广东省顺德市2016-2017学年高三上学期第五次段考数学试卷(文科)Word版含答案

广东省顺德市2016-2017学年高三上学期第五次段考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣4＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1] D．（﹣2，2）2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．3．cos（）的值为（）A．B． C．﹣D．﹣4．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）5．曲线y=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+3 C．y=x+3 D．y=x+26．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．907．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣78．函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．110．下列函数中，可以是奇函数的为（）A．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈R B．f（x）=x2+ax+1，a∈RC．f（x）=log2（ax﹣1），a∈R D．f（x）=ax+cosx，a∈R11．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6 B．6C．﹣18 D．1812．函数f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A ．20 B ．18 C ．3 D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2+a 5=0，则= ．15．已知=（1，2），=（1，1），则与+2方向相同的单位向量= ． 16．给出下列命题：①“若a ≥0，则x 2+x ﹣a=0有实根”的逆否命题为真命题：②命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a ≥4； ③命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④命题p ：函数y=e x +e ﹣x 为偶函数；命题q ：函数y=e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数，则p ∧（¬q）为真命题．期中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．在等差数列{a n }中，a 2+a 7=﹣23，a 3+a 8=﹣29． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n +b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n ．18．已知定义在R 上的函数f （x ）=是奇函数．（1）求a 、b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．19．已知函数f （x ）=sin2x ﹣cos 2x ．（Ⅰ）求f （x ）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x ）的图象．当x ∈时，求g （x ）的值域．20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值．21．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N +） （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设bn=（1﹣S n+1）（n ∈N +），令T n =，求T n ．22．设f （x ）=lnx ，g （x ）=f （x ）+f′（x ）． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g （x ）与的大小关系；（Ⅲ）求a 的取值范围，使得g （a ）﹣g （x ）＜对任意x ＞0成立．广东省顺德市2016-2017学年高三上学期第五次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣4＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁B）=（）RA．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1] D．（﹣2，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行运算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁B={x|x≤﹣1或x＞5}，RB）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．∴A∩（∁R故选：C．2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．故选：B．3．cos （）的值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos （）=cos=cos=cos （π+）=﹣cos=﹣，故选：C ．4．已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A ．5．曲线y=sinx+e x +2在x=0处的切线方程为（ ） A ．y=2x+1 B ．y=2x+3 C ．y=x+3 D ．y=x+2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】已知f （x ）=e x +sinx+2对其进行求导，求在x=0处的斜率，根据点斜式，写出f （x ）在点x=0处的切线方程．【解答】解：∵f （x ）=e x +sinx+2，∴f′（x ）=e x +cosx ，∴在x=0处的切线斜率k=f′（0）=1+1=2， ∴f （0）=1+0+2=3，∴f （x ）=e x +sinx+2在x=0处的切线方程为：y ﹣3=2x ， ∴y=2x+3， 故选：B ．6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，a 5=3a 3，则S 9=（ ）A ．﹣72B ．﹣54C ．54D ．90【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由已知数据可得d 的方程，解方程得d 值，再由求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=2，a 5=3a 3，∴2+4d=3（2+2d ）， 解得d=﹣2，∴S 9=9a 1+d=﹣54故选：B7．已知α∈（π，π），cos α=﹣，则tan （﹣α）等于（ ）A ．7B ．C ．﹣D ．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α的范围及cos α的值，确定出sin α的值，进而求出tan α的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tan α的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α∈（π，π），cos α=﹣，∴sin α=﹣=﹣，∴tan α==，则tan （﹣α）===．故选B8．函数f （x ）=mx 3﹣x 在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，1） C ．（﹣∞，0] D ．（﹣∞，1] 【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】求导数得到f′（x ）=3mx 2﹣1，根据f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数便可得出3mx 2﹣1≤0恒成立，这样即可得出m的取值范围．【解答】解：f′（x）=3mx2﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴f′（x）≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立；即3mx2﹣1≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立；①m=0时，﹣1≤0恒成立；②m≠0时，△=0+12m≤0，且m＜0；∴m＜0；综上得，m的取值范围是（﹣∞，0]．故选C．9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．10．下列函数中，可以是奇函数的为（）A．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈R B．f（x）=x2+ax+1，a∈RC．f（x）=log2（ax﹣1），a∈R D．f（x）=ax+cosx，a∈R【考点】函数奇偶性的判断．【分析】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）+f（x）=0，观察方程是不是对定义域内的任意的x都成立，即可判断为奇函数的函数．【解答】解：对于A．f（﹣x）=（﹣x﹣a）|﹣x|=（﹣x﹣a）|x|，若f（﹣x）+f（x）=（﹣2a）|x|=0，则a=0，则A满足；对于B．f（﹣x）=（﹣x）2﹣ax+1，若f（﹣x）+f（x）=2x2+2=0，则方程无解，则B不满足；对于C．由ax﹣1＞0，不管a取何值，定义域均不关于原点对称，则C不满足；对于D．f（﹣x）=﹣ax+cos（﹣x）=﹣ax+cosx，若f（﹣x）+f（x）=2cosx=0，则不满足x 为一切实数，则D不满足．故选A．11．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6 B．6C．﹣18 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意得出=（），=，运用数量积求解即可．【解答】解：∵等边△ABC边长为6，若，，∴=（），=，∴=（22）=（﹣36×6×）=﹣18，故答案为：C12．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x+1）， ∵x ∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减 ∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19 ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20∴实数t 的最小值是20， 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 1 ． 【考点】三角函数的最值．【分析】展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求． 【解答】解：∵f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx =sinxcos φ+cosxsin φ﹣2sin φcosx =sinxcos φ﹣sin φcosx =sin （x ﹣φ）．∴f （x ）的最大值为1． 故答案为：1．14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2+a 5=0，则= ﹣11 ．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式将已知等式8a 2+a 5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n 项和公式表示，将公比的值代入其中求出值．【解答】解：∵8a2+a5=0∴8a1q+a1q4=0∴q=﹣2∴=故答案为：﹣11．15．已知=（1，2），=（1，1），则与+2方向相同的单位向量= （，）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出向量的模，然后求解单位向量．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴+2=（1，2）+2（1，1）=（3，4），∴|+2|==5，则与+2方向相同的单位向量=（，），故答案为：（，），16．给出下列命题：①“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”的逆否命题为真命题：②命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥4；③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④命题p：函数y=e x+e﹣x为偶函数；命题q：函数y=e x﹣e﹣x在R上为增函数，则p∧（¬q）为真命题．期中正确命题的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】①根据逆否命题的等价性进行判断，②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据含有量词的命题的否定进行判断，④根据复合命题真假关系进行判断．【解答】解：①“若a≥0，则判别式△=1+4a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”，即原命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题：故①正确，②命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥x2，即a≥4，则a≥4是命题为真命题的充要条件，故②错误；③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2﹣2x+1≥0”，∵x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0恒成立，则命题的否定是真命题；故③正确，④命题p：函数y=e x+e﹣x为偶函数正确；命题q：函数y=e x﹣e﹣x=e x﹣在上为增函数，则p∧（¬q）为假命题．故④错误，故正确命题的序号是①③，故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在等差数列{an }中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{bn }的前n项和Sn．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．所以 a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得 a1=﹣1．所以数列{an }的通项公式为 an=﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．18．已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．（1）求a、b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数．∴f（0）=0，即，得b=1，则f（x）=，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=0，∴+=0，解得a=1．即a=b=1．（2）∵a=b=1．∴f（x）===﹣1+，则f（x）为减函数，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）即t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，则判别式△=4+3×4k＜0，解得k＜﹣，即k的取值范围是（﹣∞，﹣）．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，故g （x ）在区间[，π]上的值域是[，]．20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB 的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cosB 以及ac 的值代入得到a 2+c 2=13，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cosB 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB 的值，由c ，b ，sinB ，利用正弦定理求出sinC 的值，进而求出cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①， ∵b=3，∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即9=a 2+c 2﹣4， ∴a 2+c 2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC 中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b ＞c ，∴C 为锐角，∴cosC===，则cos （B ﹣C ）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．21．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N +） （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设bn=（1﹣S n+1）（n ∈N +），令T n =，求T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）首先由递推式求出a 1，取n=n ﹣1（n ≥2）得另一递推式，两式作差后可证出数列{a n }是等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a n 代入递推式，则可求出1﹣S n+1，整理后得到b n ，最后利用裂项相消求T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1，由，得：．当n ≥2时，．则，即，所以．∵，∴．故数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列．故（n ∈N *）．（Ⅱ）∵，∴．∴．∴．所以，T n ===．22．设f （x ）=lnx ，g （x ）=f （x ）+f′（x ）． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g （x ）与的大小关系；（Ⅲ）求a 的取值范围，使得g （a ）﹣g （x ）＜对任意x ＞0成立． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，判断两个函数的大小关系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．（II）设，则h'（x）=﹣，当x=1时，h（1）=0，即，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．（III）由（I）知g（x）的最小值为1，所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，即Ina＜1，从而得0＜a＜e．。