2.1.1曲线与方程练习题

2 3
2 y x =3 > 0 （2）解： 函数 ， y x ，在 x 0,
2 3
2 3
为增函数. 又 又
2 3
5 .8 > 4 .1 ， 5 .8 > 4 .1
>
2 3
2 3
2 3

2 5
4 .1
2 3
2 3
> 4 .1
2 5
5 .8 > 4 . 1
练习1：
已知函数 f ( x) a 3a 3x 并且是偶函数，求 a的值。
2 a2 2
是幂函数,
解:因为f ( x) a 3a 3 x
2


a2 2
是幂函数
a 3a 3 1 解之得 : a 2或a 1
2
又因为f ( x)是偶函数
a 1不符合题意， 舍去 a 2
小结：
1、学习了幂函数的概念； 2、学习了幂函数的图 像和性质； 3、幂函数的简单应用； 4、利用函数的单调性比较几个“同指 数不同底数”的幂的大小.
作业布置：
联系2.3 1题 A组 10题
x 在[0,+∞)上是增函数.
x1 , x2 [0,),且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) 方法技巧: x1 x2 分子有理化 x1 x2 , x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
所以幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
二、幂函数的图像和性质
1、对于幂函数的图像和性质，我们只讨论 =1 1 1 ，-1，- 时的情形。 2， 3， ， 2
2 3
2、在直角坐标系中划出下列函数：
(1) (4)
yx
yx
1 2
(2) (5)
yx
2
(3) y
x
3
yx
1
-1
1
x
名称
图象
y
yx
定义域
奇偶性
单调性
共性
yx
-1
1 O1 -1
x
R
奇函数
y
yx
2
Hale Waihona Puke 1 -1 O -1R
1
x
偶函数
(-∞,+∞)↑ 1、过(0， 0)点、 (1，1) (-∞,0)↓ 点。 (0,+∞)↑
2、在第 一象限 是递增 函数。
y
y x3
1 -1 -1
O y
1
x
R
奇函数
(-∞,+∞)↑
例 2：
已知幂函数 y f ( x)的图像过点 (2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
解 : 设所求的幂函数为 yx
这种方法 叫待定 系数法

函数的图像过点 (2, 2 )
2 2 , 即2 2
1 2

所求的幂函数为 yx .
1 2
1 2
例3： 证明幂函数 f ( x) 证明:任取
三、练习巩固
例1. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
练习1：判断下列结论的正误，并说明理由. (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0; (2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2; (3)到两坐标轴的距离面积等于1的点的轨迹方程为xy=1; (4)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0）， D为BC中点，则中线AD的方程为x=0. 解：(1)满足曲线方程的定义.∴结论正确. （2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个:y=2， 即不具备完备性.∴结论错误. （3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应 为｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1.∴所给问题不具备完备 性.∴结论错误. (4)中线AD是一条线段，而不是直线， ∴x=0(-3≤y≤0),∴所给问题不具备纯粹性.∴结论错 误.
幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函 数式中 的不同而各异. １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且 函数图象都通过点(1,1); ２.如果 >0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数; ３.如果 <0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数;
一、定义
几点说明:
（1）都是以自变量 （2）指数
为常数；
x为底数；

（3）自变量
x前的系数为1;
y x 的函数;
（6）幂函数不像指数函数和 对数函数，其定义域随 的 不同而不同。

（4）只有一项,后面没有其他项; （5）都是形如
判断下列函数是什么函数？
y 0.2
x
yx
1 2
（指数函数）
（幂函数）
yx
1
y 5
5
x
（幂函数）
（指数函数）
y 3
x
y x
（幂函数）
（指数函数）
例1 :已知f ( x) a a 1 x
2


2 a3
是幂函数，
求a的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
a a 1 1
2
解之得: a 2或a 1
a 2或a 1
> 4 .1 .
2 5
练习： 比较下列各组数的大小
(1) 3 和 3.1 ;
1 ( 2) 8 和 ( ) ; 9
7 8 7 8
5 2
5 2
(3) 3 和 5 .
1.4
1.5
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性； (3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
y x
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） R
非奇非偶函数
[0,+∞)↑ (-∞,+∞)↑
y
y3 x
1 -1 O -1 1
x
奇函数
名称
图象
y
定义域 (-∞,0)∪ (0,+∞)
奇偶性
单调性 (-∞,0)↓ (0,+∞) ↓
共性 1、过(1， 1)点 2、在第一 象限是递 减函数。
yx
1
-1
1 O -1
列2 比较下列各组数的大小
2 3 (1) ( ) 和 ( ) 3 5

2 3

2 3
(2) 4.1 和 5.8
2 3
2 = 3
2 5
2 3
解 : (1) 函数 y x , 在x 0, 是减函数.
3 ( ) 5
2 3 又 < . 3 5
2 3
0
2 ( ) 3
y x
y
1 -1 -1 O 1
y x2
yx
y x3
y
1
y
x
y x
y
1
y x2
y x3
y
1
x
-1
O
-1
1
x
1
-1 O -1
1
x
-1 O -1
1
x
y
3
y
x
y3 x
yx
y
1 -1 1
y x 2
y
y x 1 y x 2
1 -1
1 -1
O
-1
x
O
-1
1
x
O
1
x
奇函数
y
yx
2
-1
1 O -1 1
x
(-∞,0)∪ (0,+∞)
偶函数
(-∞,0) ↑ (0,+∞) ↓
小结： 幂函数y=xα（α是常数）的共性： 2、α<0时，过（1，1）点，且在第一象限单调递减； 所有幂函数y=xα（α是常数）的共性：过（1，1 ）点。
1、α>0时，过（0，0）、（1，1）点，且在第一象限单调递增；