最新人教A版必修四高中数学3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)公开课课件

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高一数学《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》2新课程(新课标人教A版)必修四

3.
规律方法解决这类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值
问题转化为特殊角的三角函数求值问题．将非特殊角转化为特
殊角的和与差的形式，再运用公式求解．
【变式 2】求下列各式的值：
2cos (1)
50°＋sin cos 20°
20°；
(2)sin 1π2－
π 3cos 12.
解
(1)
2cos
50°＋sin cos 20°
若不注意三角形的内角和为 180°，即不认真讨论角的范围，就会多出一个错误答案 cos C＝5665.处理的方法是找出正弦函数值与 sin A＝35最接近的角 30°和 45°以及余弦函数值与 cos B＝153最接近的角 60°和 90°，切忌找的角范围过大或过小．
单击此处进入活页限时训练
证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A、B、C 均小于 90°，A＋B＝180°－C， tan(180°－C)＝tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB， tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)， tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝右边． ∴原式成立．
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．

高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4

2
.
则 tan θ= (��又称为辅助角).
��
∴asin α±bcos α= ��2 + �� 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
�� 2 + �� 2 sin(�� ± ��). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
�� α -�� β 1+�� α�� β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin�� ±
�� 2 +��2
cos�� ,
∵
�� 2 + ��2

高中数学 3.1.2角和与差的正弦余弦正切公式(二)全册精品教案新人教A版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ （2）练习：教材P132面第6题。

思考：怎样求ααcos sin b a +类型？（二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫==-=-⎪⎪⎭思考：=12. 归纳：ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1）求)(x f 的最值。

（2）求)(x f 的周期、单调性。

例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，（1）求角A 。

（2）若3sin cos cos sin 2122-=-∙+BB B B ，求tanC 的值。

练习：（1）教材P132面7题（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2）的值为12sin 12cos 3ππ-（）A ． 0B ．2C ．2D ．2-思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。

高中数学3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式课件新人教A版必修四1

T(α－β)
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( tan α＋tan β (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( 1－tan αtan β ) )
tan α＋tan β (3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)． 1－tan αtan β ( )
[自主预习· 探新知]
两角和与差的正切公式名称两角和的正切两角差的正切简记符号 T(α＋β) 公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β _____________ tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ____________ 使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠1 π α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠－1
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时两角和与差的正切公式
学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
∵α，β 均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， π ∴α＋β＝4. (2)∵AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6， BD 1 ∴tan∠BAD＝AD＝3， CD 1 tan∠CAD＝AD ＝2， tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
tan∠CAD－tan∠BAD ＝ 1＋tan∠CADtan∠BAD 1 1 2－3 ＝ 1 1 1＋2×3 1 ＝7.]

人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)3

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
【知识提炼】 1.两角和的正切公式 T(α +β )：tan(α +β )=______________. tan tan 2.两角差的正切公式 T(α -β )：tan(α -β )=______________ 1 tantan (注：α 和β 的取值应使分母不为0).
1 tan 75 tan 45 tan 75 1 tan 45tan 75
3 3
3 3
5.若tanα =3，则
=____________. tan( ) 4
【解析】因为tanα =3，所以案：-2
3 1 4 tan( ) 2. 4 1 tantan 1 3 1 4 tan tan
1 tan tan( ) ； 4 1 tan 1 tan tan( ) . 4 1 tan
3.使用T(α ±β )的注意事项 (1)必须在定义域范围内使用上述公式.tanα ，tanβ ，tan(α ±β ) 只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式. (2)注意公式的结构，尤其是符号.
tan tan tan( ) ， 1 tantan
【解析】1.原式= tan60 tan15 =tan(60°-15°) 1 tan60tan15 =tan45°=1. 答案：1
11 tan tan( ) 12 12 4 6 3 tan tan 1 4 6 3 2 3. 3 1 tan tan 1 4 6 3 (2)因为 tan17 tan28 tan(17 28) ，所以tan17°+tan28°=tan(17 ° +28 1 tan17 tan28 °)(1-tan17°tan28°) tan

人教A版数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)

第2课时（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+co s (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=22ba a +,sinφ=22ba b +,从而得到tanφ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx)=22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin (α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,①sinαcosβ-cosαcosβ=31.②①+②得sinαcosβ=125, ①-②得cosαsinβ=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tanα+tanβ=ab -,tanαtanβ=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。

高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 －＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1

1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,

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约为30米，在地平面上有一点A，测得，∠CAB＝α，
30 则 sin α＝67.
在Rt△ABD中，
x＋30 tan(45° ＋α)＝ 30 tan α，
30tan45° ＋α 于是 x＝ tan α －30.
探究点一两角和与差的正切公式的推导
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
内容索引
01
明目标知重点
填要点记疑点
02
03
探要点究所然
当堂测查疑缺
04
明目标、知重点
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差
的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan αtan β＝ .
.
.
tan(α＋β)
1－
tan α＋tan β tanα＋β
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝ . .
tan(α－β)(1＋tan αtan β)
反思与感悟
公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中
有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)) 三者知二可表示出第三个.
跟踪训练1 求下列各式的值：
cos 75° －sin 75° (1) ； cos 75° ＋sin 75° 1－tan 75° tan 45° －tan 75° 解原式＝＝ 1＋tan 75° 1＋tan 45° tan 75°
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
tan 15° ＋tan 30° 解 ∵tan 45° ＝＝1， 1－tan 15° tan 30°
∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30° ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
(2)tan 75°＝ 2＋
1
；
3；
3 3
1－tan 15° (3) ＝ 1＋tan 15°
.
例1 求下列各式的值：
3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° tan 60° ＋tan 15° 解原式＝＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15° tan 30° ＋tan 45° ＝tan 75° ＝tan(30° ＋45° )＝ 1－tan 30° tan 45° 3 ＋ 1 3 ＝＝2＋ 3. 3 1－ 3
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝
tan αtan β＝
.
tan(α－β)
tan α－tan β －1 tanα－β
探要点·究所然情境导学
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.
3 ＝tan(45° －75° )＝tan(－30° )＝－tan 30° ＝－ 3 .
(2)tan 36° ＋tan 84° － 3tan 36° tan 84° .
解原式＝tan 120° (1－tan 36° tan 84° )－ 3tan 36° tan 84°
＝tan 120° －tan 120° tan 36° tan 84° － 3tan 36° tan 84°
答当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝ cosα＋β sin αcos β＋cos αsin β ＝ . cos αcos β－sin αsin β
sinα＋β
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan α＋tan β
tan(α－β)＝＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
tan α＋tan－β
tan α－tan β
探究点二两角和与差的正切公式的变形公式
思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
＝tan 120° ＝－ 3.
例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴ ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. 1－tan αtan β π ∵α，β∈2，π，∴α＋β∈(π，2π). 7π ∴α＋β＝ 4 .
tan α＋tan β tan α－tan β tan αtan β＝1－＝－1. tanα＋β tanα－β
这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.
练习：直接写出下列式子的结果：
tan 12° ＋tan 33° (1) ＝ 1－tan 12° tan 33°
填要点·记疑点
1.两角和与差的正切公式 (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β (2)T(α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β .
1＋tan αtan β
.
2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝
tan α＋tan β
反思与感悟
此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求
角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围 .此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使
求出的角不合题意或者漏解.
跟踪训练 2 已知 tan α， tan β 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根， π π π π 且－2<α<2，－2<β<2，求角 α＋β. tan α＋tan β＝－3 3，解由已知得 tan β＝4， tan α· π π ∴tan α、tan β 均为负，∴－2<α<0，－2<β<0. tan α＋tan β －3 3 ∴tan(α＋β)＝＝＝ 3. 1－tan αtan β 1－4