必修四第一章三角函数-1.2任意角的三角函数 学案

1.2任意角的三角函数知识点1：三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,) x y，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y=+=+>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；（4）比值xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（5）比值rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（6）比值ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．知识点2：三角函数的定义域、值域①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=与secrxα=无意义；同理，当()k k Zαπ=∈时，xcoyyα=与cscryα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

三角函数的定义域、值域知识点3：．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值xr 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正知识点4：诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈．函 数定 义 域值 域sin y α= R [1,1]- cos y α=R[1,1]-tan y α={|,}2k k Z πααπ≠+∈R正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割o o oxyx yxytan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 知识点5：三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延 长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====， tan y MP AT AT x OM OA α====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

学习结论1．三角函数定义sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc ry α= 2．三角函数的定义域、值域o x y M T PAoxyM TP AxyoMTPAx yo M T PA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）函 数 定 义 域 值 域sin y α= R [1,1]- cos y α=R[1,1]-tan y α={|,}2k k Z πααπ≠+∈R3．三角函数的符号ααc s cs i n 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正4、诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 5、三角函数线的定义： 由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====， tan y MP AT AT x OM OA α====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

典型例题例1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的六个函数制值。

例2．求下列各角的六个三角函数值：（1）0； （2）π； （3）32π．例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的六个三角函数值。

例4、.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1︒ 32sinπ与54sin π 2︒ tan 32π与tan 54π 3︒ cot 32π与cot 54π例5．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角1︒ sin α≥21 2︒ tan α>33例6．利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围。

（1）1sin 2x <-； （2）1cos 2x >； （3）10,sin 2x x π<<>且1cos 2x <；（4）1|cos |2x ≤； （5）1sin 2x ≥且tan 1x ≤-．任意角的三角函数（基础训练）1. 若sin θcos θ>0,则θ在 ( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限 2．180°－α与α的终边 （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．以上都不对 3．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与4、下列转化结果错误的是A ．0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度C ．150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度5、利用三角函数线比较下列各组数的大小：（1）32sinπ与54sin π （2） tan 32π与tan 54π6、利用几何画板画出适合下列条件的角的终边：（1）； （2）；（3）.7、利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：（1）≥ ; （2）≤- .8、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）（1） （2） （3）任意角的三角函数（强化训练）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为（ ）A ．－2B ．2C ．1623D ．－16233、若α是第四象限角，则180°－α所在象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知sin （3π＋θ）＝12，求cos(3)cos(4)cos [cos()1]cos(2)cos(3)cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-的值．5、若β∈［0，2π)，且ββ22sin 1cos 1-+-=sin β－cos β，求β的取值范围．6．当33cos sin =+θθ时，求tgθ+ctgθ的值．任意角的三角函数（提高训练）1.若α、β角终边互为反向延长线，则有（ ）A.α＝－βB.α＝k ·360°+βC.α＝180°+βD.α＝（2k+1）·180°+β2、.如果角α与角4π具有同一条终边，角β与角－4π具有同一条终边，那么α与β的关系是（ ）A.α+β＝0B.α－β＝4πC.α+β＝2k π,k ∈ZD.α－β＝2k π-2π,k ∈Z 3、终边在直线y=x 上的角的集合为（ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,4ππααB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,43ππαα C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,42ππαD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,432ππαα 4、化简：)414cos()414cos(απαπ--+++n n (n ∈Z)．5、已知数列}{n a 的通项公式为),32cos(ππ+⋅=n n a n 记.21n n a a a S +++= 求.2002S6、已知对于任意实数x,均有f(π-x)= -f(x)与f(2π-x)=f(x)成立，当x ∈[0,2π]时，有f(x)=x2,试求)1159(πf 的值．。