
例1 列出图示电路的一阶微分方程。
图 7－ 1
解：对于图(a)所示RC串联电路，KVL可以 写出以下方程
uS (t ) uR (t ) uC (t ) Ri (t ) uC (t )
t 12
5 e 24
t 12
A A
12 5 i2 (t ) e 12 4 6
t 12
15 e 24
t 12
t 12
25 uab (t ) 8i1 (t ) 1i2 (t ) e V 24
(t 0)
6.2.2 一阶RL电路的零输入响应
d i ( t ) L 在上式中代入 ： u L (t ) L dt
R
uL (t ) iL (t )