固体物理学06_02

2 3 +∞ +∞ − mv 2 2 k BT
∫ dv
mv > χ
2
x
( − qv x )e
− k T j = − n0 q( B )1/ 2 e kBT 2π m
χ
在经典电子论中，功函数 W = χ —— 势阱的深度 V 量子理论热电子发射电流密度的计算 经典电子论中的电子相当于导带中的电子，导带底与势阱对应， χ 为导带底的一个电子离开金属必 须作的功（有时也称电子的真空能级） 。如图 XCH006_008 所示。
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
§ 6.2 功函数和接触势差 1. 热电子发射和功函数
− W k BT
实验指出，热电子发射电流密度： j ~ e
—— W：功函数
—— 金属中，电子处于势阱高度为 χ （正离子的吸引） ，如图 XCH006_008 所示，当电子从外界获 得足够的能量，有可能脱离金属，产生热电子发射电流。 V 经典电子论热电子发射电流密度的计算 势阱中的电子服从麦克斯韦速率分布率，速度在
VB < 0 。 − qVB > 0
两块金属中的电子分别具有附加的静电势能： − qV A < 0 and
I1′ =
此时金属 A 和金属 B 发射电子数：
4π m( k BT ) 2 q − e (2π =)3
WA + qV A k BT
4π m( k BT ) 2 q − ′= I2 e (2π =)3
根据金属中电子气模型，电子的能量： E =
=2k 2 2m
K 1 dE ( k ) K =k ，v = 电子的速度： v ( k ) = = dk m
电子的动量： p = =k-1-
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单位时间从金属 B 单位表面逸出的电子数： I 2 =
如图 XCH006_011 所示，两种金属的费密能级不同，电子从费密能高的金属流向费密能低的金属。
REVISED TIME: 05-5-12
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如果 W A < WB , 从金属 A 逸出的电子数大于从金属 B 逸出的电子数，金属 A 接触面带正电，金属 B 接触面带负电，它们分别产生的静电势： V A > 0,
接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。 电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金 属，达到平衡时，电子不再流动，两块金属的费米 能级相同，接触电势差只好补偿了原来两块金属的 费米能级差。如图 XCH006_012 所示。 —— 脱出功为电子的真空能级 χ 与费米能级 E F 之 差： W =
χ
3
k T 1/ 2 − k T 从 j = − n0 q( B ) e B 直接写出量子理论的计算结 2πm
果：
4π m( k BT ) 2 q − j=− e (2π =)3
功函数： W = χ − E F
χ − EF
k BT
—— 如图 XCH006_009 所示
REVISED TIME: 05-5-12
电子的能量： E =
1 2 mv 2
K
单位体积（V=1）中，在 dk = dk x dk y dk z 中量子态数： dZ = 2 ⋅
1 ( 2π )
K d k 3
K K 1 K K =k 由v = ， k = mv —— 两边微分得到： = m
dk x =
1 1 1 mdv x ， dk y = mdv y ， dk z = mdv z = = = m 3 K ) dv 2π=
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2. 不同金属中电子的平衡和接触电势 任意两块不同的金属 A 和 B 相互接触，或用导线连接，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触 时可以发生电子交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面 带正电（电子流出的金属） ，使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属） ，当两块金属达到平 衡后，具有相同的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。如图 XCH006_010_01 和 XCH006_010_02 所示。
1 e
1 ( mv 2 − E F ) / k BT 2
dZ = 2 ⋅ (
费米分布函数： f ( v ) =
+1
m 3 K ) dv = dv x dv y dv z 内统计平均电子数： dZ = 2 ⋅ ( 2π = 1 2 mv − E F >> k B T 2
1 e
1 ( mv 2 − EF ) / k BT 2
K K K v → v + dv 区间的电子数密度：
3 mv 2
m 2 − 2 k BT K K dn = n0 ( ) e dv ， dv = dv x dv y dv z 2πk B T
m 2 电子沿 X 方向发射，发射电流密度： j = n0 ( ) dv y ∫ dv z 2πk B T −∫ 1 ∞ −∞
WB + qVB k BT
′ = I2 ′ ⎯⎯ 当两块金属达到平衡时： I1 → WA + qVA = WB + qVB
接触电势差： VA − VB =
1 (WB − WA ) —— 将 WA = χ − EFA and WB = χ − EFB 代入得到： q
VA − VB =
1 ( EFA − EFB ) q
V 接触电势差的计算 —— 如果两种金属的真空能级相同，即：
χ A = χB = χ
4π m( k BT ) 2 q − kBA e T —— WA = χ − EFA 3 (2π =) 4π m( k BT ) 2 q − kBA e T —— WB = χ − EFB 3 (2π =)
W W
单位时间从金属 A 单位表面逸出的电子数： I1 =
χ − EF χ A − E FA and WB = χ B − EFB
—— 如果两种金属的真空能级不同，即： WA =
接触电势差： VA − VB =
1 1 ( EFA − E FB ) + ( χ B − χ A ) q q
REVISED TIME: 05-5-12
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K dv +1
离开金属表面电子的能量满足：
mv 2 / k BT K m 2 − mv 2 / 2 k BT K m 3 EF / k BT − 1 )e ) e dv 对比 dn = 2 ⋅ ( e 2 dv —— 与 dn = n0 ( 2π = 2πk B T
3
m 3 E F / k BT m 2 —— 2 ⋅ ( ) e ⇒ n0 ( ) 2π= 2πk B T